VNMATH giới thiệu Đề thi chọn đội tuyển tham gia IMO 2013 của Việt Nam. Kì thi diễn ra trong hai ngày 5 và 6/04/2013 tại Đại học Sư phạm Hà Nội. Lời giải và danh sách đội tuyển sẽ được VNMATH cập nhật sau.

Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ có các cạnh không song song nội tiếp $(O,R)$. Gọi $E$ là giao điểm hai đường chéo và đường phân giác góc $AEB$ cắt các đường thẳng $AB, BC, CD, DA$ lần lượt tại $M, N, P, Q.$
1/ Chứng minh rằng các đường tròn $(AQM), (BMN), (CNP), (DPQ)$ cùng đi qua một điểm. Gọi điểm đó là $K$.
2/ Đặt $\min \{ AC, BD \} = m $. Chứng minh rằng $OK \le \dfrac{2R^2}{\sqrt{4R^2-m^2}}.$

Bài 2.
1/ Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $t$ sao cho $2012t+1, 2013t+1$ đều là các số chính phương.
2/ Giả sử $m, n$ là các số nguyên dương sao cho $mn+1, mn+n+1$ đều là các số chính phương. Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $8(2m+1)$.

Bài 3. Với số $n$ nguyên dương, đặt $S = \{1, 2, 3, ..., 2n+1 \} $. Xét hàm số $ f : (S \times \mathbb{Z}) \to [0;1]$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i/ $f(x,0)=f(x,2n+1)=0$.
ii/ $f(x-1,y)+f(x+1, y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)=1$.
Gọi $F$ là tập hợp tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn.
1/ Chứng minh rằng $|F|$ là vô hạn.
2/ Đặt $v_f$ là tập hợp tất cả các ảnh của $f$. Chứng minh rằng $v_f$ là hữu hạn.
3/ Tìm giá trị lớn nhất của $v_f$.

Ngày thi thứ hai - 06/04/2013. Đang cập nhật.


Bài 4. Tìm hằng số k nguyên dương lớn nhất thỏa mãn: Với mọi a,b,c dương mà abc=1 thì ta có bất đẳng thức: