You are here: Home »
ĐỊNH NGHĨA MA PHƯƠNG
Trong toán vui, một ma phương (hay hình vuông kì ảo) bậc $n$ là sự sắp xếp $n^{2}$ số nguyên phân biệt từ $1$ đến $n^{2}$ vào một bảng ô vuông sao cho tổng $n$ số trên mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau.
Mỗi ma phương bậc $n$ đều có một hằng số, gọi là hằng số của ma phương. Hằng số của ma phương chính bằng tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo. Hằng số của ma phương phụ thuộc vào $n$: $$M=\frac{n(n^{2}+1)}{2}$$
MA PHƯƠNG BẬC BA
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline4&3&8\\\hline9&5&1\\\hline2&7&6\\\hline\end{array}$$
Như đã nói, ta nhận ra được điều đặc biệt ở hình vuông 9 ô này là tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo của nó đều bằng nhau và đều bằng $15$. Và $15$ chính là hằng số của ma phương bậc ba.
TÍNH CHẤT CỦA MA PHƯƠNG BẬC BA
Thật vậy,
$$4 + 3 + 8 = 9 + 5 + 1 = 2 + 7 + 6 = 4 + 9 + 2 = 3 + 5 + 7 = 8 + 1 + 6 = 4 + 5 + 6 $$
$$= 8 + 5 + 2 = 15$$
Câu hỏi đặt ra là rằng để tạo được một ma phương bậc ba, ta phải làm như thế nào ? Chỉ bằng những mò mẫm vô căn cứ theo suy tính của bản thân hay có một "bí quyết" nào đó. Sau đây là một phương pháp "thủ công" nhưng giúp ta lập được một ma phương bậc ba một cách rất nhanh gọn và đơn giản.
TẠO MA PHƯƠNG BẬC BA
Bước 1 : Trước tiên, ta vẽ hình vuông sau rồi điền các số theo thứ tự (như hình dưới đây) :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline & & 1 & &\\\hline & 4 & & 2\\\hline7& &5& &3\\\hline & 8 & & 6\\\hline & & 9 & &\\\hline\end{array}$$
Bước 2 : Chuyển các số ngoài cùng $1,3,7,9$ theo thứ tự về giữa hai số $8$ và $6$, $4$ và $8$, $2$ và $6$, $4$ và $2$
Lập tức, ta được một ma phương bậc ba.
MA PHƯƠNG BẬC BA VỚI CÁC SỐ NGUYÊN TỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline829&1879&409\\\hline619&1039&1459\\\hline1619&199&1249\\\hline\end{array}$$
Bạn nhận ra được điều gì đặc biệt ở ma phương này ?
Các số trong ô vuông này không những là số nguyên tố mà chúng còn hơn kém nhau 210 đơn vị. Thật vậy, với số nguyên tố nhỏ nhất là $199$, chỉ cần liên tục cộng thêm $210$ ta sẽ được toàn bộ các số nguyên tố còn lại của ô vuông.
Các số trong ô vuông này không những là số nguyên tố mà chúng còn hơn kém nhau 210 đơn vị. Thật vậy, với số nguyên tố nhỏ nhất là $199$, chỉ cần liên tục cộng thêm $210$ ta sẽ được toàn bộ các số nguyên tố còn lại của ô vuông.
Có lẽ bạn chưa biết rằng chín số nguyên tố : $199,409,619,829,1039,1249,1669, 1879$ lập thành một cấp số cộng (tức là dãy số mà số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một hằng số $d$, gọi là công sai của cấp số cộng, ở đây thì $d = 210$)
MA PHƯƠNG BẬC BỐN
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline1&14&15&4\\\hline12&7&6&9\\\hline8&11&10&5\\\hline13&2&3&16\\\hline\end{array}$$
Khác với ma phương bậc ba, ma phương bậc bốn còn đa dạng hơn về những tính chất.
TÍNH CHẤT CỦA MA PHƯƠNG BẬC BỐN
Tính chất 1 : Tổng các số thuộc 4 góc của ma phương đúng bằng hằng số ma phương
Thật vậy, $$1 + 4 + 13 + 16 = 34$$ (hằng số của ma phương là $34$)
Tính chất 2 : Tổng các số thuộc mỗi hàng đều gồm hai cặp : một cặp có tổng bằng $15$ và một cặp có tổng bằng $19$.
Thật vậy :
Hàng thứ nhất : $$1 + 14 = 15 ; 15 + 4 = 19$$
Hàng thứ hai : $$6 + 9 = 15 ; 12 + 7 = 19$$
Hàng thứ ba : $$10 + 5 = 15 ; 12 + 7 = 19$$
Hàng thứ bốn : $$13 + 2 = 15 ; 3 + 16 = 19$$
Tính chất 3 : Tổng bình phương của các số hàng trên cùng và hàng dưới cùng bằng nhau. Tổng bình phương của các số thuộc hàng giữa cũng bằng nhau.
Thật vậy, ta cùng kiểm chứng :
$$1^{2}+14^{2}+15^{2}+4^{2}=438=13^{2}+2^{2}+3^{2}+16^{2}$$
$$12^{2}+7^{2}+6^{2}+9^{2}=310=8^{2}+11^{2}+10^{2}+5^{2}$$
Tính chất 4 : Tổng bình phương của các số thuộc cột thứ nhất và thứ tư bằng nhau. Tổng bình phương của các số thuộc hai cột giữa cũng bằng nhau.
Cùng kiểm tra nào :
$$1^{2}+12^{2}+8^{2}+13^{2}=378=4^{2}+9^{2}+5^{2}+16^{2}$$
$$14^{2}+7^{2}+11^{2}+2^{2}=370=15^{2}+6^{2}+10^{2}+3^{2}$$
Tính chất 5 : Hãy để ý đến những con số ở hai đầu cột 2 và cột 3 $(14,15,2,3)$ và những con số ở hai đầu hàng 2 và hàng 3 $(12,8,9,5)$, ta sẽ thấy một điều đặc biệt :
$$12 + 14 + 5 + 3 = 15 + 9 + 2 + 8$$
$$12^{2}+14^{2}+5^{2}+3^{2}=374=15^{2}+9^{2}+2^{2}+8^{2}$$
$$12^{3}+14^{3}+5^{3}+3^{3}=4624=15^{3}+9^{3}+2^{3}+8^{3}$$
Thật là kì diệu !
Sau đây, ta sẽ tìm hiểu về cách lập ma phương bậc bốn.
TẠO MA PHƯƠNG BẬC BỐN
Bước 1 : Sắp xếp các số $1,2,...,16$ vào $16$ ô của hình vuông theo thứ tự như hình bên
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline1&2&3&4\\\hline5&6&7&8\\\hline9&10&11&12\\\hline13&14&15&16\\\hline\end{array}$$Bước 2 : Đổi chỗ các số của hàng 3 và hàng 4 theo thứ tự ngược lại rồi đổi chỗ hàng 2 và hàng 3 cho nhau
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline1&2&3&4\\\hline12&11&10&9\\\hline5&6&7&8\\\hline16&15&14&13\\\hline\end{array}$$
Bước 3 : Đổi chỗ các số của cột 2 và cột 3 theo thứ tự ngược lại
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline1&15&14&4\\\hline12&6&7&9\\\hline5&11&10&8\\\hline16&2&3&13\\\hline\end{array}$$
Bước 4 : Đỗi chỗ các số của hàng 3 và hàng 4 theo thứ tự ngược lại, ta được ma phương bậc 4 (hình trên)
MA PHƯƠNG BẬC BỐN VỚI CÁC SỐ LẺ
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline5&25&3&31\\\hline11&23&13&17\\\hline29&1&27&7\\\hline19&15&21&9\\\hline\end{array}$$Sau đây là những tính chất thú vị của ma phương bậc bốn với các số lẻ
Tính chất1: Hằng số của ma phương bằng 64 và cũng bằng tổng của các số thuộc :Ma phương bậc bốn với các số lẻ cũng có những tính chất khá thú vị
a) Bốn góc hình vuông
b) Bốn góc của bốn hình vuông nhỏ gồm 9 ô (mỗi hình vuông có kích thước $3$ x $3$)
c) Bốn góc của $10$ hình vuông gồm $4$ ô (hình vuông có kích thước $2$ x $2$)
d) Bốn góc của sáu hình chữ nhật dài 4 ô và rộng 2 ô
e) Từng cặp cạnh đối của hình vuông mà đỉnh là điểm giữa các cạnh của hình vuông đã cho.
Tính chất 2: Tổng các bình phương của các số trong hai hàng 1 và hàng 3 bằng nhau và tổng các bình phương của các số trong hai hàng 2 và hàng 4 cũng bằng nhau
$$5^{2}+25^{2}+3^{2}+31^{2}=1620=29^{2}+1^{2}+27^{2}+7^{2}$$
$$11^{2}+23^{2}+13^{2}+17^{2}=1108=19^{2}+15^{2}+21^{2}+9^{2}$$
Tính chất 3: Tổng các bình phương của các số trong hai cột 1 và cột 3 bằng nhau và tổng các bình phương của các số trong hai cột 2 và 4 cũng bằng nhau
$$5^{2}+11^{2}+29^{2}+19^{2}=1348=3^{2}+13^{2}+27^{2}+21^{2}$$
$$25^{2}+23^{2}+1^{2}+15^{2}=1380=31^{2}+17^{2}+7^{2}+9^{2}$$
Mở rộng hơn, ta tham khảo ma phương bậc 5.
MA PHƯƠNG BẬC NĂM
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline11&24&7&20&3\\\hline4&12&25&8&16\\\hline17&5&13&21&9\\\hline10&18&1&14&22\\\hline23&6&19 &2&15\\\hline\end{array}$$
Ma phương cấp 3: Những tính chất ma thuật
Ma phương 8x8
Cách lập Ma phương chẵn:
Thuật Toán sắp xếp ma phương
Hôm nay, tôi sẽ thử làm cho bạn phải đau đầu bằng 1 bài toán thoạt nhìn rất đơn giản, hãy tính kết quả:
$$S=1-1+1-1+1-1+1-1+...$$
Thế nào? Bạn có đáp số rồi chứ? Bài toán nhìn đơn giản chứ nhỉ? Tuy nhiên, kết quả của nó cũng không hề đơn giản tí nào, thậm chí có cả kết quả khiến bạn phải bất ngờ đấy, chúng ta cũng xem nhé!
Giả sử tôi đặt những phép tính trừ trong ngoặc đơn, tức tôi có:
$$S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...$$.
Dễ thấy $1-1$ bằng $0$ nên ta có kết quả:
$$S=0+0+0+0+....=0$$.
Vậy $S=0$.
Câu trả lời này nghe cũng hợp lý chứ nhỉ? Thế nhưng bài toán trên lại có một cách giải khác, đương nhiên kéo theo một đáp số khác:
$$S=1-1+1-1+1-1+1-1+...=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...=1$$.
Vậy $S=1$, tôi có $2$ đáp án cho cùng một bài toán chỉ với việc đặt dấu ngoặc ở những vị trí khác nhau.
Tuy nhiên, lại có đáp án thứ $3$ và đáp án này rất là kỳ lạ, ta có:
$$S=1-1+1-1+1-1+1-1+...$$.
$$\Leftrightarrow 1-S=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+...)$$.
$$\Leftrightarrow 1-S=1-1+1-1+1-1+1-1+...$$.
$$\Leftrightarrow 1-S=S$$.
$$\Leftrightarrow 1=2S$$.
$$\Leftrightarrow S=\frac{1}{2}$$.
Lần này tôi có đáp án là $S=\frac{1}{2}$, đây quả thực là đáp án mà ít ai ngờ tới vì đề bài chỉ là những phép cộng trừ với các số tự nhiên mà kết quả tôi nhận được lại là phân số.
Như vậy kết quả của $S$ có thể là $0$, có thể là $1$ và thậm chí có thể là $\frac{1}{2}$.
Chuỗi Grandi
Quay về lịch sử, người đưa ra bài toán này là một nhà toán học người $Ý$ tên Luigi Guido Grandi, ông là một người truyền đạo, nhà toán học và cũng là một nhà triết gia, ông nổi tiếng với cuốn Flores geometrici vào năm $1728$, nghiên cứu về những đồ thị có hình cánh hoa, và đặc biệt đó là chuỗi Grandi vào năm $1703$.
Chuỗi Grandi
 |
Luigi Guido Grandi |
Grandi nhận thấy kết quả của $S$ thật lạ lùng, có thể là $0$, có thể là $1$ và có thể là $\frac{1}{2}$, vậy có điều gì bí ẩn trong phép toán này chăng? Nhiều nhà toán học đã có cái nhìn về điều này, họ cho rằng:" Kết quả không thể nào là $\frac{1}{2}$ được, đúng không?Không thể nào". Nhưng khoan đã, cách giải ra $\frac{1}{2}$ cũng thuyết phục lắm chứ!
Đã có một cuộc tranh luận về điều này trong một thời gian dài, khoảng 150 năm. Đến thế kỷ 19 thì vấn đề này bắt đầu có hướng giải quyết. Nhiều người nghĩ rằng đáp án là $\frac{1}{2}$. Tôi sẽ cho bạn thấy lý do tại sao họ lại nghĩ như vậy.
Cho phép tính tổng:
$$A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+...$$
Một trong những hướng mà bạn có thể thực hiện phép tính tổng trên là hãy giải quyết từng tổng một, ta có các giá trị $A$ cộng từ trái sang phải là (tính theo số thập phân):
$$1; 1,5; 1,75; 1,875; 1,96875,...$$
Bạn dễ thấy rằng kết quả của $A$ càng ngày càng gần với $2$, một cách tổng quát giá trị của $A$ là $2-\frac{1}{n};...$. Nhận thấy rằng nếu $n$ càng lớn, dẫn đến giá trị $\frac{1}{n}$ càng nhỏ và tới 1 lúc nào đó, bạn chỉ còn lại $2$ và bằng các phép tính giới hạn, toán học cũng chứng minh được $A=2$. Tuy nhiên, nếu áp dụng phép giới hạn vào dãy Grandi thì sẽ không có tác dụng gì cả, hãy nhìn vào từng phần của phép tính:
$$S=1-1+1-1+1-1+1-1+...$$
Ta được kết quả của $S$ nếu tính từ trái sang phải lần lượt là $1; 0; 1; 0; 1; 0;...$ và nó không chạy tới bất kỳ một giá trị thích hợp nào nên ta không thể xài cách tính giới hạn với $S$
Tôi sẽ cho bạn thấy cách thứ hai để tính tổng từng phần. Hãy nhìn lại cách giá trị của $A$ là $1; 1,5; 1,75; 1,875; 1,96875,...$. Tôi sẽ tính trung bình cộng của nó, tôi lấy $1$, rồi trung bình cộng của $1+1,5; 1+1,5+1,75; ...$ thì kết quả tôi thu được lần lượt là $1, \frac{5}{4}, \frac{17}{12},...$ và một lần nữa kết quả cũng càng ngày càng tiến về con số $2$. Một cách tổng quát kết quả là $2-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$, dễ thấy khi $n$ càng lớn thì kết quả của $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$ tiến về $0$, do đó nếu áp dụng cách tính trung bình này thì ta vẫn thu được $A=2$.
Cách này có thể áp dụng cho dãy Grandi, chúng ta cùng thử nhé, ta có kết quả của $S$ lần lượt là $1; 0; 1; 0; 1; 0;...$, áp dụng cách tính trung bình, ta được kết quả lần lượt là $1; \frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{1}{2}; \frac{3}{5}, ...$ và một cách tổng quát, ta được $\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$, dễ thấy $n$ càng lớn thì kết quả càng tiến gần đến $\frac{1}{2}$, áp dụng cách này thì chặt chẽ hơn so với cách tôi làm lúc đầu.
Chúng ta sử dụng cách tính trung bình và cách này có hiệu quả với dãy Grandi chứ không phải cách sử dụng giới hạn. Tuy nhiên, bạn vẫn có thêm 1 cách để tính $S$, nó cũng tựa như giới hạn vậy, nhưng không phải là giới hạn.
Ngọn đèn ThomsonNgọn đèn Thomson là một câu đố triết học, là một biến thể của nghịch lí Zeno. Nó được đưa ra bởi nhà triết học người Anh James F. Thomson.
Hãy tưởng tượng ta có bóng đèn, ta sẽ bật và tắt bóng đèn này. Mỗi lần tôi thấy số $1$, tôi bật đèn, tôi thấy số $-1$, tôi tắt đèn. Cách tính tổng từng phần sẽ cho bạn biết đèn đang bật hay tắt, nếu bạn gặp số $1$, bạn bật đèn, bạn gặp số $0$, bạn tắt đèn.
Bắt đầu thì nghiệm nhé! Sau một phút, bạn hãy bật đèn, sau $\frac{1}{2}$ phút, bạn tắt đèn, sau $\frac{1}{4}$ phút, bạn bật đèn, sau $\frac{1}{8}$ phút, bạn tắt đèn. Bạn chỉ bật hay tắt đèn, càng ngày tốc độ bạn phải nhanh hơn, đương nhiên bạn phải là điều này rất nhiều lần, sử dụng kết quả giới hạn đã nêu, thời gian cho bạn thực hiện thí nghiệm này là $2$ phút. Sau $2$ phút, kết quả là đèn sáng hay tắt? Nếu kết quả của dãy Grandi là $0$ thì đèn tắt, còn $1$ thì đèn mở. Nhưng nếu kết quả của dãy Grandi là $\frac{1}{2}$ thì sao? Chẳng lẽ đèn nửa sáng nửa tối? Đèn bật tắt cùng một lúc à? Theo bạn, bạn nghĩ như thế nào?
Trước hết ta nhắc lại khái niệm giai thừa, trong tất cả các số, hãy chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên dương $n$ bất kỳ thì $n!$ (đọc là n giai thừa) bằng với tích $n.(n-1).(n-2).(n-3).......3.2.1$, ví dụ như $5!=5.4.3.2.1=120$.
Vậy câu hỏi đặt ra là giá trị của $0!$ bằng bao nhiêu? Chắc hẳn sẽ có nhiều bạn nghĩ :"Ôi dào, dễ quá, theo khái niệm thì ta suy ra $0!=0$, vậy thôi", nghe cũng có lý chứ nhỉ. Thế nhưng bạn hãy nhìn kỹ lại khái niệm nhé, nếu viết đầy đủ ra thì $0!=0.(0-1).(0-2).......$ và rõ ràng chúng ta không thể tìm ra tích số cuối cùng là $3.2.1$ được.
Nếu thế thì $0!$ bằng bao nhiêu? Theo như sách giáo khoa Giải tích 11 của Nhà xuất bản giáo dục có ghi quy ước $0!=1$, thế nhưng cơ sở nào dẫn đến quy ước này? Tiến sĩ James Grime đến từ Đại học Cambridge, thành viên nhóm Numberphile sẽ có câu trả lời cho chúng ta.
Bây giờ chúng ta thử một vài giá trị giai thừa sau:
$$4!=1.2.3.4=\frac{1.2.3.4.5}{5}=\frac{5!}{5}=24$$
Tương tự, ta được:
$$3!=\frac{4!}{4}=6$$.
$$2!=\frac{3!}{3}=2$$.
$$1!=\frac{2!}{2}=1$$.
Và phần thú vị là đây, chắc hẳn bạn đã thấy một quy luật xuất hiện rồi chứ, vậy từ đó ta được $0!=\frac{1!}{1}=1$ dẫn đến kết quả $0!=1$.
Mở rộng thêm, giả sử số giai thừa áp dụng được cho số nguyên âm thì sao? Nếu thế thì theo quy luật trên, ta có $-1!=\frac{0!}{0}=\frac{1}{0}$, điều này là hoàn toàn vô lý do mẫu số không thể bằng $0$.
Một cách lý giải khác cho kết quả $0!=1$, nếu như bạn nào học về Tổ hợp thì sẽ biết được $n!$ tương ứng với số cách mà bạn có thể hoán đổi vị trí của $n$ vật thể, giả sử tôi có $3$ đồng xu như thế này:
Sẽ có $3!=6$ cách đổi thứ tự các đồng xu, cụ thể:
Nếu ta lấy 1 đồng xu ra, ta còn lại 2 đồng xu và có $2!=2$ cách đổi chỗ 2 đòng xu này, cụ thể:
Lấy thêm 1 đồng xu nữa, ta còn 1 đồng xu, và ta có $1!=1$ cách đổi chỗ đồng xu này.
Bây giờ ta lấy đi đồng xu cuối cùng, cái này hơi trừu tượng một chút, ta lấy đi đồng xu cuối, bây giờ ta có $0$ vật thể, vậy có bao nhiêu cách hoán vị $0$ vật thể đó? Có 1 cách, chính là đây:
Khá là trừu tượng, nhưng thực sự chỉ có $1$ cách để dịch chuyển $0$ vật thể, vì vậy một lần nữa ta được $0!=1$.
Bây giờ ta thử biểu diễn trên trục tọa độ $Oxy$ xem sao, trục $Ox$ ứng với các giá trị $1; 2; 3; ...$, còn trục $Oy$ ứng với kết quả của $1!, 2!, 3!, ...$, vẽ các điểm và nối lại, ta được hình sau:
Từ hình vẽ, tôi dự đoán đồ thị cắt trục $Oy$ tại $1$ từ đó dẫn đến kết quả $0!=1$
Nhắc đến đồ thị, về lý thuyết, mỗi điểm trên đồ thị ứng với 1 giá trị $x;y$, giả sử tôi chọn 1 điểm bất kỳ trên trục $Ox$, giữa $1$ và $2$, giả sử là $\frac{3}{2}$, thế $\frac{3}{2}!$ bằng bao nhiêu? Các nhà toán học hiện thực hóa ý tưởng về phép tính này bằng hàm Gamma, chẳng hạn $\frac{3}{2}!=\Gamma(?)$ hay tổng quát hơn là $\Gamma (n)$, người ta nói
$$\Gamma (n)=\int_{0}^{\infty }t^{n-1}.e^{-t}\ dt$$.
Lúc này sẽ có 1 số người thấy quen thuộc phép tích phân này, một số thì chưa, đây là 1 ý tưởng rất là phức tạp, nhưng điều này có thể giải thích cho phép tính giai thừa.
Còn một vấn đề nữa, điều này thì không mấy ai mong đợi xảy ra, nhưng nếu chúng ta lấy tất cả các giá trị để tính giai thừa (tức tập $\mathbb{R}$), giả sử giá trị đó là $\Gamma (z), z\in\mathbb{R}$
Ta được $\Gamma (n)=(n-1)!$. Một số giá trị đặc biệt của hàm Gamma là:
Vậy ý nghĩa của việc có được 1 hàm số giúp bạn tính giai thừa cho mọi giá trị mà bạn không thể thực hiện được phép hoán vị vật thể là gì? Chẳng hạn có bao nhiêu cách hoán vị $\frac{3}{2}$ vật thể? Đó là hàm số có tính tổng quát và rất hữu ích trong nhiều vấn đề, đơn cử như toán xác suất nơi bạn có thể tìm thấy cách tính giai thừa.
Sau một ngày dài làm việc chăm chỉ và mệt nhọc, không có gì tuyệt vời hơn là thưởng thức như một ly bia tươi, lạnh. Khi bạn bật nắp những chai bia thủy tinh, những phiền muộn của bạn ngay lập tức trôi đi, và khi bạn bắt đầu uống, bạn như được đắm mình trong những sủi bia mát lạnh. Bạn dừng lại và ngắm những bong bóng từ từ và liên tục trào lên miệng cốc.
Các nhà toán học Ailen đã cùng quan sát những chiếc cốc để hiểu lý do tại sao bong bóng của Guinness (Guinness, một thức uống phổ biến ở Ireland, 1 loại bia đen) chìm trong cốc và sau đó họ đã kết luận khả năng đi xuống của nó phụ thuộc vào hình dạng của cốc .
Bằng cách nghiên cứu các tính chất đặc thù về trạng thái động lực của chất lỏng thông qua mô phỏng, một dòng chảy trở lên có thể được nhìn thấy từ trung tâm của cốc, cũng như một dòng chảy đi xuống mang bong bóng xuống phía dưới.
Các nhà toán học Ai Len cũng đã cho thấy rằng các mô phỏng thay đổi khi bạn thay đổi hình dạng của cốc.
Eugene Benilov, Cathal Cummins và William Lee tại Đại học Limerick là các nhà toán học trực tiếp tham gia nghiên cứu này, họ nói rằng hình dạng của cốc đóng một phần rất lớn trong việc lưu thông bia trong cốc .
Khi bong bóng trôi trở lên, chúng tác dụng kéo chất lỏng xung quanh chúng. Các nhà toán học nói lực kéo này cao hơn ở những nơi có mật độ bong bóng lớn, chẳng hạn như là trung tâm cốc. Điều này tạo ra sự mất cân bằng, do đó thiết lập các mô hình lưu thông chất lỏng chảy trở lên nhưng các bong bóng rơi xuống gần thành cốc.
Benilov và công ty bia nói rằng nếu bia Guinness được đổ vào một cốc hình trụ, thẳng hoàn hảo, sẽ không có sự mất cân bằng và các bong bóng sẽ nổi lên cùng nhau trong cả cốc, bong bóng liên tục được bổ sung từ phía dưới của cốc.
Ông Cummins tạo ra một số tính toán để xác định ảnh hưởng của mật độ và lực kéo những bong bóng này. Nhờ các tính toán này, nhóm nghiên cứu đã hoàn chỉnh nghiên cứu của họ.
Điều đáng nói ở đây là nhóm nghiên cứu nhận ra hình dạng của thủy tinh cũng quan trọng nhờ tính toán.
"Bởi vì thành cốc pint dốc, bong bóng được di chuyển ra khỏi thành cốc, có nghĩa là bạn đang nhận được một khu vực dày đặc hơn nhiều bên cạnh thành cốc", Tiến sĩ Lee giải thích cho BBC.
"Nó sẽ chìm dưới trọng lực của chính nó, vì nó ít sôi động, và sự chìm đó sẽ kéo các bong bóng."
Tiến sĩ Lee cho biết các bong bóng thực sự cố gắng nổi lên, nhưng lưu thông trong cốc tạo ra một môi trường không thuận lợi cho sự nổi lên.
"Bạn sẽ nhìn thấy bong bóng chìm không phải vì bản thân các bong bóng chìm, nhưng bởi vì chất lỏng và nó kéo chúng xuống với nó."
Nhóm nghiên cứu cho biết là đã dễ dàng hơn nhiều để nghiên cứu hiệu ứng này trong các loại bia Guinness và bia đen khác do việc sử dụng nitơ. Bia đen thường có chứa nitơ và carbon dioxide được tìm thấy trong tất cả các loại bia, và như nitơ từ từ hòa tan trong chất lỏng, nó tạo ra bong bóng chậm hơn, kéo dài lâu hơn để nghiên cứu.
"Một trong những điều chúng tôi thấy là thực sự rất dễ dàng nhìn thấy bong bóng hình thành trong bia bia đen hơn là bia trong, và rượu sâm banh có quá trình hình thành bong bóng mãnh liệt hơn", Tiến sĩ William Lee, theo BBC.
Cũng giống như bia, toán học thường vui vẻ hơn khi nó được chia sẻ. Nhóm nghiên cứu nói rằng bất cứ ai cũng có thể quan sát hành vi này cho bản thân khi họ tiến đến quầy bar. Các hiệu ứng được tốt nhất nhìn thấy khi bia đen được phục vụ trong một ly trụ thẳng chứ không phải là khá to hơn ở miệng.
Nếu nghiêng cốc khi bia đen lắng xuống, sự thay đổi của độ nghiêng có thể phản ánh trạng thái của một ly pint bình thường. Phía đối diện nghiêng thể hiện các trạng thái của một cốc không pint, nơi mà các bong bóng sẽ lên và xuống trong cùng một thành cốc.
Các nhà toán học Ailen đã cùng quan sát những chiếc cốc để hiểu lý do tại sao bong bóng của Guinness (Guinness, một thức uống phổ biến ở Ireland, 1 loại bia đen) chìm trong cốc và sau đó họ đã kết luận khả năng đi xuống của nó phụ thuộc vào hình dạng của cốc .
Bằng cách nghiên cứu các tính chất đặc thù về trạng thái động lực của chất lỏng thông qua mô phỏng, một dòng chảy trở lên có thể được nhìn thấy từ trung tâm của cốc, cũng như một dòng chảy đi xuống mang bong bóng xuống phía dưới.
Các nhà toán học Ai Len cũng đã cho thấy rằng các mô phỏng thay đổi khi bạn thay đổi hình dạng của cốc.
Eugene Benilov, Cathal Cummins và William Lee tại Đại học Limerick là các nhà toán học trực tiếp tham gia nghiên cứu này, họ nói rằng hình dạng của cốc đóng một phần rất lớn trong việc lưu thông bia trong cốc .
Khi bong bóng trôi trở lên, chúng tác dụng kéo chất lỏng xung quanh chúng. Các nhà toán học nói lực kéo này cao hơn ở những nơi có mật độ bong bóng lớn, chẳng hạn như là trung tâm cốc. Điều này tạo ra sự mất cân bằng, do đó thiết lập các mô hình lưu thông chất lỏng chảy trở lên nhưng các bong bóng rơi xuống gần thành cốc.
Benilov và công ty bia nói rằng nếu bia Guinness được đổ vào một cốc hình trụ, thẳng hoàn hảo, sẽ không có sự mất cân bằng và các bong bóng sẽ nổi lên cùng nhau trong cả cốc, bong bóng liên tục được bổ sung từ phía dưới của cốc.
Ông Cummins tạo ra một số tính toán để xác định ảnh hưởng của mật độ và lực kéo những bong bóng này. Nhờ các tính toán này, nhóm nghiên cứu đã hoàn chỉnh nghiên cứu của họ.
Điều đáng nói ở đây là nhóm nghiên cứu nhận ra hình dạng của thủy tinh cũng quan trọng nhờ tính toán.
"Bởi vì thành cốc pint dốc, bong bóng được di chuyển ra khỏi thành cốc, có nghĩa là bạn đang nhận được một khu vực dày đặc hơn nhiều bên cạnh thành cốc", Tiến sĩ Lee giải thích cho BBC.
"Nó sẽ chìm dưới trọng lực của chính nó, vì nó ít sôi động, và sự chìm đó sẽ kéo các bong bóng."
Tiến sĩ Lee cho biết các bong bóng thực sự cố gắng nổi lên, nhưng lưu thông trong cốc tạo ra một môi trường không thuận lợi cho sự nổi lên.
"Bạn sẽ nhìn thấy bong bóng chìm không phải vì bản thân các bong bóng chìm, nhưng bởi vì chất lỏng và nó kéo chúng xuống với nó."
Nhóm nghiên cứu cho biết là đã dễ dàng hơn nhiều để nghiên cứu hiệu ứng này trong các loại bia Guinness và bia đen khác do việc sử dụng nitơ. Bia đen thường có chứa nitơ và carbon dioxide được tìm thấy trong tất cả các loại bia, và như nitơ từ từ hòa tan trong chất lỏng, nó tạo ra bong bóng chậm hơn, kéo dài lâu hơn để nghiên cứu.
"Một trong những điều chúng tôi thấy là thực sự rất dễ dàng nhìn thấy bong bóng hình thành trong bia bia đen hơn là bia trong, và rượu sâm banh có quá trình hình thành bong bóng mãnh liệt hơn", Tiến sĩ William Lee, theo BBC.
Cũng giống như bia, toán học thường vui vẻ hơn khi nó được chia sẻ. Nhóm nghiên cứu nói rằng bất cứ ai cũng có thể quan sát hành vi này cho bản thân khi họ tiến đến quầy bar. Các hiệu ứng được tốt nhất nhìn thấy khi bia đen được phục vụ trong một ly trụ thẳng chứ không phải là khá to hơn ở miệng.
Nếu nghiêng cốc khi bia đen lắng xuống, sự thay đổi của độ nghiêng có thể phản ánh trạng thái của một ly pint bình thường. Phía đối diện nghiêng thể hiện các trạng thái của một cốc không pint, nơi mà các bong bóng sẽ lên và xuống trong cùng một thành cốc.
Công nghệ kĩ thuật số cho phép chúng ta tiếp cận rất nhiều game hiện đại, tuy nhiên vẫn tồn tại các trò chơi giải trí tưởng như đơn giản nhưng lại đòi hỏi mức độ tập trung cao và hấp dẫn mọi người, mà giải ô số Sudoku là một ví dụ tiêu biểu. Phải thừa nhận rằng khi chọn mức độ chơi khó hoặc khó nhất của trò này, bên cạnh những suy luận mang tính logic người chơi phải kết hợp phán đoán hoặc thử ngược vài con số để đi đến đáp án cuối cùng. Thực sự nó rất tốn thời gian và làm nản chí những người không có đủ kiên nhẫn. Nhằm làm cho việc giải ô số trở nên dễ dàng hơn, một nhóm các nhà nghiên cứu tại Đại học Notre Dame (bang Indiana, Hoa Kỳ) đã phát minh ra một giải thuật toán học giúp người chơi không cần phải vận dụng tới các phép thử hoặc phán đoán nhàm chán. Hơn nữa bằng cách áp dụng giải thuật đó, họ có thể giải thích, định lượng độ khó của ô chữ Sudoku một cách chính xác và ứng dụng nó trong các lĩnh vực khác.
Trước khi đi vào tìm hiểu chi tiết hơn công trình của nhóm nghiên cứu tại Đại học Notre Dame, chúng ta hãy đi sơ qua về lịch sử của trò chơi Sudoku đầy thú vị.
Lược sử ra đời của Sudoku
Mặc dù được phổ biến bởi một công ty Nhật Bản có tên Nikoli vào năm 1984 và đến năm 2005 chính thức trở thành tên gọi quốc tế của trò chơi, Sudoku không phải có nguồn gốc từ nước mặt trời mọc. Dạng sơ khai của Soduku xuất hiện từ cuối thế kỷ 19 khi nó được đăng trên báo Le Siècle của Pháp. Ở thời điểm ấy trò chơi ô chữ cũng bao gồm một hình vuông to có kích thước 9x9 ô vuông nhỏ hơn, các ô nhỏ này cũng tạo thành các hình vuông trung bình 3x3 như chúng ta thấy ngày nay. Để giải ô chữ độc giả cũng phải điền các con số sao cho mỗi hàng dọc, hàng ngang, và các ô 3x3 sao cho chúng phải bao gồm cùng một bộ số. Tuy nhiên điểm khác biệt là các ô nhỏ khi đó có thể chứa một số có hai chữ số, do đó nó mang dáng dấp của một trò chơi số học hơn là logic như bây giờ. Có lẽ các bạn từng có điều kiện đọc nhiều tài liệu về số học ở cấp II sẽ dễ hình dung nó có vài nét tương đồng với các bài toán ma phương.
Tới năm 1895, tờ báo cạnh tranh với Le Siècle là La France đã cách tân trò chơi và làm cho nó khá giống với Sudoku hiện đại. Họ đưa ra một số luật chơi mới bao gồm: giới hạn các số từ 1-9 ở mỗi hàng, mỗi cột, cũng như mỗi hình tam giác có cạnh đáy là một đường chéo phụ và đỉnh còn lại là vị trí ở góc của ma trận. Mặc dù kiểu ô chữ như vậy không có điều kiện áp đặt cho các ô 3x3, nhưng điều kiện về tam giác đường chéo phụ sẽ tự động dẫn tới hệ quả này.
Vì lý do lịch sử, trò giải ô số 9x9 bị lãng quên sau thế chiến thứ nhất, và phải tới năm 1979 trò này mới được Howard Garns (người Mỹ) giới thiệu trở lại với công chúng cùng luật chơi như hiện tại. Năm 1984 Nipoli đã phổ biến rộng rãi trò giải ô chữ của Garns với tên gọi Sudoku ở Nhật và nó phát triển trên toàn thế giới như chúng ta thấy hiện nay. Bản thân từ Sudoku trong tiếng Nhật có nghĩa là những con số có một chữ số.
Khó khăn khi chơi các Soduku phức tạp
Với các kiểu Sudoku đơn giản, nhiều ô trong bảng 9x9 đã được mở, người chơi chỉ cần dựa vào phán đoán logic để giải mã hoàn toàn những số cần điền. Tuy nhiên, với các bảng phức tạp hơn, tư duy logic chỉ làm việc với một số hữu hạn ô chữ, phần còn lại người chơi gần như phải sử dụng các phép thử một cách thủ công để đưa ra các phương án khả dĩ cho tới khi tìm ra lời giải đúng. Tất nhiên, nếu chúng ta có thời gian thì việc này cũng không có gì đáng kể, nhưng thực sự thay từng phương án như thế rất tốn công và thường làm mọi người nản chí.
Do tính chất cần sự phán đoán, việc lập trình giải mã trò chơi là không hề đơn giản. Chúng ta có thể thấy rằng với một bảng Sudoku, giải thuật thông thường chỉ có thể sử dụng để đưa ra một hệ phương trình tuyến tính cùng điều kiện hạn chế để các ẩn số là các số nguyên từ 1-9. Tuy nhiên, số phương trình cùng số điều kiện lại luôn luôn ít hơn số ẩn, do đó tất yếu là nghiệm của hệ sẽ trở nên suy biến. Nói cách khác chúng ta sẽ thu được không phải là một nghiệm duy nhất mà là một bộ nghiệm. Như vậy, cuối cùng mỗi nghiệm sẽ vẫn tương đương với các phương án khả dĩ của phán đoán ở trên và chúng ta vẫn phải thử lại.
Nghiên cứu giải thuật cho Sudoku tại Đại học Notre Dame
Mục tiêu của các nhà khoa học tại Đại học Notre Dame là tạo ra một phương pháp giải Sudoku không cần sử dụng các phán đoán để rút ngắn thời gian. Để đạt được mục tiêu đó thì họ phải vận dụng các thành tựu của lý thuyết tối ưu và lý thuyết độ phức tạp tính toán trong quá trình nghiên cứu. Kết quả là họ đã thiết lập được một thuật toán đặc biệt cho các bài đố Sudoku mà không cần các phép thử nhàm chán với lời giải chính xác trong thời gian ngắn.
Hơn nữa, họ cũng chỉ ra với giải thuật mới, độ khó của Sudoku tương đương với thời gian cần thiết để mở toàn bộ các ô số. Sự đánh giá này cũng khớp với độ khó được các nhà thiết kế Sudoku đưa ra. Để dễ dàng định lượng, thang độ phức tạp sẽ được chia ra từ 1 tới 4, tương ứng với các mức độ từ dễ, tới khó và cực khó. Theo tính toán, Sudoku cấp độ 2 đòi hỏi thời gian công phá gấp 10 lần cấp độ 1, trong khi Sudoku khó nhất bây giờ được đánh giá ở mức 3.6. Hiện chưa rõ khi nào người ta có thể thiết kế Sudoku khó hơn nữa.
Ứng dụng
Mặc dù thuật toán được đưa ra là để thỏa mãn việc giải những ô số Sudoku như một niềm đam mê, nhóm nghiên cứu cũng tin tưởng những bước phát triển và sự tối ưu trong phương pháp này có thể ứng dụng rộng rãi trong các bài toán công nghiệp, khoa học máy tính và sinh học tính toán. Không rõ là các tác giả có định đưa ra một phần mềm phổ biến trên cơ sở giải thuật của họ hay không. Tuy nhiên, sự thú vị của trò Sudoku lại nằm ở điểm nó tạo cảm giác thách thức trí tuệ của người chơi, do vậy nếu có một phần mềm hỗ trợ thì hi vọng các bạn chỉ sử dụng nó để tham khảo thôi nhé.
Trước khi đi vào tìm hiểu chi tiết hơn công trình của nhóm nghiên cứu tại Đại học Notre Dame, chúng ta hãy đi sơ qua về lịch sử của trò chơi Sudoku đầy thú vị.
Lược sử ra đời của Sudoku
Mặc dù được phổ biến bởi một công ty Nhật Bản có tên Nikoli vào năm 1984 và đến năm 2005 chính thức trở thành tên gọi quốc tế của trò chơi, Sudoku không phải có nguồn gốc từ nước mặt trời mọc. Dạng sơ khai của Soduku xuất hiện từ cuối thế kỷ 19 khi nó được đăng trên báo Le Siècle của Pháp. Ở thời điểm ấy trò chơi ô chữ cũng bao gồm một hình vuông to có kích thước 9x9 ô vuông nhỏ hơn, các ô nhỏ này cũng tạo thành các hình vuông trung bình 3x3 như chúng ta thấy ngày nay. Để giải ô chữ độc giả cũng phải điền các con số sao cho mỗi hàng dọc, hàng ngang, và các ô 3x3 sao cho chúng phải bao gồm cùng một bộ số. Tuy nhiên điểm khác biệt là các ô nhỏ khi đó có thể chứa một số có hai chữ số, do đó nó mang dáng dấp của một trò chơi số học hơn là logic như bây giờ. Có lẽ các bạn từng có điều kiện đọc nhiều tài liệu về số học ở cấp II sẽ dễ hình dung nó có vài nét tương đồng với các bài toán ma phương.
Trong ma trận 3x3 ở trên, các bộ {5,3-11} hay {-3,-1,3} tạo thành một tam giác với đường chéo phụ
Tới năm 1895, tờ báo cạnh tranh với Le Siècle là La France đã cách tân trò chơi và làm cho nó khá giống với Sudoku hiện đại. Họ đưa ra một số luật chơi mới bao gồm: giới hạn các số từ 1-9 ở mỗi hàng, mỗi cột, cũng như mỗi hình tam giác có cạnh đáy là một đường chéo phụ và đỉnh còn lại là vị trí ở góc của ma trận. Mặc dù kiểu ô chữ như vậy không có điều kiện áp đặt cho các ô 3x3, nhưng điều kiện về tam giác đường chéo phụ sẽ tự động dẫn tới hệ quả này.
Vì lý do lịch sử, trò giải ô số 9x9 bị lãng quên sau thế chiến thứ nhất, và phải tới năm 1979 trò này mới được Howard Garns (người Mỹ) giới thiệu trở lại với công chúng cùng luật chơi như hiện tại. Năm 1984 Nipoli đã phổ biến rộng rãi trò giải ô chữ của Garns với tên gọi Sudoku ở Nhật và nó phát triển trên toàn thế giới như chúng ta thấy hiện nay. Bản thân từ Sudoku trong tiếng Nhật có nghĩa là những con số có một chữ số.
Khó khăn khi chơi các Soduku phức tạp
Với các kiểu Sudoku đơn giản, nhiều ô trong bảng 9x9 đã được mở, người chơi chỉ cần dựa vào phán đoán logic để giải mã hoàn toàn những số cần điền. Tuy nhiên, với các bảng phức tạp hơn, tư duy logic chỉ làm việc với một số hữu hạn ô chữ, phần còn lại người chơi gần như phải sử dụng các phép thử một cách thủ công để đưa ra các phương án khả dĩ cho tới khi tìm ra lời giải đúng. Tất nhiên, nếu chúng ta có thời gian thì việc này cũng không có gì đáng kể, nhưng thực sự thay từng phương án như thế rất tốn công và thường làm mọi người nản chí.
Do tính chất cần sự phán đoán, việc lập trình giải mã trò chơi là không hề đơn giản. Chúng ta có thể thấy rằng với một bảng Sudoku, giải thuật thông thường chỉ có thể sử dụng để đưa ra một hệ phương trình tuyến tính cùng điều kiện hạn chế để các ẩn số là các số nguyên từ 1-9. Tuy nhiên, số phương trình cùng số điều kiện lại luôn luôn ít hơn số ẩn, do đó tất yếu là nghiệm của hệ sẽ trở nên suy biến. Nói cách khác chúng ta sẽ thu được không phải là một nghiệm duy nhất mà là một bộ nghiệm. Như vậy, cuối cùng mỗi nghiệm sẽ vẫn tương đương với các phương án khả dĩ của phán đoán ở trên và chúng ta vẫn phải thử lại.
Nghiên cứu giải thuật cho Sudoku tại Đại học Notre Dame
Mục tiêu của các nhà khoa học tại Đại học Notre Dame là tạo ra một phương pháp giải Sudoku không cần sử dụng các phán đoán để rút ngắn thời gian. Để đạt được mục tiêu đó thì họ phải vận dụng các thành tựu của lý thuyết tối ưu và lý thuyết độ phức tạp tính toán trong quá trình nghiên cứu. Kết quả là họ đã thiết lập được một thuật toán đặc biệt cho các bài đố Sudoku mà không cần các phép thử nhàm chán với lời giải chính xác trong thời gian ngắn.
Hơn nữa, họ cũng chỉ ra với giải thuật mới, độ khó của Sudoku tương đương với thời gian cần thiết để mở toàn bộ các ô số. Sự đánh giá này cũng khớp với độ khó được các nhà thiết kế Sudoku đưa ra. Để dễ dàng định lượng, thang độ phức tạp sẽ được chia ra từ 1 tới 4, tương ứng với các mức độ từ dễ, tới khó và cực khó. Theo tính toán, Sudoku cấp độ 2 đòi hỏi thời gian công phá gấp 10 lần cấp độ 1, trong khi Sudoku khó nhất bây giờ được đánh giá ở mức 3.6. Hiện chưa rõ khi nào người ta có thể thiết kế Sudoku khó hơn nữa.
Ứng dụng
Mặc dù thuật toán được đưa ra là để thỏa mãn việc giải những ô số Sudoku như một niềm đam mê, nhóm nghiên cứu cũng tin tưởng những bước phát triển và sự tối ưu trong phương pháp này có thể ứng dụng rộng rãi trong các bài toán công nghiệp, khoa học máy tính và sinh học tính toán. Không rõ là các tác giả có định đưa ra một phần mềm phổ biến trên cơ sở giải thuật của họ hay không. Tuy nhiên, sự thú vị của trò Sudoku lại nằm ở điểm nó tạo cảm giác thách thức trí tuệ của người chơi, do vậy nếu có một phần mềm hỗ trợ thì hi vọng các bạn chỉ sử dụng nó để tham khảo thôi nhé.
Nguồn: PhysOrg, Notre Dame University, Wikipedia
Vòng tròn gồm chín vòng nhỏ (hình13) có tính chất khá kì dị:
Bạn hãy nghĩ một số bất kì có nhiều chữ số (từ hai chữ số trở lên, trừ các số có chữ số giống hệt nhau như 22, 555 v..v. . .). Có thể lấy số điện thoại, số trong vé xổ số tuỳ ý. Ví dụ số: 1728.
Xáo trộn các chữ số này tạo thành một số mới, chẳng hạn 2187. Lấy số lớn trừ đi số nhỏ (2187 - 1728 = 459) rồi cộng các chữ số của kết quả được số cuốí cùng (4 + 5 + 9 = 18).
Mời bạn đặt một ngón tay vào vòng có chữ A. Bắt đầu từ đó, coi vòng có chữ A là số 1, bạn đếm lần lượt các vòng theo chiều kim đồng hồ, mỗi vòng là một số 2, 3, 4... . cho đến lúc đếm hết giá trị của số cuối cùng nói trên thì dừng lại (Trong ví dụ trên, bạn đếm đến 18). Bạn sẽ dừng ở vòng có dấu hỏi (?).
Tính chất kì dị của vòng này là ở chỗ dù bạn chọn nghĩ bất kì số nào đi nữa, sau đó làm đúng các ''thể lệ'' như đã làm với số 1728 nêu trên, rồi đem số cuối cùng từ vòng có chữ A, chắc chắn bao giờ bạn cũng sẽ dừng lại ở vòng có dấu (?)..
Bạn hãy thử xem!
Bí mật của vòng tròn ma quái này có liên quan đến một lí thuyết toán là lí thuyết đồng dư; đã được nhà Toán học Đức vĩ đại là Gau-xơ (Gauss, 1777-1855) nêu ra và nghiên cứu. Nếu hai số nào đó khi chia cho một số p đều có cùng một số dư thì ta gọi hai số đó đồng dư mođun p. Theo lí thuyết đồng dư, nếu làm đúng các ''thể lệ'' như trên thì bao giờ số cuối cùng cũng là một bội số của 9. Vòng tròn quỷ thuật có chín vòng nhỏ nên khi bắt đầu đếm từ vòng chữ A, chắc chắn bội số của 9 cũng sẽ được kết thúc ở vòng có dấu (?).
Bạn hãy nghĩ một số bất kì có nhiều chữ số (từ hai chữ số trở lên, trừ các số có chữ số giống hệt nhau như 22, 555 v..v. . .). Có thể lấy số điện thoại, số trong vé xổ số tuỳ ý. Ví dụ số: 1728.
Xáo trộn các chữ số này tạo thành một số mới, chẳng hạn 2187. Lấy số lớn trừ đi số nhỏ (2187 - 1728 = 459) rồi cộng các chữ số của kết quả được số cuốí cùng (4 + 5 + 9 = 18).
Mời bạn đặt một ngón tay vào vòng có chữ A. Bắt đầu từ đó, coi vòng có chữ A là số 1, bạn đếm lần lượt các vòng theo chiều kim đồng hồ, mỗi vòng là một số 2, 3, 4... . cho đến lúc đếm hết giá trị của số cuối cùng nói trên thì dừng lại (Trong ví dụ trên, bạn đếm đến 18). Bạn sẽ dừng ở vòng có dấu hỏi (?).
Tính chất kì dị của vòng này là ở chỗ dù bạn chọn nghĩ bất kì số nào đi nữa, sau đó làm đúng các ''thể lệ'' như đã làm với số 1728 nêu trên, rồi đem số cuối cùng từ vòng có chữ A, chắc chắn bao giờ bạn cũng sẽ dừng lại ở vòng có dấu (?)..
Bạn hãy thử xem!
Bí mật của vòng tròn ma quái này có liên quan đến một lí thuyết toán là lí thuyết đồng dư; đã được nhà Toán học Đức vĩ đại là Gau-xơ (Gauss, 1777-1855) nêu ra và nghiên cứu. Nếu hai số nào đó khi chia cho một số p đều có cùng một số dư thì ta gọi hai số đó đồng dư mođun p. Theo lí thuyết đồng dư, nếu làm đúng các ''thể lệ'' như trên thì bao giờ số cuối cùng cũng là một bội số của 9. Vòng tròn quỷ thuật có chín vòng nhỏ nên khi bắt đầu đếm từ vòng chữ A, chắc chắn bội số của 9 cũng sẽ được kết thúc ở vòng có dấu (?).
1. Lúc dọn bàn học, vì sơ ý nên Vui làm đổ lọ mực. Tờ giấy nháp em vừa ghi tiền mua sách giúp các bạn dính đầy mực trên các phép tính. Khi Toán ghé chơi em liền đưa tờ giấy nháp để đố Toán tìm lại các số đã bị lem mực (ghi bằng dấu X dưới đây). Tờ giấy nháp ấy như sau:
Số sách của hai tổ:
X + X = XX
Giá tiền mỗi cuốn:
Số tiền phải nộp của tổ 1:
Bạn hãy tìm giúp Toán, biết rằng tổ 2 nhiều sách hơn tổ 1.
2. Tìm cho đủ
Bài toán nhân dưới đây có quá nhiều số chưa rõ (ghi bằng dấu X). Bạn thử tìm lại cho đủ các chữ số ấy, đúng với kết quả phép nhân:
3. Chia thế nào?
Cũng như trên, hãy điền các chữ số thay cho dấu X trong phép chia:
4. Chữ và số
Trong bài toán này, các chữ Giống nhau là các chữ số giống nhau, còn dấu X là những chữ số bất kì. Hãy tìm lại toàn bộ bài toán.
5. Chia các chữ
Hãy thay mỗi chữ trong phép chia sau bằng một chữ số tương ứng:
6. Phép tính hỗn hợp
Bài toán này có đủ các phép tính theo các hàng ngang và cột dọc hãy tìm các chữ số thay vào các chữ để các phép tính đó đều đúng.
7. Ngang và dọc
Cũng giống bài 6, hãy dò tìm các chữ số để ngang dọc đều đúng:
8. Phép cộng đơn giản
Tìm các chữ số thay cho các chữ trong phép cộng các từ tiếng Anh dưới đây (chữ 0 không phải là số không):
9. Số dư bằng 1
Phép Chia này chỉ có số 8 ở thương số và dư số bằng 1, còn các chữ giống nhau là các chữ số giống nhau, chữ khác nhau cũng có thể là các chữ số giống nhau. Hãy tìm tất cả các chữ số đó.
10. Số 8 đơn độc
Đây là bài toán chia không có số dư nổi tiếng, chỉ có một chữ số 8 (các số chưa biết ghi dấu X) của giáo sư Trê-sin (L. Chessin) đăng trên tạp chí The American Mathematical Monthly (Nguyệt san Toán học Hoa Kỳ).
Hãy tìm tất cả các chữ số chưa biết.
Lúc dọn bàn học, vì sơ ý nên Vui làm đổ lọ mực. Tờ giấy nháp em vừa ghi tiền mua sách giúp các bạn dính đầy mực trên các phép tính. Khi Toán ghé chơi em liền đưa tờ giấy nháp để đố Toán tìm lại các số đã bị lem mực (ghi bằng dấu X dưới đây). Tờ giấy nháp ấy như sau:
X + X = XX
Giá tiền mỗi cuốn:
Số tiền phải nộp của tổ 1:
Bạn hãy tìm giúp Toán, biết rằng tổ 2 nhiều sách hơn tổ 1.
2. Tìm cho đủ
Bài toán nhân dưới đây có quá nhiều số chưa rõ (ghi bằng dấu X). Bạn thử tìm lại cho đủ các chữ số ấy, đúng với kết quả phép nhân:
3. Chia thế nào?
Cũng như trên, hãy điền các chữ số thay cho dấu X trong phép chia:
4. Chữ và số
Trong bài toán này, các chữ Giống nhau là các chữ số giống nhau, còn dấu X là những chữ số bất kì. Hãy tìm lại toàn bộ bài toán.
5. Chia các chữ
Hãy thay mỗi chữ trong phép chia sau bằng một chữ số tương ứng:
6. Phép tính hỗn hợp
Bài toán này có đủ các phép tính theo các hàng ngang và cột dọc hãy tìm các chữ số thay vào các chữ để các phép tính đó đều đúng.
7. Ngang và dọc
Cũng giống bài 6, hãy dò tìm các chữ số để ngang dọc đều đúng:
8. Phép cộng đơn giản
Tìm các chữ số thay cho các chữ trong phép cộng các từ tiếng Anh dưới đây (chữ 0 không phải là số không):
9. Số dư bằng 1
Phép Chia này chỉ có số 8 ở thương số và dư số bằng 1, còn các chữ giống nhau là các chữ số giống nhau, chữ khác nhau cũng có thể là các chữ số giống nhau. Hãy tìm tất cả các chữ số đó.
10. Số 8 đơn độc
Đây là bài toán chia không có số dư nổi tiếng, chỉ có một chữ số 8 (các số chưa biết ghi dấu X) của giáo sư Trê-sin (L. Chessin) đăng trên tạp chí The American Mathematical Monthly (Nguyệt san Toán học Hoa Kỳ).
Hãy tìm tất cả các chữ số chưa biết.
Lúc dọn bàn học, vì sơ ý nên Vui làm đổ lọ mực. Tờ giấy nháp em vừa ghi tiền mua sách giúp các bạn dính đầy mực trên các phép tính. Khi Toán ghé chơi em liền đưa tờ giấy nháp để đố Toán tìm lại các số đã bị lem mực (ghi bằng dấu X dưới đây). Tờ giấy nháp ấy như sau:
Số sách của hai tổ:
X + X = XX
Giá tiền mỗi cuốn:
Số tiền phải nộp của tổ 1:
Bạn hãy tìm giúp Toán, biết rằng tổ 2 nhiều sách hơn tổ 1.
2. Tìm cho đủ
Bài toán nhân dưới đây có quá nhiều số chưa rõ (ghi bằng dấu X). Bạn thử tìm lại cho đủ các chữ số ấy, đúng với kết quả phép nhân:
3. Chia thế nào?
Cũng như trên, hãy điền các chữ số thay cho dấu X trong phép chia:
4. Chữ và số
Trong bài toán này, các chữ Giống nhau là các chữ số giống nhau, còn dấu X là những chữ số bất kì. Hãy tìm lại toàn bộ bài toán.
5. Chia các chữ
Hãy thay mỗi chữ trong phép chia sau bằng một chữ số tương ứng:
6. Phép tính hỗn hợp
Bài toán này có đủ các phép tính theo các hàng ngang và cột dọc hãy tìm các chữ số thay vào các chữ để các phép tính đó đều đúng.
7. Ngang và dọc
Cũng giống bài 6, hãy dò tìm các chữ số để ngang dọc đều đúng:
8. Phép cộng đơn giản
Tìm các chữ số thay cho các chữ trong phép cộng các từ tiếng Anh dưới đây (chữ 0 không phải là số không):
9. Số dư bằng 1
Phép Chia này chỉ có số 8 ở thương số và dư số bằng 1, còn các chữ giống nhau là các chữ số giống nhau, chữ khác nhau cũng có thể là các chữ số giống nhau. Hãy tìm tất cả các chữ số đó.
10. Số 8 đơn độc
Đây là bài toán chia không có số dư nổi tiếng, chỉ có một chữ số 8 (các số chưa biết ghi dấu X) của giáo sư Trê-sin (L. Chessin) đăng trên tạp chí The American Mathematical Monthly.
Hãy tìm tất cả các chữ số chưa biết.
X + X = XX
Giá tiền mỗi cuốn:
Số tiền phải nộp của tổ 1:
Bạn hãy tìm giúp Toán, biết rằng tổ 2 nhiều sách hơn tổ 1.
2. Tìm cho đủ
Bài toán nhân dưới đây có quá nhiều số chưa rõ (ghi bằng dấu X). Bạn thử tìm lại cho đủ các chữ số ấy, đúng với kết quả phép nhân:
3. Chia thế nào?
Cũng như trên, hãy điền các chữ số thay cho dấu X trong phép chia:
4. Chữ và số
Trong bài toán này, các chữ Giống nhau là các chữ số giống nhau, còn dấu X là những chữ số bất kì. Hãy tìm lại toàn bộ bài toán.
5. Chia các chữ
Hãy thay mỗi chữ trong phép chia sau bằng một chữ số tương ứng:
6. Phép tính hỗn hợp
Bài toán này có đủ các phép tính theo các hàng ngang và cột dọc hãy tìm các chữ số thay vào các chữ để các phép tính đó đều đúng.
7. Ngang và dọc
Cũng giống bài 6, hãy dò tìm các chữ số để ngang dọc đều đúng:
8. Phép cộng đơn giản
Tìm các chữ số thay cho các chữ trong phép cộng các từ tiếng Anh dưới đây (chữ 0 không phải là số không):
9. Số dư bằng 1
Phép Chia này chỉ có số 8 ở thương số và dư số bằng 1, còn các chữ giống nhau là các chữ số giống nhau, chữ khác nhau cũng có thể là các chữ số giống nhau. Hãy tìm tất cả các chữ số đó.
10. Số 8 đơn độc
Đây là bài toán chia không có số dư nổi tiếng, chỉ có một chữ số 8 (các số chưa biết ghi dấu X) của giáo sư Trê-sin (L. Chessin) đăng trên tạp chí The American Mathematical Monthly.
Hãy tìm tất cả các chữ số chưa biết.
