Hàm lồi và tập lồi đã được nghiên cứu từ lâu có thể kể ra ở đây như Holder, Jensen, Minkowski. Đặc biệt với những công trình của Fenchel, Moreau, Rockafellar vào các thập niên 1960 và 1970 đã đưa giải tích lồi trở thành một trong những lĩnh vực phát triển nhất của toán học. Bên cạnh đó, một số hàm không lồi theo nghĩa đầy đủ nhưng cũng chia sẻ một vài tính chất nào đó của hàm lồi. Chúng được gọi là các hàm lồi suy rộng (generalized convex function). Có lẽ người đầu tiên đề xuất tính lồi suy rộng là Finetti (1949) - người đã đưa ra khái niệm tựa lồi (quasiconvex). Trong series này vnM@th.com sẽ đưa ra một bức tranh toàn cảnh về các hàm lồi và hàm lồi suy rộng.
Ta giả thiết C là tập lồi khác rỗng trong không gian Rⁿ, f là hàm số thực xác định trên tập lồi C.
Hàm được gọi là lồi nếu với mọi x, y thuộc C và \lambda thuộc khoảng (0,1) ta có

Nếu bất đẳng thức trên là chặt với mọi x khác y, ta nói f là lồi chặt trên C.
Một định nghĩa tương đương, thể hiện ý nghĩa hình học của hàm lồi là
lồi nếu tập

gọi là epigraph (trên đồ thị) của là tập lồi trong (epi - có nghĩa là trên, phía trên mà).
Hàm f gọi là lồi mạnh nếu tồn tại số \alpha dương sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi x, y thuộc C và \lambda thuộc khoảng [0, 1]

Rõ ràng lồi mạnh suy ra lồi chặt và lồi chặt suy ra lồi. Chẳng hạn hàm y=x² là lồi mạnh, do đó lồi chặt và lồi. Điều ngược lại nói chung không đúng. Ví dụ, hàm affine y=ax+b lồi nhưng không lồi chặt, hàm y=1/x lồi chặt nhưng không lồi mạnh.