VNMATH xin giới thiệu đề thi chọn đội tuyển Olympic toán sinh viên năm 2012 của trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội. Môn thi: Giải tích. Ngày thi: 26/02/2012.
Câu 1. Cho dãy số $x_1 = 2; x_{n+1}=\sqrt{x_n+\frac{1}{n}},\forall n \geq 1$. Chứng minh rằng: $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n=1$ và tìm $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n^n$
Câu 2. Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Với mỗi $x \in \mathbb{R}$, ta xác định hàm số:
$$g(x)=f(x)\left ( \int_{0}^{x}f(t)dt \right )^{2011}$$
Chứng minh rằng nếu $g(x)$ là hàm không tăng thì $f(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Câu 3. Cho hàm số $f:\left [ a;b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ có $f'$ liên tục trên $\left [ a;b \right ]$ và $\exists x_0 \in (a;b]$ sao cho $f'(x_0) = 0$. Chứng minh rằng tồn tại số $c \in (a;b)$ sao cho:
$$f'(c\ )=\frac{f(c\ )-f(a)}{b-a}$$
Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$$f\left ( f\left ( f(x) \right ) \right )=x,\forall x \in \mathbb{R}$$
Câu 5. Cho $f:[0;+\infty) \rightarrow (0;+\infty)$ là hàm số liên tục thỏa mãn $\lim_{x\rightarrow \infty}\int_{0}^{x}f(t)dt$ tồn tại, hữu hạn. Chứng minh rằng:
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{0}^{x}\sqrt{f(t)}dt=0$$
Câu 6. Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp $n$ liên tục trên $[a;b]$ và phương trình $f(x) = 0$ có không ít hơn $n$ nghiệm thuộc $[a;b]$. Chứng minh rằng:
$$\max_{x \in [a;b]}\left | f(x) \right | \leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $$
Bạn nào muốn giải hoặc có đáp án xin comments. VNMATH đã tích hợp Mathjax.
PS: Trong phần comments có Đề thi Olympic toán sinh viên cấp trường của Đại học kinh tế quốc dân Hà Nội năm 2012
Đề thi Olympic toán sinh viên cấp trường của Đại học kinh tế quốc dân năm 2012
Trả lờiXóaCâu 1.
a) Tính giới hạn: $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\int_{0}^{\sin x}(e^{t^2}-1)dt}{\int_{0}^{x} 2t^2dt}dx$
b) Chứng minh rằng với mọi x>0 ta luôn có: $\ln (1+x) <x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$
Câu 2.
Chứng minh rằng dãy số $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}$ là dãy số giảm.
Câu 3.
Cho phương trình : $\frac{1}{2x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-4}+...+\frac{1}{x-n^2}=0$
a, Chứng minh phương trình có nghiệm thực duy nhất thuộc (0, 1), ký hiệu nó là $x_n$
b, Chứng minh $x_n$ có giới hạn hữu hạn khi $n \to +\infty$
Câu 4.
Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên [0, 1] sao cho: $f(0)=0,\ f(1)=1, 0 \le f(x) \le 1$.
Chứng minh tồn tại hai số $a \ne b, \ a, b \in (0, 1)$ sao cho $f'(a).f'(b)=1$
Câu 5.
Cho $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1} xf(x)dx=1$ Chứng minh rằng : $\int_{0}^{1}[f(x)]^2dx \ge 4$
Câu 6. Tìm mọi hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :
1, $f(x)=-f(-x)$
2, $f(x+1)=f(x)+1$
3, $f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\ x \ne 0$
Đề thi Olympic toán sinh viên cấp trường của Đại học kinh tế quốc dân năm 2012
XóaCâu 1.
a) Tính giới hạn: $\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{\int_{0}^{\sin x}(e^{t^2}-1)dt}{\int_{0}^{x} 2t^2dt}dx$
b) Chứng minh rằng với mọi x>0 ta luôn có: $\ln (1+x) <x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$
Câu 2.
Chứng minh rằng dãy số $u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}$ là dãy số giảm.
Câu 3.
Cho phương trình : $\frac{1}{2x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-4}+...+\frac{1}{x-n^2}=0$
a, Chứng minh phương trình có nghiệm thực duy nhất thuộc (0, 1), ký hiệu nó là $x_n$
b, Chứng minh $x_n$ có giới hạn hữu hạn khi $n \to +\infty$
Câu 4.
Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên [0, 1] sao cho: $f(0)=0,\ f(1)=1, 0 \le f(x) \le 1$.
Chứng minh tồn tại hai số $a \ne b, \ a, b \in (0, 1)$ sao cho $f'(a).f'(b)=1$
Câu 5.
Cho $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1} xf(x)dx=1$ Chứng minh rằng : $\int_{0}^{1}[f(x)]^2dx \ge 4$
Câu 6. Tìm mọi hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :
1, $f(x)=-f(-x)$
2, $f(x+1)=f(x)+1$
3, $f(\frac{1}{x})=\frac{f(x)}{x^2},\ x \ne 0$