VNMATH giới thiệu Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán sinh viên ĐH Ngoại thương 2013.

Đề thi môn Đại số.  Download.

Đề thi môn Giải tích. Download.


Mã latex.

Câu 1. Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 2\\ -7 & 3 & 5\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Đặt $U_{n}=E+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}A^{k}$ với $E$ là ma trận đơn vị cấp 3. Tính $\lim_{n \to \infty }U_{n}$

Câu 2. Dãy số Fibonaci được định nghĩa bởi $F_{0}=1$;$F_{1}=1$;$F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$nếu $n\geq 1$

a) Chứng minh rằng: $F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n}$ nếu $n\geq 1$

b) Tính giá trị của $\prod_{n=1}^{+\infty }\left ( 1+\frac{(-1)^{n+1}}{F_{n}^{2}} \right )$

Câu 3. Với $a_{i},b_{i}(i=1,2,...n)$ là các số thực cho trước đôi một phân biệt. Xét hệ phương trình sau:

$$\left\{\begin{matrix}\frac{x_{1}}{a_{1}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{1}-b_{2}}+...+\frac{x_{n}}{a_{1}-b_{n}}=1\\ \frac{x_{1}}{a_{2}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{2}-b_{2}}+...+\frac{x_{n}}{a_{2}-b_{n}}=1\\ .......................................\\ \frac{x_{1}}{a_{n}-b_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{n}-b_{2}}+...+\frac{x_{n}}{a_{n}-b_{n}}=1 \end{matrix}\right.$$

a) Giải hệ phương trình đã cho

b) Tính tổng các nghiệm của hệ

Câu 4. Cho $A=\begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix}$ là một ma trận thực hoặc phức với các giá trị riêng phân biệt $\lambda _{1},\lambda _{2}$ và các vector riêng tương ứng $X_{1},X_{2}$. Cho $P=\begin{bmatrix} X_{1}\mid X_{2} \end{bmatrix}$. CMR hệ $\left\{\begin{matrix} x_{n+1}=ax_{n}+by_{n}\\ y_{n+1}=cx_{n}+dy_{n} \end{matrix}\right.$ có nghiệm là $\begin{bmatrix} x_{n}\\ y_{n} \end{bmatrix}=\alpha \lambda _{1}^{n}X_{1}+\beta \lambda _{2}^{n}X_{2}$ trong đó $\alpha ,\beta$ được xác định bởi phương trình $\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}=P^{-1}\begin{bmatrix} x_{0}\\ y_{0} \end{bmatrix}$

Câu 5. Cho ma trận $A=\begin{bmatrix} 2 &-1 &0 &0 \\ 0 &2 &-1 &0 \\ 0 &0 &2 &-1 \\ 0 &0 &0 &2 \end{bmatrix}$. Tìm tất cả các ma trận X thỏa mãn $AX=XA$

Câu 6. Biện luận theo $m$ nghiệm đa thức $P(x)$ của phương trình hàm sau:
$$1+x+P(x)=m[P(x+1)+P(x-1)]$$.