Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

Bài toán “dây quanh ống trụ” này do Tổ chức Đánh giá Thành tựu Giáo dục Quốc tế (IEA) đưa ra tại một cuộc thi dành cho các học sinh giỏi toán cấp trung học phổ thông đến từ 16 quốc gia trên thế giới vào năm 1995.

Đề bài như sau:

Một sợi dây được quấn đối xứng đúng 4 vòng quanh một ống trụ tròn đều. Ống trụ có chu vi 4 cm và độ dài là 12 cm.

Hỏi: Sợi dây dài bao nhiêu cm? Giải thích cụ thể cách làm của bạn.

Lời giải
Cách 1.
Sợi dây duỗi thẳng sẽ trở thành 4 đường chéo của 4 hình chữ nhật có kích thước 3x4 (cm).
Do chu vi ống trụ là 4 cm nên khi "trải phẳng" ống trụ, ta sẽ được một hình chữ nhật có kích thước 4x12 (cm).
Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có chiều dài mỗi đường chéo (hay mỗi đoạn dây) sẽ là √3² + 4² = 5 (cm)

Do mỗi đường chéo có kích thước bằng nhau nên tổng chiều dài sợi dây là 5 x 4 = 20 (cm).

Cách 2.
Tham số hoá sợi dây:$ (x(t),y(t),z(t))= ( l\frac{t}{4}, r \cos(2\pi t), r \sin(2\pi t) )$ trong đó $l$ là chiều dài và $r$ là bán kính mặt cắt, $t \in[0, 4]$.

Chiều dài của sợi dây là

$$\int\limits_0^4\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}dt=\sqrt{l^2 + 64 \pi^2 r^2}.$$

Thay  $ l=12$ cm và $r =\frac{2}{\pi}$ ta được chiều dài của sợi dây là 20 cm.

Bài toán số 24 trong cuộc thi Olympic Toán học dành cho học sinh Singapore 2015 (Singapore and Asian Math Olympiad - SASMO)


“Albert và Bernard mới làm quen với Cheryl và họ muốn biết sinh nhật của cô ấy. Cheryl đưa ra 10 ngày có thể là sinh nhật của cô: 15-5, 16-5, 19-5, 17-6, 18-6, 14-7, 16-7, 14-8, 15-8 và 17-8.

Sau đó Cheryl nói với Albert tháng sinh của mình (không nói ngày) và nói với Bernard ngày sinh của mình (không nói tháng). Cô đố hai anh chàng ngày sinh thật sự của mình. Albert nói: Tôi không biết sinh nhật của Cheryl khi nào nhưng tôi biết Bernard cũng không biết.

Bernard đáp: Hồi đầu tôi không biết sinh nhật Cheryl nhưng giờ tôi biết rồi. Albert trả lời: Nếu anh biết, vậy tôi cũng biết! Hỏi ngày sinh của Cheryl là khi nào?”.


Bằng cách phân tích ngữ cảnh và từng câu hội thoại, lời giải của bài toán dần sáng tỏ.

Albert nói: Tôi không biết sinh nhật Cheryl là khi nào nhưng tôi biết rằng Bernard cũng không biết.

Tất cả những gì Albert biết là tháng sinh và mỗi tháng có hơn một ngày có khả năng đúng. Vì vậy, rõ ràng Albert không biết ngày sinh của Cheryl là khi nào. Phần đầu của câu nói này coi như dư thừa.

Đối với Bernard, những gì anh ta biết là ngày sinh (không biết tháng sinh). Ở đây, Cheryl sẽ không nói cho Bernard ngày 18 và 19 bởi nếu cô nói ra hai con số này, Bernard sẽ biết ngay ngày sinh là 19-5 hoặc 18-6 bởi số 18 và 19 chỉ xuất hiện một lần trong 10 ngày mà Cheryl nêu ra. Từ đó Bernard sẽ biết luôn tháng sinh là tháng 5 và tháng 6.

Nhưng vì Albert nói rằng anh biết chắc chắn Bernard cũng không biết tháng sinh nên tháng 5 và tháng 6 bị loại ra.

Benard nói: Ban đầu tôi không biết khi nào là sinh nhật Cheryl nhưng giờ thì tôi biết rồi.

Tiếp suy luận trên, giờ thì Bernard đã biết ẩn ý trong câu nói của Albert tháng sinh là 7 hoặc 8. Trong hai tháng này, ngày 15, 16, 17 xuất hiện một lần và ngày 14 xuất hiện hai lần.

Nếu Cheryl nói với Bernard ngày 14, khi đó Bernard cũng sẽ chẳng biết là ngày nào. Nhưng ở câu thứ 2 Bernard nói anh đã biết ngày sinh của Cheryl, điều này có nghĩa rằng ngày đó chắc chắn không phải ngày 14 mà là một trong ba ngày còn lại: 15-8, 16-7 và 17-8.

Albert: Vậy thì tôi cũng biết sinh nhật Cheryl rồi.

Lúc này, Albert cũng giảm các khả năng xuống ba ngày vừa nêu. Trong số này có một ngày tháng 7 và hai ngày tháng 8. Albert chắc hẳn phải được Cheryl tiết lộ tháng 7 bởi nếu anh được nói tháng 8, anh sẽ không biết chắc ngày nào trong số hai ngày của tháng này.

Do đó, đáp án cuối cùng là ngày 16-7.

Để dễ hiểu hơn, một thành viên có tên FarmerBill đăng trên Imgur.com đáp án bằng hình vẽ như sau:

Tháng 5: có ngày 15, 16 và 19
Tháng 6: có ngày 17 và 18
Tháng 7: có ngày 14 và 16
Tháng 8: có ngày 14 , 15 và 17
Cheryl chỉ cho Albert biết tháng.
Cheryl chỉ cho Bernard biết ngày.
Đầu tiên ta loại 2 tháng 5 (May) và tháng 6 (June):
Lý do loại: Albert chỉ biết tháng nhưng lại biết chắc chắn Bernard không thể biết ngày. Vậy tháng mà Albert biết không thể là 5 và 6. Bởi vì: nếu là tháng 5 thì có thể Cheryl đã nói với Bernard là ngày 19 và Bernard sẽ biết ngay là 19/5 (ngày 19 là duy nhất trong 10 ngày).
Nếu là tháng 6 thì có thể Cheryl đã nói với Bernard là ngày 18 và Bernard sẽ biết ngay là 18/6 (ngày 18 là duy nhất trong 10 ngày)
Còn 2 tháng là 7 và 8:
+ Bernard chỉ biết ngày nhưng sau đó lại biết luôn cả tháng nữa. Suy ra đây phải là 1 ngày duy nhất trong 2 tháng 7 và 8. Ta loại ngay được ngày 14/7 và 14/8. Vì nếu Bernard biết là ngày 14 thì cậu sẽ không biết là 14 tháng nào trong 2 tháng 7 và 8.
+ Còn lại 3 phương án: 16/7,15/8, 17/8. Lại nghĩ đến điều kiện của Albert: Albert chỉ biết tháng nhưng sau đó cũng vẫn biết được sinh nhật của Cheryl suy ra tháng mà Albert biết cũng phải là duy nhất. Vì vậy nếu là tháng 8 thì không ổn vì Albert sẽ ko biết ngày nào trong 2 ngày 15 và 17.
Như vậy, chỉ ngày 16/7 đảm bảo tính duy nhất của ngày và tính duy nhất của tháng.

Đáp án chính thức của bài toán logic (Nguồn: http://mothership.sg)

Đã đăng Phần 1 Phần 2

Bài 1: Cộng các số liên tiếp
Qui tắc: Cộng các số theo hàng từ thấp nhất đến cao nhất trong nhóm số, nhân kết quả cho số lượng số trong nhóm đó, và chia kết quả cho 2.

VD: Tính tổng của các số từ 33 đến 41.
- Đầu tiên cộng các số theo hàng từ thấp đến cao (làm bài toán cộng bình thường).
33 + 41 = 74
- Tiếp theo, nhân kết quả cho số lượng số trong nhóm (từ 33 đến 41 có 9 số).
74 x 9 = 666
- Cuối cùng chia kết quả lại cho 2.
666 : 2 = 333
Kết quả: 333 là tổng của các số từ 33 đến 41. (Nếu các bạn không tin thì cứ tính thử).

xong rồi các bạn thực hành thử coi được không?
1. Tính tổng của các số từ 50 đến 89.
2. Tính tổng các số từ 102 đến 124.
3. Tính tổng các số từ 300 đến 328.


Bài 2: Cộng các số liên tiếp bắt đầu từ 1
Qui tắc: Nhân số lượng số trong nhóm đó cho một số lớn hơn 1 đơn vị, và chia kết quả cho 2.

VD: Tính tổng của các số từ 1 đến 99.
- Đầu tiên từ 1 đến 99 có 99 số.
- Tiếp theo, ta nhân số lượng số cho một số lớn hơn 1 đơn vị.
99 x 100 = 9900
- Cuối cùng chia kết quả lại cho 2.
9900 : 2 = 4950
Kết quả: 45 là tổng của các số từ 1 đến 9. (Nếu các bạn không thì cứ tính thử).


Bài 3: Tổng các số lẻ liên tiếp
Qui tắc: Bình phương số lượng số lẻ trong loạt số đó.

VD: Tính tổng của các số lẻ từ 1 đến 100.
- Đầu tiên từ 1 đến 100 có 50 số lẻ.
- Bình phương số lượng các số lẻ từ 1 đến 100.
50 x 50 = 2500
Kết quả: 2500 là tổng các số lẻ từ 1 đến 100. (Nếu các bạn không tin thì cứ tính thử).


Bài 4: Tổng các số chẵn liên tiếp

Qui tắc: Nhân số lượng số chắn trong loạt số đó cho một số lớn hơn 1 đơn vị.

VD: Tính tổng của các số lẻ từ 2 đến 100.
- Đầu tiên từ 2 đến 100 có 50 số chẵn.
- Nhân số lượng số chẵn trong loạt số cho một số lớn hơn 1 đơn vị.
50 x 51 = 2550
Kết quả: 2550 là tổng của các số chẵn từ 2 đến. (Nếu không tin thì cứ tính thử)
Theo VD bài 2 tổng các số liên tiếp từ 1 đến 99 là 4950, tổng các số liên tiếp từ 1 đến 100 là 5050. Trong các VD bài 3 tổng các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 100 là 2500. Kết quả bài VD trên có thể tính bằng:
Tổng các số liên tiếp từ 1 đến 100 – Tổng các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 100 = Tổng các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 100
5050 - 2500 = 2050


Bài 5: Tổng một nhóm số cách đều

Qui tắc: Tính tổng giữa số lớn nhất với số nhỏ nhất, nhân tổng cho số lượng số trong nhóm, chia kết quả cho 2.

VD: Tính tổng của các số sau: 87, 91, 95, 99, và 103.
- Chú ý: giữa các số có chung sự khác nhau đó là số này cách số kia 4 đơn vị, ta có thể sử dụng phương pháp ngắn gọn trên.
- Đầu tiên tính tổng của số nhỏ nhất với số lớn nhất.
87 + 103 = 190
- Tiếp theo nhân tổng với số lượng số trong nhóm (nhóm số trên có tất cả 5 số).
190 x 5 = 950 (cách tính này nữa bạn học ở bài 11)
- Cuối cùng chia tích cho 2.
950 : 2 = 475
Kết quả: 475 là tổng của các số 87, 91, 95, 99 và 103. (Nếu không tin thì cứ tính thử)
Trong thực tế bài 5 này là bài 1, bởi vì chỉ đơn giản là bài một ta tính tổng các số liên tiếp cách nhau 1 đơn vị. Còn ở bài này ta dùng để tính tổng của các số cách nhau một khoảng đơn vị. Bạn cũng có thể kết hợp cả bài 1 và bài 5.


Bài 6: Tổng một nhóm số có tỉ số chung

Qui tắc: nhân tỉ số đó cho chính nó số lần bằng số lượng số trong nhóm, trừ kết quả cho 1 và nhân tiếp cho số đầu tiên của loạt số. Cuối cùng chia kết quả cho số nhỏ hơn tỉ số 1 đơn vị.

VD: Tính tổng của các số sau: 53, 106, 212, 424
- Ta thấy tỉ số giữa 2 số là 2 (tức là số sau bằng 2 lần số trước) và trong nhóm có 4 số.
- Đầu tiên nhân tỉ số đó cho chính nó với số lần bằng số lượng số trong nhóm.
2 x 2 x 2 x 2 (24) = 16
- Tiếp theo trừ kết quả cho 1.
16 – 1 = 15
- Kế đó nhân tiếp cho số đầu tiên của loạt số.
15 x 53 = 795
- Cuối cùng chia kết quả cho số nhỏ hơn tỉ số 1 đơn vị tức là 795 chia cho 1 bằng 795.
Kết quả: 795 là tổng của các số 53, 106, 212, 424. (Nếu không tin thì cứ tính thử) Lưu ý: Bài này chỉ áp dụng khi tỉ số nhỏ hoặc khi số lượng số trong nhóm ít. Nếu số lượng số trong nhóm lớn và tỉ số khá cao thì nhân tỉ số cho chính nó nhiều lần hơn sẽ làm giảm độ dễ mà bài có thể áp dụng.

Bài 7: Nhân cho 2

Thoạt đầu đọc tựa bài hẳn có nhiều bạn cho rằng: Nhân cho 2 ai mà chả biết hay Dễ ẹt có gì mà khó
Giả sử như mình cho các bạn một bài như 1,524,685 x 2 mấy bạn sẽ làm sao? Ngồi mà tính nhẫm từng số à hay là dùng máy tính (nếu vậy thì không cần phải xem những bài này đâu)
Qui tắc: Bắt đầu từ ký tự số đầu tiên của số sẽ nhân cho 2: Nếu số đó nhỏ hơn hoặc bằng 4 thì ta nhân đôi số đó lên, nếu số đó từ 5 đến 9 thì ta trừ số đó cho 5 và nhân đôi kết quả lên. Tiếp tục làm như thế với các ký tự tiếp theo. Cuối cùng là phần ước lượng. Các ký tự bắt đầu từ trái sang phải của số nhân với 2 nếu như ký tự đó từ 5 trở lên thì kết quả bên trái các số của phần kết quả sẽ cộng thêm 1 đơn vị.

Nói nghe có vẻ khó nhưng thực hiện thì dễ hơn nhiều VD: Tìm tích của 562 x 2
Ký tự đầu tiên là 5 theo công thức ta có 5 - 5 = 0 tiếp theo là 0 x 2 = 0 (do ký tự đầu tiên là 5)
Ký tự tiếp theo là 6 theo công thức ta có 6 - 5 = 1 tiếp theo là 1 x 2 = 2 (do ký tự này là 6)
Ký tự tiếp theo là 2 theo công thức ta có 2 x 2 = 4 (do ký tự này là 2)
Tuần tự ghi các số đã tìm đc là 024

Tới phần quan trọng đây: Bắt đầu từ trái sang phải của số nhân với 2 tức là số 562 có ký tự cuối cùng là 2 < 5 cho nên kí tự kế bên trái của phần kết quả 024 là số 2 sẽ dc giữ nguyên. Kí tự kế tiếp của số 562 là 6 > 5 cho nên kí tự bên trái phần kết quả là số 0 sẽ dc cộng thêm 1 đơn vị nên 0 + 1 = 1 kết quả bây giờ có thay đổi là 124. Kí tự cuối cùng của số 562 là 5 cho nên số kế tiếp của phần kết quả 124 sẽ đc cộng thêm 1 đơn vị tức là kết quả là 1124.(Nếu không tin các bạn cứ tính thử)
*****

Bài 8: Nhân cho 3

Qui tắc: Ước lượng kí tự đầu tiên của đáp số bằng cách lấy 1 nửa của kí tự đầu tiên số đã cho. Tiếp theo các kí tự còn lại sẽ đc trừ bởi 9, nhân đôi kết quả rồi cộng cho 1 nửa của kí tự bên phải kí tự đó. Nhớ ghi lại các số nhận đc một cách tuần tự. Nếu kí tự nào lẻ thì kết quả của kí tự đó sẽ cộng thêm 5. Để tìm kí tự cuối cùng của đáp án thì ta lấy 10 trừ cho kí tự cuối cùng của số đã cho, sau đó nhân 2, cộng thêm 5 nếu kí tự đó là số lẻ. Mỗi bước tính ở trên phải ghi lại các số đã tính dc. Nếu các số tính ra từ 10 trở lên thì ta chỉ lấy hàng đơn vị còn số còn lại ta cộng vào kí tự phía trước nó. Để tìm ra kết quả từ số đã ước lượng ở đầu bài ta cộng kí tự đầu tiên của đáp án với số đã ước lượng đó và trừ kết quả lại cho 2
5,943 x 3

Ước lượng kí tự đầu tiên: 5 ta lấy 1 nửa là 2 (Nhớ là lấy phần nguyên)
Kí tự đầu tiên là 5 theo qui tắc: 9 - 5 = 4, 4 x 2 = 8, 8 + 4 = 12, 12 + 5 = 17 (do 5 là số lẻ) ghi ra giấy kết quả nhận dc là 17.
Kí tự thứ 2 là 9 ta cũng làm như trên: 9 - 9 = 0, 0 + 2 + 5 = 7 ghi ra giấy 177.
kí tự thứ 3 là 4 tương tự: 9 - 4 = 5, 5 x 2 = 10, 10 + 1 = 11 do kết quả từ 10 trở lên ta chỉ lấy phần đơn vị còn phần còn lại ta cộng cho số trước nó: 1 + 7 = 8 ghi ra giấy 1781.
Kí tự cuối cùng là 3 theo qui tắc thì: 10 - 3 = 7, 7 x 2 = 14, 14 + 5 = 19 ghi ra giấy 17829.
Cuối cùng cộng kí tự đầu tiên cho số đã ước lượng: 1 + 2 = 3 ghi ra giấy 37829 Trừ kí tự đầu cho 2: 3 - 2 = 1 vậy kết quả cuối cùng là 17829 đc chưa? (không tin mấy bạn cứ tính thử).


Bài 9: Nhân cho 4

Qui tắc: Ước lượng số đầu bằng cách lấy đi 1 nửa kí tự đầu. Các kí tự lần lượt tính như sau: Lấy 9 trừ kí tự đó rồi cộng cho 1 nửa kí tự sau nó, nếu kí tự đó lẻ thì cộng thêm 5. Đến kí tự cuối cùng thì lấy 10 trừ cho kí tự đó cộng 5 nếu kí tự lẻ. Nhớ tuần tự ghi lại các số đã tính đc vào giấy, cách ghi giống của bài 9. Cuối cùng để nhận kết quả ta lấy kí tự đầu cộng số ước và trừ lại cho 1.

VD: 15,632 x 4
Ước lượng: 1 : 2 = 0.5 vậy số ước bằng 0
Tuần tự tính các kí tự: 9 - 1 = 8, 8 + 2 = 10, 10 + 5 = 15 ghi giấy 15
9 - 5 = 4, 4 + 3 = 7, 7 + 5 = 12 ghi giấy 162
9 - 6 = 3, 3 + 1 = 4 ghi giấy 1,624
9 - 3 = 6, 6 + 1 = 7,7 + 5 = 12 ghi giấy 16,252
10 - 2 = 8 ghi giấy 162,528
trừ kí tự đầu của kết quả cho 1 thì kết quả nhận đc là 62,528( nếu không tin mấy bạn cứ tính thử)


Bài 10: Nhân cho 5

Qui tắc: Bài này có 2 phương pháp.
Phương pháp 1: Kí tự đầu tiên của đáp án bằng 1 nửa kí tự số đã cho. Các kí tự của đáp số bằng 5 nếu kí tự của số đó là lẻ, bằng 0 nếu kí tự đó chẵn, và cộng thêm 1 nửa của kí tự bên phải kí tự đó. Kí tự cuối cùng của đáp số là 5 nếu kí tự cuối của số đã cho là số lẻ, là 0 nếu kí tự chẵn.
Phương pháp 2: Di chuyển dấu phẩy ngăn cách giữa phần nguyên và phần thập phân của số sang phải 1 kí tự rồi chia số đó cho 2.
Vd: 56,395 x 5

Phương pháp 1:
Kí tự đầu của đáp số 5 : 2 = 2, ghi giấy 2
Kí tự đầu tiên là 5 theo qui tắc: 5 + 3 = 8
Kí tự tiếp theo là 6 theo qui tắc: 0 + 1 = 1 ghi giấy 281
kí tự tiếp theo là 3 theo qui tắc: 5 + 4 = 9 ghi giấy 2,819
Kí tự tiếp theo là 9 theo qui tắc: 5 + 2 = 7 ghi giấy 28,197
Kí tự cuối cùng là 5 theo qui tắc: 5 + 0 = 5 ghi giấy 281,975(kết quả, nếu không tin thì các bạn cứ tính thử).

Phương pháp 2:
Ta thấy dấu phẩy ngăn cách phần nguyên và phần thập phân của số là: 56,395.0 vậy mình sẽ dời nó sang phải 1 kí tự là 56,3950.0(do ở đây mình dùng dấu phẩy để ngăn cách 3 chữ số ở phần nguyên nên mình đành lấy dấu chấm, mấy bạn đừng hiểu lầm)
Chia lại cho 2: 563,950 : 2 = 281,975(kết quả, bằng với phương pháp 1 nếu không tin thì các bạn cứ tính thử)

Còn nữa...

Tiếp theo Các kĩ thuật tính nhẩm nhanh - Phần 1

4. Tính nhanh tích hai số gần bằng 100, 1.000… gồm bốn bước là: Số bù, hiệu chéo, tích số bù và ghép số.

Bài 1. Tính 9991 x 9997.

Giải. Số bù là 10.000 - 9.991 = 9, 10.000 - 9997 = 3. Hiệu chéo là 9991 - 3 = 9988. Tích số bù là 9 x 3 = 27. Vì 27 là số có 2 chữ số nên cần viết thêm số 00 vào trước để đủ 4 chữ số là 0027. Vậy 9991 x 9997 = 99880027.

Chú ý. Với những số có hai chữ số như 92, 89 thì số bù là hiệu của 100 với số đó. Tương tự, với những số có ba hay bốn chữ số thì số bù là hiệu của 1.000, 10.000 với số đó.

Bài 2. Tính 82 x 93.

Giải. Số bù là 100 - 82 = 18, 100 - 93 = 7. Hiệu chéo là 82 - 7 = 75. Tích số bù là 18 x 7 = 126. Vì 126 là số có ba chữ số, ta giữ nguyên số có hai chữ số là 26. Cộng phần còn lại với hiệu chéo là 1 + 75 = 76. Ta được 82 x 93 = 7626.

Bài 3. Tính 991 x 879.

Giải. Số bù là 1.000 - 991 = 9, 1.000 - 879 = 121. Hiệu chéo là 879 - 9 = 870. Tích số bù là 9 x 121 = 1.089. Vì 1.089 là số có bốn chữ số, ta giữ nguyên số có ba chữ số là 089. Cộng phần còn lại với hiệu chéo là 1 + 870 = 871. Ta được 991 x 879 = 871.089.

Chú ý. Hiệu chéo có thể tính theo hai cách là 879 - 9 hoặc 991 - 121.

Bài 4. Tính 92 x 996.

Giải. Để hai thừa số có cùng số chữ số, ta nhân 92 với 10 và xét tích 920 x 996. Số bù là 1.000 - 920 = 80, 1.000 - 996 = 4. Hiệu chéo là 920 - 4 = 916. Tích số bù là 80 x 4 = 320. Vậy 920 x 996 = 916320 nên 92 x 996 = 91632.

3. Tính tích hai số có cùng số chữ số nhưng lớn hơn 10, 100, 1.000... Với số lớn hơn 10 như 12 thì 2 là số tăng.

Bài 5. Tính 12 x 14.

Giải. Bước 1: Số tăng 2, 4 (là 12 - 10, 14 - 10). Bước 2: Tổng chéo 12 + 4 = 16. Bước 3: Tích số tăng 2 x 4 = 8. Bước 4: Ghép số, ta được 12 x 14 = 168.

Bài 6. Tính 13 x 19.

Giải. Số tăng 3, 9. Tổng chéo 13 + 9 = 22. Tích số tăng 3 x 9 = 27. Ta giữ nguyên một chữ số cuối là 7, còn lại số 2 ở hàng chục. Tổng 2 + 22 = 24. Ta được 13 x 19 = 247.

Bài 7. Tính 102 x 145.

Giải. Số tăng 2, 45. Tổng chéo 102 + 45 = 147. Tích số tăng 2 x 45 = 90. Ta được 101 x 145 = 14790.

Bài 8. Tính 108 x 114.

Giải. Số tăng 8, 14. Tổng chéo 108 + 14 = 122. Tích số tăng 8 x 14 = 112. Ta giữ nguyên hai chữ số cuối là 12, còn lại số 1 ở hàng trăm. Tổng 1 + 122 = 123. Ta được 108 x 114 = 12312.

Bài 9. Tính 1009 x 1012.

Giải. Số tăng 9, 12. Tổng chéo 1.009 + 12 = 1.021. Tích số tăng 9 x 12 = 108. Ta được 1.009 x 1.012 = 1021108.

Chú ý. Khi nhân hai số có cùng số chữ số là hai và lớn hơn 10 thì với tích số tăng lớn hơn một chữ số, ta sẽ giữ một chữ số cuối lại, chữ trước nó sẽ cộng với tổng chéo. Cũng vậy, nếu nhân hai số có ba chữ số mà tích số tăng là số có ba chữ số thì giữ lại số có hai chữ số và cộng số còn lại với tổng chéo.

5. Nhẩm nhanh của tích hai số mà một số lớn hơn, một số nhỏ hơn 10, 100 hay 1000.

Bài 1. Tính 9 × 12.

Nhận xét. Bằng cách nhân trực tiếp, ta sẽ có ngay kết quả là 9 × 12 = 108. Tuy nhiên, theo tư duy số bù và số tăng, ta giải như sau để biết phương pháp nhân nhanh cho những tích khác mà thừa số có nhiều chữ số hơn.

Giải. Bước 1: Số bù là 10 – 9 = 1, số tăng là 12 – 10 = 2. Bước 2: Tổng chéo (số bé + số tăng) = Hiệu chéo (số lớn trừ số bù) = 9 + 2 = 12 – 1 = 11. Bước 3: Tích số bù với số tăng là 1 × 2 = 2. Bước 4: Nhân tổng chéo với 10 rồi trừ đi tích là 11 × 10 – 2 = 110 – 2 = 108. Ta được 9 × 12 = 108.

Chú ý: 9 và 12 là hai số xung quanh số 10 nên ta nhân tổng chéo với 10. Nếu hai thừa số là những số xung quanh số 100, 1000 thì ta sẽ nhân tương ứng tổng chéo với 100, 1000.

Bài 2. Tính 103 × 98.

Giải. Số tăng là 103 – 100 = 3, số bù là 100 – 98 = 2. Hiệu chéo là 103 – 2 = 101. Tích số tăng với số bù là 3 × 2 = 6. Nhân hiệu chéo với 100 rồi trừ đi tích là 101 × 100 – 6 = 10100 – 6 = 10094. Ta được 103 × 98 = 10094.

Bài 3. Tính 986 × 1004.

Giải. Số bù là 1000 – 986 = 14, số tăng là 1004 – 1000 = 4. Tổng chéo là 986 + 4 = 990. Tích số bù với số tăng là 14 × 4 = 56. Nhân tổng chéo với 1000 rồi trừ đi tích là 990 × 1000 – 56 = 990000 – 56 = 989944. Ta được 986 × 1004 = 989944.

Bài 4. Tính 8 × 102.

Giải. Ta có 8 × 102 = (80 × 102) : 10.

Tính 80 × 102. Số bù là 20, số tăng là 2. Tổng chéo là 82. Tích số bù với số tăng là 40. Nhân tổng chéo với 100 rồi trừ đi tích là 82 × 100 – 40 = 8200 – 40 = 8160. Ta được 80 × 102 = 8160.

Vậy 8 × 102 = 8160 : 10 = 816.

Bài 5. Tính 99 × 1006.

Giải. Cách 1. Ta có 99 × 1006 = (990 × 1006) : 10.

Tính 990 × 1006. Số bù là 10, số tăng là 6. Tổng chéo là 996. Tích số bù với số tăng là 60. Nhân tổng chéo với 1000 rồi trừ đi tích là 996 × 1000 – 60 = 996000 – 60 = 995940. Ta được 990 × 1006 = 995940.

Vậy 99 × 1006 = 995940 : 10 = 99594.

Cách 2. Ta có 99 × 1006 = 9 × (11 × 1006).

Tính 11 × 1006. Ta có dãy số: 6, 6 + 0, 0 + 0, 0 + 1, 1 hay 6, 6, 0, 1, 1. Vậy 11 × 1006 = 11066 nên 99 × 1006 = 9 × 11066 = 99594.

Bài 6. Tính 86 × 112.

Giải. Số bù là 14, số tăng là 12. Tổng chéo là 98. Tích số bù với số tăng là 14 × 12.

Tính 14 × 12. Số tăng là 4, 2. Tổng chéo là 16. Tích số tăng là 8. Vậy 14 × 12 = 168.

Nhân tổng chéo với 100 rồi trừ đi tích là 98 × 100 – 168 = 9800 – 168 = 9632. Ta được 86 × 112 = 9632.

6. Nhân nhẩm nhanh của tích hai số có hai chữ số mà chữ số hàng chục giống nhau, tích hai số có ba chữ số mà chữ số hàng trăm giống nhau, như 32 × 34, 401 × 402. 
Điều khác biệt trong những phép nhân này so với phép nhân hai số xung quanh 10, 100, 1000 là số được chọn là mốc hay gốc không phải là 10, 10 mà là 30, 400...

Bài 1. Tính 23 × 21.

Giải. Ta thực hiện các bước sau. Bước 1. Chọn mốc là số 20. Bước 2. Số tăng là 23 - 20 = 3, 21 - 20 = 1. Bước 3. Tổng chéo là 23 + 1 = 24. Bước 4. Tích của tổng chéo với chữ số hàng chục của mốc là 24 × 2 = 48. Bước 5. Tích hai số tăng là 3 × 1 = 3. Ta được 23 × 21 = 483.

Nhận xét. So với nhân hai số gần 10, 100 thì ta thêm bước 4, còn các quy tắc nhân nhẩm nhanh vẫn như cũ.

Bài 2. Tính 403 × 412.

Giải. Mốc là 400. Số tăng là 403 – 400 = 3, 412 – 400 = 12. Tổng chéo là 403 + 12 = 415. Tích của tổng chéo với chữ số hàng trăm của mốc là 415 × 4 = 1660. Tích hai số tăng là 3 × 12 = 36. Vậy 403 × 412 = 166036.

Bài 3. Tính 3005 × 3024.

Giải. Mốc là 3000. Số tăng là 5, 24. Tổng chéo là 3029. Tích 3029 × 3 = 9087. Tích 5 × 24 = 120. Vậy 3005 × 3024 = 9087120.

Bài 4. Tính 34 × 38.

Giải. Mốc là 30. Số tăng là 4, 8. Tổng chéo là 42. Tích 42 × 3 = 126. Tích 4 × 8 = 32. Vì tích hai số tăng chỉ lấy một chữ số nên ta giữ số 2, chuyển số 3 vào 126. Tổng 126 + 3 = 129. Vậy 34 × 38 = 1292.

Bài 5. Tính 57 × 58.

Giải. Mốc là 60. Số bù là 60 – 57 = 3, 60 – 58 = 2. Hiệu chéo là 57 – 2 = 55. Tích 55 × 6 = 330. Tích 3 × 2 = 6. Vậy 57 × 58 = 3306.

Bài 6. Tính 194 × 197.

Giải. Mốc là 200. Số bù là 6, 3. Hiệu chéo là 191. Tích 191 × 2 = 382. Tích 6 × 3 = 18. Vậy 194 × 197 = 38218.

Bài 7. Tính 3987 × 3996.

Giải. Mốc là 4000. Số bù là 13, 4. Hiệu chéo là 3983. Tích 3983 × 4 = 15932. Tích 13 × 4 = 52. Vì tích hai số bù cần đủ ba chữ số nên ta thêm số 0 ở trước số 52 để được số 052. Vậy 3897 × 3996 = 15932052.

Bài 8. Tính 455 × 46.

Giải. Ta có 455 × 46 = 455 × 460 : 10.

Tính 455 × 460. Mốc là 500. Số bù là 45, 40. Hiệu chéo là 415. Tích 415 × 5 = 2075. Tích 45 × 40 = 1800. Vì tích hai số bù chỉ lấy hai chữ số nên ta giữ hai chữ số cuối là 00, chuyển số 18 vào số 2075. Tổng 2075 + 18 = 2093. Vậy 455 × 460 = 209300 nên 455 × 46 = 20930.

Lưu ý. Tùy theo mỗi phép nhân, ta có thể chọn những mốc khác nhau để giải. Chẳng hạn ở bài 4, tính 34 × 38, ta có thể giải như sau:

Mốc là 40. Số bù là 6, 2. Hiệu chéo là 32. Tích 32 × 4 = 128. Tích 6 × 2 = 12. Vì tích hai số bù chỉ lấy một chữ số nên ta giữ số 2 ở cuối, chuyển số 1 vào 128. Tổng 128 + 1 = 129. Vậy 34 × 38 = 1292.

7. Nhân nhẩm nhanh tích của hai số xung quanh số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn. Chẳng hạn 46 × 52, 197 × 204 hay 996 × 1002. Ở đây, với tích 46 × 52, ta có mốc là số 50. Hai số 46, 52 kém và hơn 50. Ta vẫn giữ nguyên khái niệm số bù (50 – 46 = 4) và số tăng (52 – 50 = 2).

Bài 1. Tính 29 × 34.

Giải. Ta thực hiện các bước sau. Bước 1. Chọn mốc là số 30. Bước 2. Số bù là 30 – 29 = 1, số tăng là 34 – 30 = 4. Bước 3. Tổng chéo là 29 + 4 = 33 (hoặc hiệu chéo là 34 – 1 = 33). Bước 4. Tích của hiệu chéo với chữ số hàng chục của mốc là 33 × 3 = 99. Bước 5. Tích số bù với số tăng là 1 × 4 = 4. Hiệu 990 – 4 = 986. Vậy 29 × 34 = 986.

Bài 2. Tính 405 × 396.

Giải. Chọn mốc là số 400. Số tăng là 5, số bù là 4. Hiệu chéo là 401. Tích của hiệu chéo với chữ số hàng trăm của mốc là 401 × 4 = 1604. Tích số bù với số tăng là 5 × 4 = 20. Hiệu 160400 – 20 = 160380. Vậy 405 × 396 = 160380.

Bài 3. Tính 3994 × 4003.

Giải. Mốc là 4000. Số bù là 6, số tăng là 3. Tổng chéo là 3997.

Tích 3997 × 4 = (4000 – 3) × 4 = 16000 – 12 = 15988. Tích 6 × 3 = 18. Hiệu 15988000 – 18 = 15987982. Vậy 3994 × 4003 = 15987982.

Bài 4. Tính 68 × 72.

Giải. Mốc là 70. Số bù là 2, số tăng là 2. Tổng chéo là 70. Tích 70 × 7 = 490. Tích 2 × 2 = 4. Hiệu 4900 – 4 = 4896. Vậy 68 × 72 = 4896.

Nhận xét. Ở phép nhân này, ta thấy số bù với số tăng bằng nhau, tổng chéo (hiệu chéo) bằng số mốc. Ta có thể rút gọn cách làm như sau: “Số bù là 2. Tích 7 × 7 = 49. Tích 2 × 2 = 4. Nhân 49 với 100 rồi trừ đi tích hai số bù là 4900 – 4 = 4896. Vậy 68 × 72 = 4896”. Với những phép nhân này, với mốc là số có hai, ba hay bốn chữ số thì sau khi nhân chữ số đầu tiên của mốc với chính nó, ta nhân thêm lần lượt với 100, 10000, 1000000 rồi trừ đi tích hai số bù (hay số tăng).

Bài 5. Tính 41 × 39.

Giải. Mốc là 40. Số bù là 1. Tích 4 × 4 = 16. Tích 1 × 1 = 1. Hiệu 1600 – 1 = 1599. Vậy 41 × 39 = 1599.

Bài 6. Tính 76 × 84.

Giải. Mốc là 80. Số bù là 4. Tích 8 × 8 = 64. Tích 4 × 4 = 16. Hiệu 6400 – 16 = 6384. Vậy 76 × 84 = 6384.

Bài 7. Tính 895 × 905.

Giải. Mốc là 900. Số bù là 5.

Tích 9 × 9 = 81. Tích 5 × 5 = 25. Hiệu 810000 – 25 = 809975. Vậy 895 × 905 = 809975.

Bài 8. Tính 5003 × 4997.

Giải. Mốc là 5000. Số tăng là 3. Tích 5 × 5 = 25. Tích 3 × 3 = 9. Hiệu 25000000 – 9 = 24999991. Vậy 5003 × 4997 = 24999991.

Lưu ý. Ta cũng có thể thực hiện cách khác nhân nhẩm hai số xung quanh một số mốc mà có số bù và số tăng bằng nhau như sau.

Bài 9. Tính 88 × 92.

Giải. Mốc là 90. Số bù là 2. Hiệu 90 × 90 – 2 × 2 = 8100 – 4 = 8096. Vậy 88 × 92 = 8096.

Bài 10. Tính 593 × 607.

Giải. Mốc là 600. Số bù là 7. Hiệu 600 × 600 – 7 × 7 = 360000 – 49 = 359951. Vậy 593 × 607 = 359951.

2. Nhân hai số tận cùng bằng 5

Để tính tích, ta bỏ đi chữ số 5 ở hàng đơn vị của số đó. Lấy số mới này nhân với tổng của nó với 1, ta được một số mới. Viết thêm số 25 vào cuối ta được tích cần tính.

Bài 1. Tính 15 x 15.

Giải: Từ số 15, ta bỏ đi số 5, được số 1. Lấy 1 x (1 + 1) = 2. Viết thêm số 25 vào sau số 2 vừa tính, ta được 15 x 15 = 225.

Bài 2. Tính 35 x 35.

Giải: Ta có 3 x (3 + 1) = 12. Ta được 35 x 35 = 1225.

Bài 3. Tính 405 x 405.

Giải: Ta có 40 x (40 + 1) = 40 x 41 = 1640. Ta được 405 x 405 = 164025.

Bài 4. Tính 695 x 695.

Giải: Ta có 69 x (69 + 1) = 69 x 70 = 4830. Ta được 695 x 695 = 483025.

Bài 5. Tính 345 x 345.

Giải: Ta có 34 x (34 + 1) = 34 x 35 = (17 x 2) x 35 = 17 x (2 x 35) = 17 x 70 = 1190. Ta được 345 x 345 = 119025.

Bài 6. Tính 455 x 455.

Giải: Ta có 45 x (45 + 1) = 45 x 46 = 45 x (2 x 23) = (45 x 2) x 23 = 90 x 23 = 2070. Ta được 455 x

455 = 207025.

3. Tính nhanh tích hai số có số chữ số bằng nhau.

Trước hết, với một số có 2, 3 chữ số, ta chọn số đầu tiên có tương ứng là 3, 4 chữ số là 100, 1000. Hiệu của số mới với số ban đầu gọi là số bù. Chẳng hạn, số 98 có số bù là 100 - 98 = 2, số 986 có số bù 1000 - 986 = 14. Trong kỹ thuật nhân nhẩm này, ta chỉ tính những tích của hai số có hai chữ số mà tích của hai số bù cũng là số có hai chữ số. Tương tự, ta sẽ tính tích của hai số có ba chữ số khi tích của hai số bù là số có ba chữ số.

Quy tắc: Bước 1: Tìm hai số bù. Bước 2: Lấy hiệu của thừa số thứ nhất với số bù của thừa số thứ hai. Bước 3. Lấy tích hai số bù. Nếu tích này có số chữ số ít hơn so với số chữ số của thừa số ban đầu thì ta thêm số 0 vào trước nó. Bước 4. Ghép hai số vừa tính, ta được tích.

Bài 1. Tính 96 x 97.

Giải: Hai số bù là 100 - 96 = 4, 100 - 97 = 3. Hiệu 96 - 3 = 93, tích 4 x 3 = 12. Ta ghép hai số này để được tích 96 x 97 = 9312.

Bài 2. Tính 98 x 99.

Giải: Hai số bù là 100 - 98 = 2, 100 - 99 = 1. Hiệu 98 - 1 = 97, tích 2 x 1 = 2. Ta thêm số 0 vào trước số 2 để được số 02. Ta được 98 x 99 = 9702.

Bài 3. Tính 988 x 991.

Giải: Hai số bù là 1000 - 988 = 12, 1000 - 991 = 9. Hiệu 988 - 9 = 979, tích 12 x 9 = 108. Ta được 988 x 991 = 979108.

Bài 4. Tính 998 x 990.

Giải: Hai số bù là 1000 - 998 = 2, 1000 - 990 = 10. Hiệu 998 - 10 = 988, tích 2 x 10 = 20. Ta thêm số 0 vào trước số 20 để được số 020. Ta được 998 x 990 = 988020.

Phong sợ nhất là phương pháp giả thiết tạm. Vậy mà hôm kiểm tra Phong lại vớ phải đúng bài toán dân gian "Vừa gà vừa chó" thuộc loại giả thiết tạm nổi tiếng.

Vừa gà vừa chó,
Bó lại cho tròn,
Ba mươi sáu con,
Một trăm chân chẵn.
Tìm số gà, số chó?

Cô giáo Hạnh gợi ý:

- Các em hãy tạm giả thiết rằng tất cả ba mươi sáu con đều là gà...

Phong lúng túng quá. Em nghĩ: "Nếu ba mươi sáu con đều là gà thì còn phải tìm số chó làm gì? Vậy mà đầu bài lại bắt tìm cả gà cả chó. Thật là rắc rối."

Phong xin phát biểu:

- Thưa cô, trong đàn có cả gà và chó thì làm sao lại có thể giả thiết là toàn gà được ạ?

Cô Hạnh mỉm cười.

- Vậy mà được đấy em ạ. Em cứ bắt đàn chó làm xiếc đứng bằng hai chân là được.

Thật là kỳ diệu. Hóa ra gà và chó khác nhau không phải ở chỗ gà thì gáy mà chó thì sủa. Cái chính là số chân kia. Gợi ý của cô Hạnh như một tia chớp lóe sáng trong đầu Phong...

Hôm trả bài kiểm tra cô Hạnh vui vẻ nói với lớp:

- Cô báo với các em một tin vui là lớp ta có một nhà toán học kiêm thi sỹ. Cô đọc một bài thơ thật hay và đố các em biết tác giả là ai trong lớp ta nhé.

Thơ rằng:

Ta hô cho chó đứng lên,
Giơ hai chân trước thẳng lên khó gì.
Cả đàn ba sáu (36) vị chi,
Bảy hai (72) chân chẵn còn gì nữa đây?
Số chân giơ thẳng của cày,
Thì ra hai tám (28) còn đây rành rành.
Hóa ra lũ chó tinh ranh,
Vừa tròn mười bốn (14) loanh quanh đằng trời.
Cả đàn bớt chó là phơi nhãn tiền:
Hai hai (22) gà đấy có liền.
Bài ra ngon quá làm liền rất vui.

Hai tai Phong đỏ bừng như...mào gà.

- Bây giờ, cô Hạnh nói tiếp, cô ra cho các em một bài giả thiết tạm bằng thơ nữa. Các em về giải bài này bằng thơ thì cả lớp ta sẽ đều là thi sỹ. Thơ rằng:

Qua sông

Thuyền to chở được mười người,
Thuyền con chỉ chở sáu người là đông.
Một bày con nít qua sông,
Mười thuyền to, nhỏ giữa dòng đang trôi,
Cả bày là tám mươi người,
Trên bờ còn có bốn người chờ sang.
Bao thuyền to, nhỏ sang ngang?

Cô Hạnh vừa dứt lời thì đã có một cánh tay giơ lên...

Mời bạn cùng giải!

Toán chuyển động là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán nói chung và môn Toán ở Tiểu học nói riêng. Dạng toán chuyển động của kim đồng hồ thực chất là dạng toán chuyển động đều và chuyển động cùng chiều mà vận tốc của mỗi kim không hề thay đổi, song nó rất trừu tượng đối với học sinh Tiểu học, bởi các em vẫn thường quen với chuyển động trên một quãng đường thẳng. Để giúp các em học sinh hiểu và giải được dạng toán này một cách dễ dàng, tôi xin đưa ra một mẹo nhỏ: Vận dụng dạng toán chuyển động để giải bài toán kim đồng hồ ở tiểu học.

Xét từ một bài toán đơn giản:
Bài toán: Bây giờ là 12 giờ (2 kim giờ và phút trùng nhau). Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút lại trùng nhau?
Phân tích: Ta đã biết trong 1 giờ kim phút chạy được một vòng thì kim giờ chỉ chạy được 1/12 vòng như vậy nếu ta coi vận tốc kim giờ là một phần thì vận tốc kim phút bằng 12 phần như thế; nên hiệu vận tốc là 11/12 ( vòng đồng hồ/ trong 1 giờ).
Cần lưu ý rằng hiệu vận tốc này luôn luôn không thay đổi.
Giả sử kim giờ đứng nguyên thỉ kim phút chỉ chạy một vòng sẽ gặp kim giờ. Nhưng trong thời gian kim phút chạy thì kim giờ cũng chuyển động(từ số 12 trở đi). Do đó thực chất để kim phút trùng với kim giờ ( tức kim phút đuổi kịp kim giờ) thì kim phút phải dịch chuyển: ngoài 1 vòng đồng hồ còn phải dịch thêm một đoạn bằng kim giờ đã dịch chuyển. Nên kim phút phải chạy hơn quãng đường chính bằng 1 vòng đồng hồ (hay 12/12 vòng đồng hồ). Đây chính là hiệu quãng đường.

Theo cách tính thời gian đến lúc gặp nhau của hai vật chuyển động cùng chiều: Thời gian gặp nhau = Hiệu quãng đường : Hiệu vận tốc
Tức là bằng: 1 : 1/12 = 12/11 (giờ)
Từ phân tích trên ta thấy Hiệu vận tốc luôn không đổi và luôn bằng 11/12( vòng đồng hồ/ trong 1 giờ), do đó ta chỉ cần xác định thêm hiệu quãng đường và vận dụng công thức trên là xong.
Một số ví dụ minh hoạ
1- Bây giờ là 2 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút trùng nhau ?
Phân tích: Giả sử kim giờ đứng nguyên thì kim phút chuyển động 2/12 ( vòng đồng hồ) là gặp kim giờ. Nhưng trong thời gian đó kim giờ đã dịch chuyển đi nên kim phút phải chạy thêm một đoạn bằng kim giờ đã dịch chuyển. Nên ta dễ thấy hiệu quãng đường chính là 2/12( vòng đồng hồ). Mà hiệu vận tốc như phân tích ở trên là: 11/12(Vòng đồng hồ /trong một giờ).
Vậy thời gian để kim giờ và kim phút trùng nhau là:
2/12 : 11/12 = 2/11 ( giờ)
Đ/S : 2/11 giờ

2- Bây giờ là 1 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút trùng nhau ?
Tương tự như trên đã phân tích , ta dễ thấy Hiệu quãng đường chính bằng 1/12( Vòng đồng hồ ) và Hiệu vận tốc là 11/12(Vòng đồng hồ/ giờ ) .
Vậy thời gian để kim giờ và kim phút trùng nhau là :
1/12 : 11/12 = 1/11 ( giờ )
Đáp số : 1/11 giờ .

3- Bây giờ là 2 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút vuông góc với nhau ?
Tương tự như trên đã phân tích , giả sử kim giờ đứng nguyên thì kim phút chỉ cần chạy 5/12 vòng đồng hồ thì 2 kim vuông góc, nhưng thực tế trong thời gian đó kim giờ cũng đã chuyển động nên kim phút phải dịch chuyển thêm một đoạn bằng đoạn mà kim giờ đã dịch chuyển; ta dễ thấy Hiệu quãng đường chính bằng 5/12( Vòng đồng hồ ) và Hiệu vận tốc là 11/12(Vòng đồng hồ/ giờ ) .
Vậy thời gian để kim giờ và kim phút vuông góc với nhau là :
5/12 : 11/12 = 5/11 ( giờ )
Đáp số : 5/11 giờ .

4- Bây giờ là 1 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút vuông góc nhau ?
Tương tự như trên đã phân tích , ta dễ thấy Hiệu quãng đường chính bằng 4/12( Vòng đồng hồ ) và Hiệu vận tốc là 11/12(Vòng đồng hồ/ giờ ) .
Vậy thời gian để kim giờ và kim phút vuông góc với nhau là :
4/12 : 11/12 = 4/11 ( giờ )
Đáp số : 4/11 giờ .

Các bạn hãy làm thử mấy bài sau nhé !
1- Bây giờ là 5 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút trùng nhau ?
2- Bây giờ là 5 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút vuông góc với nhau ?
3- Bây giờ là 6 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút trùng nhau ?
4- Bây giờ là 6 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút vuông góc với nhau ?
5- Bây giờ là 7 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút trùng nhau ?
6- Bây giờ là 7 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút vuông góc với nhau ?