VNMATH giới thiệu Đề thi Olympic toán sinh viên Đại học Kinh tế quốc dân 2013 gửi đến VNMATH bởi bạn Trịnh Thanh Tùng, sinh viên năm thứ nhất đại học Kinh tế quốc dân, lớp kinh tế 54.12, Viện Thương mại và Kinh tế Quốc tế.
Đề thi môn Đại số. Xem ảnh.
Đề thi và đáp án môn Giải tích. Download.
Mã Latex
Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ xác định như sau $u_{1}= \sqrt{2}$;
Mã Latex
Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ xác định như sau $u_{1}= \sqrt{2}$;
$$u_{n+1}=u_{n} + \frac{u_{n^{2}}}{2011\sqrt{2}},\forall n=1,2,...$$
Tìm $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $(\frac{u_{1}}{u_{2}}+\frac{u_{2}}{u_{3}}+...+\frac{u_{n}}{u_{n+1}})$
Câu 2: Cho $f : [0;1] \rightarrow [0;1]$ là hàm số liên tục sao cho $f(0)=0; f(1)=1$. Đặt:
\[ f_k = \underbrace {f \circ f \circ ... \circ f}_k \]Tìm $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $(\frac{u_{1}}{u_{2}}+\frac{u_{2}}{u_{3}}+...+\frac{u_{n}}{u_{n+1}})$
Câu 2: Cho $f : [0;1] \rightarrow [0;1]$ là hàm số liên tục sao cho $f(0)=0; f(1)=1$. Đặt:
Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $f_{n}\left ( x \right )=x; \forall x \in [0,1]$. Chứng minh rằng $f(x)=x, \forall x \in [0,1]$.
Câu 3:Cho $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi, có đạo hàm cấp 2 không âm. Chứng minh rằng:
Câu 3:Cho $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi, có đạo hàm cấp 2 không âm. Chứng minh rằng:
$$f(x+f^{'}(x))\geq f(x), \forall x \in \mathbb{R}.$$
Câu 4: Tìm hàm số $f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
Câu 4: Tìm hàm số $f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(xf(y)+x)=xy+f(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Câu 5:
a) Tính tích phân $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^{2}+1)}$.
b) Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên $[a,b]$ và thỏa mãn điều kiện
$$f\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$$.
Chứng minh rằng:
Câu 5:
a) Tính tích phân $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^{2}+1)}$.
b) Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên $[a,b]$ và thỏa mãn điều kiện
$$f\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$$.
Chứng minh rằng:
$$f\left ( \frac{a+b}{2} \right )\left ( b-a \right )\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a).$$
Câu 6: cho $f :[a,b]\rightarrow (a,b)$ là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại số dương $\alpha$ và $c \in (a,b)$ sao cho
$$f\left(c\right ) +f(c+\alpha )+...+f(c+n\alpha )=(n+1)\left (c+\frac{n}{2}\alpha \right ). $$
Câu 6: cho $f :[a,b]\rightarrow (a,b)$ là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại số dương $\alpha$ và $c \in (a,b)$ sao cho
$$f\left(c\right ) +f(c+\alpha )+...+f(c+n\alpha )=(n+1)\left (c+\frac{n}{2}\alpha \right ). $$
Lộn mã Latex với Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán SV ĐH Ngoại thương 2013
Trả lờiXóa