Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

Bài toán “dây quanh ống trụ” này do Tổ chức Đánh giá Thành tựu Giáo dục Quốc tế (IEA) đưa ra tại một cuộc thi dành cho các học sinh giỏi toán cấp trung học phổ thông đến từ 16 quốc gia trên thế giới vào năm 1995.

Đề bài như sau:

Một sợi dây được quấn đối xứng đúng 4 vòng quanh một ống trụ tròn đều. Ống trụ có chu vi 4 cm và độ dài là 12 cm.

Hỏi: Sợi dây dài bao nhiêu cm? Giải thích cụ thể cách làm của bạn.

Lời giải
Cách 1.
Sợi dây duỗi thẳng sẽ trở thành 4 đường chéo của 4 hình chữ nhật có kích thước 3x4 (cm).
Do chu vi ống trụ là 4 cm nên khi "trải phẳng" ống trụ, ta sẽ được một hình chữ nhật có kích thước 4x12 (cm).
Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có chiều dài mỗi đường chéo (hay mỗi đoạn dây) sẽ là √3² + 4² = 5 (cm)

Do mỗi đường chéo có kích thước bằng nhau nên tổng chiều dài sợi dây là 5 x 4 = 20 (cm).

Cách 2.
Tham số hoá sợi dây:$ (x(t),y(t),z(t))= ( l\frac{t}{4}, r \cos(2\pi t), r \sin(2\pi t) )$ trong đó $l$ là chiều dài và $r$ là bán kính mặt cắt, $t \in[0, 4]$.

Chiều dài của sợi dây là

$$\int\limits_0^4\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}dt=\sqrt{l^2 + 64 \pi^2 r^2}.$$

Thay  $ l=12$ cm và $r =\frac{2}{\pi}$ ta được chiều dài của sợi dây là 20 cm.

Bài toán số 24 trong cuộc thi Olympic Toán học dành cho học sinh Singapore 2015 (Singapore and Asian Math Olympiad - SASMO)


“Albert và Bernard mới làm quen với Cheryl và họ muốn biết sinh nhật của cô ấy. Cheryl đưa ra 10 ngày có thể là sinh nhật của cô: 15-5, 16-5, 19-5, 17-6, 18-6, 14-7, 16-7, 14-8, 15-8 và 17-8.

Sau đó Cheryl nói với Albert tháng sinh của mình (không nói ngày) và nói với Bernard ngày sinh của mình (không nói tháng). Cô đố hai anh chàng ngày sinh thật sự của mình. Albert nói: Tôi không biết sinh nhật của Cheryl khi nào nhưng tôi biết Bernard cũng không biết.

Bernard đáp: Hồi đầu tôi không biết sinh nhật Cheryl nhưng giờ tôi biết rồi. Albert trả lời: Nếu anh biết, vậy tôi cũng biết! Hỏi ngày sinh của Cheryl là khi nào?”.


Bằng cách phân tích ngữ cảnh và từng câu hội thoại, lời giải của bài toán dần sáng tỏ.

Albert nói: Tôi không biết sinh nhật Cheryl là khi nào nhưng tôi biết rằng Bernard cũng không biết.

Tất cả những gì Albert biết là tháng sinh và mỗi tháng có hơn một ngày có khả năng đúng. Vì vậy, rõ ràng Albert không biết ngày sinh của Cheryl là khi nào. Phần đầu của câu nói này coi như dư thừa.

Đối với Bernard, những gì anh ta biết là ngày sinh (không biết tháng sinh). Ở đây, Cheryl sẽ không nói cho Bernard ngày 18 và 19 bởi nếu cô nói ra hai con số này, Bernard sẽ biết ngay ngày sinh là 19-5 hoặc 18-6 bởi số 18 và 19 chỉ xuất hiện một lần trong 10 ngày mà Cheryl nêu ra. Từ đó Bernard sẽ biết luôn tháng sinh là tháng 5 và tháng 6.

Nhưng vì Albert nói rằng anh biết chắc chắn Bernard cũng không biết tháng sinh nên tháng 5 và tháng 6 bị loại ra.

Benard nói: Ban đầu tôi không biết khi nào là sinh nhật Cheryl nhưng giờ thì tôi biết rồi.

Tiếp suy luận trên, giờ thì Bernard đã biết ẩn ý trong câu nói của Albert tháng sinh là 7 hoặc 8. Trong hai tháng này, ngày 15, 16, 17 xuất hiện một lần và ngày 14 xuất hiện hai lần.

Nếu Cheryl nói với Bernard ngày 14, khi đó Bernard cũng sẽ chẳng biết là ngày nào. Nhưng ở câu thứ 2 Bernard nói anh đã biết ngày sinh của Cheryl, điều này có nghĩa rằng ngày đó chắc chắn không phải ngày 14 mà là một trong ba ngày còn lại: 15-8, 16-7 và 17-8.

Albert: Vậy thì tôi cũng biết sinh nhật Cheryl rồi.

Lúc này, Albert cũng giảm các khả năng xuống ba ngày vừa nêu. Trong số này có một ngày tháng 7 và hai ngày tháng 8. Albert chắc hẳn phải được Cheryl tiết lộ tháng 7 bởi nếu anh được nói tháng 8, anh sẽ không biết chắc ngày nào trong số hai ngày của tháng này.

Do đó, đáp án cuối cùng là ngày 16-7.

Để dễ hiểu hơn, một thành viên có tên FarmerBill đăng trên Imgur.com đáp án bằng hình vẽ như sau:

Tháng 5: có ngày 15, 16 và 19
Tháng 6: có ngày 17 và 18
Tháng 7: có ngày 14 và 16
Tháng 8: có ngày 14 , 15 và 17
Cheryl chỉ cho Albert biết tháng.
Cheryl chỉ cho Bernard biết ngày.
Đầu tiên ta loại 2 tháng 5 (May) và tháng 6 (June):
Lý do loại: Albert chỉ biết tháng nhưng lại biết chắc chắn Bernard không thể biết ngày. Vậy tháng mà Albert biết không thể là 5 và 6. Bởi vì: nếu là tháng 5 thì có thể Cheryl đã nói với Bernard là ngày 19 và Bernard sẽ biết ngay là 19/5 (ngày 19 là duy nhất trong 10 ngày).
Nếu là tháng 6 thì có thể Cheryl đã nói với Bernard là ngày 18 và Bernard sẽ biết ngay là 18/6 (ngày 18 là duy nhất trong 10 ngày)
Còn 2 tháng là 7 và 8:
+ Bernard chỉ biết ngày nhưng sau đó lại biết luôn cả tháng nữa. Suy ra đây phải là 1 ngày duy nhất trong 2 tháng 7 và 8. Ta loại ngay được ngày 14/7 và 14/8. Vì nếu Bernard biết là ngày 14 thì cậu sẽ không biết là 14 tháng nào trong 2 tháng 7 và 8.
+ Còn lại 3 phương án: 16/7,15/8, 17/8. Lại nghĩ đến điều kiện của Albert: Albert chỉ biết tháng nhưng sau đó cũng vẫn biết được sinh nhật của Cheryl suy ra tháng mà Albert biết cũng phải là duy nhất. Vì vậy nếu là tháng 8 thì không ổn vì Albert sẽ ko biết ngày nào trong 2 ngày 15 và 17.
Như vậy, chỉ ngày 16/7 đảm bảo tính duy nhất của ngày và tính duy nhất của tháng.

Đáp án chính thức của bài toán logic (Nguồn: http://mothership.sg)

Đã đăng Phần 1 Phần 2

Bài 1: Cộng các số liên tiếp
Qui tắc: Cộng các số theo hàng từ thấp nhất đến cao nhất trong nhóm số, nhân kết quả cho số lượng số trong nhóm đó, và chia kết quả cho 2.

VD: Tính tổng của các số từ 33 đến 41.
- Đầu tiên cộng các số theo hàng từ thấp đến cao (làm bài toán cộng bình thường).
33 + 41 = 74
- Tiếp theo, nhân kết quả cho số lượng số trong nhóm (từ 33 đến 41 có 9 số).
74 x 9 = 666
- Cuối cùng chia kết quả lại cho 2.
666 : 2 = 333
Kết quả: 333 là tổng của các số từ 33 đến 41. (Nếu các bạn không tin thì cứ tính thử).

xong rồi các bạn thực hành thử coi được không?
1. Tính tổng của các số từ 50 đến 89.
2. Tính tổng các số từ 102 đến 124.
3. Tính tổng các số từ 300 đến 328.


Bài 2: Cộng các số liên tiếp bắt đầu từ 1
Qui tắc: Nhân số lượng số trong nhóm đó cho một số lớn hơn 1 đơn vị, và chia kết quả cho 2.

VD: Tính tổng của các số từ 1 đến 99.
- Đầu tiên từ 1 đến 99 có 99 số.
- Tiếp theo, ta nhân số lượng số cho một số lớn hơn 1 đơn vị.
99 x 100 = 9900
- Cuối cùng chia kết quả lại cho 2.
9900 : 2 = 4950
Kết quả: 45 là tổng của các số từ 1 đến 9. (Nếu các bạn không thì cứ tính thử).


Bài 3: Tổng các số lẻ liên tiếp
Qui tắc: Bình phương số lượng số lẻ trong loạt số đó.

VD: Tính tổng của các số lẻ từ 1 đến 100.
- Đầu tiên từ 1 đến 100 có 50 số lẻ.
- Bình phương số lượng các số lẻ từ 1 đến 100.
50 x 50 = 2500
Kết quả: 2500 là tổng các số lẻ từ 1 đến 100. (Nếu các bạn không tin thì cứ tính thử).


Bài 4: Tổng các số chẵn liên tiếp

Qui tắc: Nhân số lượng số chắn trong loạt số đó cho một số lớn hơn 1 đơn vị.

VD: Tính tổng của các số lẻ từ 2 đến 100.
- Đầu tiên từ 2 đến 100 có 50 số chẵn.
- Nhân số lượng số chẵn trong loạt số cho một số lớn hơn 1 đơn vị.
50 x 51 = 2550
Kết quả: 2550 là tổng của các số chẵn từ 2 đến. (Nếu không tin thì cứ tính thử)
Theo VD bài 2 tổng các số liên tiếp từ 1 đến 99 là 4950, tổng các số liên tiếp từ 1 đến 100 là 5050. Trong các VD bài 3 tổng các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 100 là 2500. Kết quả bài VD trên có thể tính bằng:
Tổng các số liên tiếp từ 1 đến 100 – Tổng các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 100 = Tổng các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 100
5050 - 2500 = 2050


Bài 5: Tổng một nhóm số cách đều

Qui tắc: Tính tổng giữa số lớn nhất với số nhỏ nhất, nhân tổng cho số lượng số trong nhóm, chia kết quả cho 2.

VD: Tính tổng của các số sau: 87, 91, 95, 99, và 103.
- Chú ý: giữa các số có chung sự khác nhau đó là số này cách số kia 4 đơn vị, ta có thể sử dụng phương pháp ngắn gọn trên.
- Đầu tiên tính tổng của số nhỏ nhất với số lớn nhất.
87 + 103 = 190
- Tiếp theo nhân tổng với số lượng số trong nhóm (nhóm số trên có tất cả 5 số).
190 x 5 = 950 (cách tính này nữa bạn học ở bài 11)
- Cuối cùng chia tích cho 2.
950 : 2 = 475
Kết quả: 475 là tổng của các số 87, 91, 95, 99 và 103. (Nếu không tin thì cứ tính thử)
Trong thực tế bài 5 này là bài 1, bởi vì chỉ đơn giản là bài một ta tính tổng các số liên tiếp cách nhau 1 đơn vị. Còn ở bài này ta dùng để tính tổng của các số cách nhau một khoảng đơn vị. Bạn cũng có thể kết hợp cả bài 1 và bài 5.


Bài 6: Tổng một nhóm số có tỉ số chung

Qui tắc: nhân tỉ số đó cho chính nó số lần bằng số lượng số trong nhóm, trừ kết quả cho 1 và nhân tiếp cho số đầu tiên của loạt số. Cuối cùng chia kết quả cho số nhỏ hơn tỉ số 1 đơn vị.

VD: Tính tổng của các số sau: 53, 106, 212, 424
- Ta thấy tỉ số giữa 2 số là 2 (tức là số sau bằng 2 lần số trước) và trong nhóm có 4 số.
- Đầu tiên nhân tỉ số đó cho chính nó với số lần bằng số lượng số trong nhóm.
2 x 2 x 2 x 2 (24) = 16
- Tiếp theo trừ kết quả cho 1.
16 – 1 = 15
- Kế đó nhân tiếp cho số đầu tiên của loạt số.
15 x 53 = 795
- Cuối cùng chia kết quả cho số nhỏ hơn tỉ số 1 đơn vị tức là 795 chia cho 1 bằng 795.
Kết quả: 795 là tổng của các số 53, 106, 212, 424. (Nếu không tin thì cứ tính thử) Lưu ý: Bài này chỉ áp dụng khi tỉ số nhỏ hoặc khi số lượng số trong nhóm ít. Nếu số lượng số trong nhóm lớn và tỉ số khá cao thì nhân tỉ số cho chính nó nhiều lần hơn sẽ làm giảm độ dễ mà bài có thể áp dụng.

Bài 7: Nhân cho 2

Thoạt đầu đọc tựa bài hẳn có nhiều bạn cho rằng: Nhân cho 2 ai mà chả biết hay Dễ ẹt có gì mà khó
Giả sử như mình cho các bạn một bài như 1,524,685 x 2 mấy bạn sẽ làm sao? Ngồi mà tính nhẫm từng số à hay là dùng máy tính (nếu vậy thì không cần phải xem những bài này đâu)
Qui tắc: Bắt đầu từ ký tự số đầu tiên của số sẽ nhân cho 2: Nếu số đó nhỏ hơn hoặc bằng 4 thì ta nhân đôi số đó lên, nếu số đó từ 5 đến 9 thì ta trừ số đó cho 5 và nhân đôi kết quả lên. Tiếp tục làm như thế với các ký tự tiếp theo. Cuối cùng là phần ước lượng. Các ký tự bắt đầu từ trái sang phải của số nhân với 2 nếu như ký tự đó từ 5 trở lên thì kết quả bên trái các số của phần kết quả sẽ cộng thêm 1 đơn vị.

Nói nghe có vẻ khó nhưng thực hiện thì dễ hơn nhiều VD: Tìm tích của 562 x 2
Ký tự đầu tiên là 5 theo công thức ta có 5 - 5 = 0 tiếp theo là 0 x 2 = 0 (do ký tự đầu tiên là 5)
Ký tự tiếp theo là 6 theo công thức ta có 6 - 5 = 1 tiếp theo là 1 x 2 = 2 (do ký tự này là 6)
Ký tự tiếp theo là 2 theo công thức ta có 2 x 2 = 4 (do ký tự này là 2)
Tuần tự ghi các số đã tìm đc là 024

Tới phần quan trọng đây: Bắt đầu từ trái sang phải của số nhân với 2 tức là số 562 có ký tự cuối cùng là 2 < 5 cho nên kí tự kế bên trái của phần kết quả 024 là số 2 sẽ dc giữ nguyên. Kí tự kế tiếp của số 562 là 6 > 5 cho nên kí tự bên trái phần kết quả là số 0 sẽ dc cộng thêm 1 đơn vị nên 0 + 1 = 1 kết quả bây giờ có thay đổi là 124. Kí tự cuối cùng của số 562 là 5 cho nên số kế tiếp của phần kết quả 124 sẽ đc cộng thêm 1 đơn vị tức là kết quả là 1124.(Nếu không tin các bạn cứ tính thử)
*****

Bài 8: Nhân cho 3

Qui tắc: Ước lượng kí tự đầu tiên của đáp số bằng cách lấy 1 nửa của kí tự đầu tiên số đã cho. Tiếp theo các kí tự còn lại sẽ đc trừ bởi 9, nhân đôi kết quả rồi cộng cho 1 nửa của kí tự bên phải kí tự đó. Nhớ ghi lại các số nhận đc một cách tuần tự. Nếu kí tự nào lẻ thì kết quả của kí tự đó sẽ cộng thêm 5. Để tìm kí tự cuối cùng của đáp án thì ta lấy 10 trừ cho kí tự cuối cùng của số đã cho, sau đó nhân 2, cộng thêm 5 nếu kí tự đó là số lẻ. Mỗi bước tính ở trên phải ghi lại các số đã tính dc. Nếu các số tính ra từ 10 trở lên thì ta chỉ lấy hàng đơn vị còn số còn lại ta cộng vào kí tự phía trước nó. Để tìm ra kết quả từ số đã ước lượng ở đầu bài ta cộng kí tự đầu tiên của đáp án với số đã ước lượng đó và trừ kết quả lại cho 2
5,943 x 3

Ước lượng kí tự đầu tiên: 5 ta lấy 1 nửa là 2 (Nhớ là lấy phần nguyên)
Kí tự đầu tiên là 5 theo qui tắc: 9 - 5 = 4, 4 x 2 = 8, 8 + 4 = 12, 12 + 5 = 17 (do 5 là số lẻ) ghi ra giấy kết quả nhận dc là 17.
Kí tự thứ 2 là 9 ta cũng làm như trên: 9 - 9 = 0, 0 + 2 + 5 = 7 ghi ra giấy 177.
kí tự thứ 3 là 4 tương tự: 9 - 4 = 5, 5 x 2 = 10, 10 + 1 = 11 do kết quả từ 10 trở lên ta chỉ lấy phần đơn vị còn phần còn lại ta cộng cho số trước nó: 1 + 7 = 8 ghi ra giấy 1781.
Kí tự cuối cùng là 3 theo qui tắc thì: 10 - 3 = 7, 7 x 2 = 14, 14 + 5 = 19 ghi ra giấy 17829.
Cuối cùng cộng kí tự đầu tiên cho số đã ước lượng: 1 + 2 = 3 ghi ra giấy 37829 Trừ kí tự đầu cho 2: 3 - 2 = 1 vậy kết quả cuối cùng là 17829 đc chưa? (không tin mấy bạn cứ tính thử).


Bài 9: Nhân cho 4

Qui tắc: Ước lượng số đầu bằng cách lấy đi 1 nửa kí tự đầu. Các kí tự lần lượt tính như sau: Lấy 9 trừ kí tự đó rồi cộng cho 1 nửa kí tự sau nó, nếu kí tự đó lẻ thì cộng thêm 5. Đến kí tự cuối cùng thì lấy 10 trừ cho kí tự đó cộng 5 nếu kí tự lẻ. Nhớ tuần tự ghi lại các số đã tính đc vào giấy, cách ghi giống của bài 9. Cuối cùng để nhận kết quả ta lấy kí tự đầu cộng số ước và trừ lại cho 1.

VD: 15,632 x 4
Ước lượng: 1 : 2 = 0.5 vậy số ước bằng 0
Tuần tự tính các kí tự: 9 - 1 = 8, 8 + 2 = 10, 10 + 5 = 15 ghi giấy 15
9 - 5 = 4, 4 + 3 = 7, 7 + 5 = 12 ghi giấy 162
9 - 6 = 3, 3 + 1 = 4 ghi giấy 1,624
9 - 3 = 6, 6 + 1 = 7,7 + 5 = 12 ghi giấy 16,252
10 - 2 = 8 ghi giấy 162,528
trừ kí tự đầu của kết quả cho 1 thì kết quả nhận đc là 62,528( nếu không tin mấy bạn cứ tính thử)


Bài 10: Nhân cho 5

Qui tắc: Bài này có 2 phương pháp.
Phương pháp 1: Kí tự đầu tiên của đáp án bằng 1 nửa kí tự số đã cho. Các kí tự của đáp số bằng 5 nếu kí tự của số đó là lẻ, bằng 0 nếu kí tự đó chẵn, và cộng thêm 1 nửa của kí tự bên phải kí tự đó. Kí tự cuối cùng của đáp số là 5 nếu kí tự cuối của số đã cho là số lẻ, là 0 nếu kí tự chẵn.
Phương pháp 2: Di chuyển dấu phẩy ngăn cách giữa phần nguyên và phần thập phân của số sang phải 1 kí tự rồi chia số đó cho 2.
Vd: 56,395 x 5

Phương pháp 1:
Kí tự đầu của đáp số 5 : 2 = 2, ghi giấy 2
Kí tự đầu tiên là 5 theo qui tắc: 5 + 3 = 8
Kí tự tiếp theo là 6 theo qui tắc: 0 + 1 = 1 ghi giấy 281
kí tự tiếp theo là 3 theo qui tắc: 5 + 4 = 9 ghi giấy 2,819
Kí tự tiếp theo là 9 theo qui tắc: 5 + 2 = 7 ghi giấy 28,197
Kí tự cuối cùng là 5 theo qui tắc: 5 + 0 = 5 ghi giấy 281,975(kết quả, nếu không tin thì các bạn cứ tính thử).

Phương pháp 2:
Ta thấy dấu phẩy ngăn cách phần nguyên và phần thập phân của số là: 56,395.0 vậy mình sẽ dời nó sang phải 1 kí tự là 56,3950.0(do ở đây mình dùng dấu phẩy để ngăn cách 3 chữ số ở phần nguyên nên mình đành lấy dấu chấm, mấy bạn đừng hiểu lầm)
Chia lại cho 2: 563,950 : 2 = 281,975(kết quả, bằng với phương pháp 1 nếu không tin thì các bạn cứ tính thử)

Còn nữa...

Tiếp theo Các kĩ thuật tính nhẩm nhanh - Phần 1

4. Tính nhanh tích hai số gần bằng 100, 1.000… gồm bốn bước là: Số bù, hiệu chéo, tích số bù và ghép số.

Bài 1. Tính 9991 x 9997.

Giải. Số bù là 10.000 - 9.991 = 9, 10.000 - 9997 = 3. Hiệu chéo là 9991 - 3 = 9988. Tích số bù là 9 x 3 = 27. Vì 27 là số có 2 chữ số nên cần viết thêm số 00 vào trước để đủ 4 chữ số là 0027. Vậy 9991 x 9997 = 99880027.

Chú ý. Với những số có hai chữ số như 92, 89 thì số bù là hiệu của 100 với số đó. Tương tự, với những số có ba hay bốn chữ số thì số bù là hiệu của 1.000, 10.000 với số đó.

Bài 2. Tính 82 x 93.

Giải. Số bù là 100 - 82 = 18, 100 - 93 = 7. Hiệu chéo là 82 - 7 = 75. Tích số bù là 18 x 7 = 126. Vì 126 là số có ba chữ số, ta giữ nguyên số có hai chữ số là 26. Cộng phần còn lại với hiệu chéo là 1 + 75 = 76. Ta được 82 x 93 = 7626.

Bài 3. Tính 991 x 879.

Giải. Số bù là 1.000 - 991 = 9, 1.000 - 879 = 121. Hiệu chéo là 879 - 9 = 870. Tích số bù là 9 x 121 = 1.089. Vì 1.089 là số có bốn chữ số, ta giữ nguyên số có ba chữ số là 089. Cộng phần còn lại với hiệu chéo là 1 + 870 = 871. Ta được 991 x 879 = 871.089.

Chú ý. Hiệu chéo có thể tính theo hai cách là 879 - 9 hoặc 991 - 121.

Bài 4. Tính 92 x 996.

Giải. Để hai thừa số có cùng số chữ số, ta nhân 92 với 10 và xét tích 920 x 996. Số bù là 1.000 - 920 = 80, 1.000 - 996 = 4. Hiệu chéo là 920 - 4 = 916. Tích số bù là 80 x 4 = 320. Vậy 920 x 996 = 916320 nên 92 x 996 = 91632.

3. Tính tích hai số có cùng số chữ số nhưng lớn hơn 10, 100, 1.000... Với số lớn hơn 10 như 12 thì 2 là số tăng.

Bài 5. Tính 12 x 14.

Giải. Bước 1: Số tăng 2, 4 (là 12 - 10, 14 - 10). Bước 2: Tổng chéo 12 + 4 = 16. Bước 3: Tích số tăng 2 x 4 = 8. Bước 4: Ghép số, ta được 12 x 14 = 168.

Bài 6. Tính 13 x 19.

Giải. Số tăng 3, 9. Tổng chéo 13 + 9 = 22. Tích số tăng 3 x 9 = 27. Ta giữ nguyên một chữ số cuối là 7, còn lại số 2 ở hàng chục. Tổng 2 + 22 = 24. Ta được 13 x 19 = 247.

Bài 7. Tính 102 x 145.

Giải. Số tăng 2, 45. Tổng chéo 102 + 45 = 147. Tích số tăng 2 x 45 = 90. Ta được 101 x 145 = 14790.

Bài 8. Tính 108 x 114.

Giải. Số tăng 8, 14. Tổng chéo 108 + 14 = 122. Tích số tăng 8 x 14 = 112. Ta giữ nguyên hai chữ số cuối là 12, còn lại số 1 ở hàng trăm. Tổng 1 + 122 = 123. Ta được 108 x 114 = 12312.

Bài 9. Tính 1009 x 1012.

Giải. Số tăng 9, 12. Tổng chéo 1.009 + 12 = 1.021. Tích số tăng 9 x 12 = 108. Ta được 1.009 x 1.012 = 1021108.

Chú ý. Khi nhân hai số có cùng số chữ số là hai và lớn hơn 10 thì với tích số tăng lớn hơn một chữ số, ta sẽ giữ một chữ số cuối lại, chữ trước nó sẽ cộng với tổng chéo. Cũng vậy, nếu nhân hai số có ba chữ số mà tích số tăng là số có ba chữ số thì giữ lại số có hai chữ số và cộng số còn lại với tổng chéo.

5. Nhẩm nhanh của tích hai số mà một số lớn hơn, một số nhỏ hơn 10, 100 hay 1000.

Bài 1. Tính 9 × 12.

Nhận xét. Bằng cách nhân trực tiếp, ta sẽ có ngay kết quả là 9 × 12 = 108. Tuy nhiên, theo tư duy số bù và số tăng, ta giải như sau để biết phương pháp nhân nhanh cho những tích khác mà thừa số có nhiều chữ số hơn.

Giải. Bước 1: Số bù là 10 – 9 = 1, số tăng là 12 – 10 = 2. Bước 2: Tổng chéo (số bé + số tăng) = Hiệu chéo (số lớn trừ số bù) = 9 + 2 = 12 – 1 = 11. Bước 3: Tích số bù với số tăng là 1 × 2 = 2. Bước 4: Nhân tổng chéo với 10 rồi trừ đi tích là 11 × 10 – 2 = 110 – 2 = 108. Ta được 9 × 12 = 108.

Chú ý: 9 và 12 là hai số xung quanh số 10 nên ta nhân tổng chéo với 10. Nếu hai thừa số là những số xung quanh số 100, 1000 thì ta sẽ nhân tương ứng tổng chéo với 100, 1000.

Bài 2. Tính 103 × 98.

Giải. Số tăng là 103 – 100 = 3, số bù là 100 – 98 = 2. Hiệu chéo là 103 – 2 = 101. Tích số tăng với số bù là 3 × 2 = 6. Nhân hiệu chéo với 100 rồi trừ đi tích là 101 × 100 – 6 = 10100 – 6 = 10094. Ta được 103 × 98 = 10094.

Bài 3. Tính 986 × 1004.

Giải. Số bù là 1000 – 986 = 14, số tăng là 1004 – 1000 = 4. Tổng chéo là 986 + 4 = 990. Tích số bù với số tăng là 14 × 4 = 56. Nhân tổng chéo với 1000 rồi trừ đi tích là 990 × 1000 – 56 = 990000 – 56 = 989944. Ta được 986 × 1004 = 989944.

Bài 4. Tính 8 × 102.

Giải. Ta có 8 × 102 = (80 × 102) : 10.

Tính 80 × 102. Số bù là 20, số tăng là 2. Tổng chéo là 82. Tích số bù với số tăng là 40. Nhân tổng chéo với 100 rồi trừ đi tích là 82 × 100 – 40 = 8200 – 40 = 8160. Ta được 80 × 102 = 8160.

Vậy 8 × 102 = 8160 : 10 = 816.

Bài 5. Tính 99 × 1006.

Giải. Cách 1. Ta có 99 × 1006 = (990 × 1006) : 10.

Tính 990 × 1006. Số bù là 10, số tăng là 6. Tổng chéo là 996. Tích số bù với số tăng là 60. Nhân tổng chéo với 1000 rồi trừ đi tích là 996 × 1000 – 60 = 996000 – 60 = 995940. Ta được 990 × 1006 = 995940.

Vậy 99 × 1006 = 995940 : 10 = 99594.

Cách 2. Ta có 99 × 1006 = 9 × (11 × 1006).

Tính 11 × 1006. Ta có dãy số: 6, 6 + 0, 0 + 0, 0 + 1, 1 hay 6, 6, 0, 1, 1. Vậy 11 × 1006 = 11066 nên 99 × 1006 = 9 × 11066 = 99594.

Bài 6. Tính 86 × 112.

Giải. Số bù là 14, số tăng là 12. Tổng chéo là 98. Tích số bù với số tăng là 14 × 12.

Tính 14 × 12. Số tăng là 4, 2. Tổng chéo là 16. Tích số tăng là 8. Vậy 14 × 12 = 168.

Nhân tổng chéo với 100 rồi trừ đi tích là 98 × 100 – 168 = 9800 – 168 = 9632. Ta được 86 × 112 = 9632.

6. Nhân nhẩm nhanh của tích hai số có hai chữ số mà chữ số hàng chục giống nhau, tích hai số có ba chữ số mà chữ số hàng trăm giống nhau, như 32 × 34, 401 × 402. 
Điều khác biệt trong những phép nhân này so với phép nhân hai số xung quanh 10, 100, 1000 là số được chọn là mốc hay gốc không phải là 10, 10 mà là 30, 400...

Bài 1. Tính 23 × 21.

Giải. Ta thực hiện các bước sau. Bước 1. Chọn mốc là số 20. Bước 2. Số tăng là 23 - 20 = 3, 21 - 20 = 1. Bước 3. Tổng chéo là 23 + 1 = 24. Bước 4. Tích của tổng chéo với chữ số hàng chục của mốc là 24 × 2 = 48. Bước 5. Tích hai số tăng là 3 × 1 = 3. Ta được 23 × 21 = 483.

Nhận xét. So với nhân hai số gần 10, 100 thì ta thêm bước 4, còn các quy tắc nhân nhẩm nhanh vẫn như cũ.

Bài 2. Tính 403 × 412.

Giải. Mốc là 400. Số tăng là 403 – 400 = 3, 412 – 400 = 12. Tổng chéo là 403 + 12 = 415. Tích của tổng chéo với chữ số hàng trăm của mốc là 415 × 4 = 1660. Tích hai số tăng là 3 × 12 = 36. Vậy 403 × 412 = 166036.

Bài 3. Tính 3005 × 3024.

Giải. Mốc là 3000. Số tăng là 5, 24. Tổng chéo là 3029. Tích 3029 × 3 = 9087. Tích 5 × 24 = 120. Vậy 3005 × 3024 = 9087120.

Bài 4. Tính 34 × 38.

Giải. Mốc là 30. Số tăng là 4, 8. Tổng chéo là 42. Tích 42 × 3 = 126. Tích 4 × 8 = 32. Vì tích hai số tăng chỉ lấy một chữ số nên ta giữ số 2, chuyển số 3 vào 126. Tổng 126 + 3 = 129. Vậy 34 × 38 = 1292.

Bài 5. Tính 57 × 58.

Giải. Mốc là 60. Số bù là 60 – 57 = 3, 60 – 58 = 2. Hiệu chéo là 57 – 2 = 55. Tích 55 × 6 = 330. Tích 3 × 2 = 6. Vậy 57 × 58 = 3306.

Bài 6. Tính 194 × 197.

Giải. Mốc là 200. Số bù là 6, 3. Hiệu chéo là 191. Tích 191 × 2 = 382. Tích 6 × 3 = 18. Vậy 194 × 197 = 38218.

Bài 7. Tính 3987 × 3996.

Giải. Mốc là 4000. Số bù là 13, 4. Hiệu chéo là 3983. Tích 3983 × 4 = 15932. Tích 13 × 4 = 52. Vì tích hai số bù cần đủ ba chữ số nên ta thêm số 0 ở trước số 52 để được số 052. Vậy 3897 × 3996 = 15932052.

Bài 8. Tính 455 × 46.

Giải. Ta có 455 × 46 = 455 × 460 : 10.

Tính 455 × 460. Mốc là 500. Số bù là 45, 40. Hiệu chéo là 415. Tích 415 × 5 = 2075. Tích 45 × 40 = 1800. Vì tích hai số bù chỉ lấy hai chữ số nên ta giữ hai chữ số cuối là 00, chuyển số 18 vào số 2075. Tổng 2075 + 18 = 2093. Vậy 455 × 460 = 209300 nên 455 × 46 = 20930.

Lưu ý. Tùy theo mỗi phép nhân, ta có thể chọn những mốc khác nhau để giải. Chẳng hạn ở bài 4, tính 34 × 38, ta có thể giải như sau:

Mốc là 40. Số bù là 6, 2. Hiệu chéo là 32. Tích 32 × 4 = 128. Tích 6 × 2 = 12. Vì tích hai số bù chỉ lấy một chữ số nên ta giữ số 2 ở cuối, chuyển số 1 vào 128. Tổng 128 + 1 = 129. Vậy 34 × 38 = 1292.

7. Nhân nhẩm nhanh tích của hai số xung quanh số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn. Chẳng hạn 46 × 52, 197 × 204 hay 996 × 1002. Ở đây, với tích 46 × 52, ta có mốc là số 50. Hai số 46, 52 kém và hơn 50. Ta vẫn giữ nguyên khái niệm số bù (50 – 46 = 4) và số tăng (52 – 50 = 2).

Bài 1. Tính 29 × 34.

Giải. Ta thực hiện các bước sau. Bước 1. Chọn mốc là số 30. Bước 2. Số bù là 30 – 29 = 1, số tăng là 34 – 30 = 4. Bước 3. Tổng chéo là 29 + 4 = 33 (hoặc hiệu chéo là 34 – 1 = 33). Bước 4. Tích của hiệu chéo với chữ số hàng chục của mốc là 33 × 3 = 99. Bước 5. Tích số bù với số tăng là 1 × 4 = 4. Hiệu 990 – 4 = 986. Vậy 29 × 34 = 986.

Bài 2. Tính 405 × 396.

Giải. Chọn mốc là số 400. Số tăng là 5, số bù là 4. Hiệu chéo là 401. Tích của hiệu chéo với chữ số hàng trăm của mốc là 401 × 4 = 1604. Tích số bù với số tăng là 5 × 4 = 20. Hiệu 160400 – 20 = 160380. Vậy 405 × 396 = 160380.

Bài 3. Tính 3994 × 4003.

Giải. Mốc là 4000. Số bù là 6, số tăng là 3. Tổng chéo là 3997.

Tích 3997 × 4 = (4000 – 3) × 4 = 16000 – 12 = 15988. Tích 6 × 3 = 18. Hiệu 15988000 – 18 = 15987982. Vậy 3994 × 4003 = 15987982.

Bài 4. Tính 68 × 72.

Giải. Mốc là 70. Số bù là 2, số tăng là 2. Tổng chéo là 70. Tích 70 × 7 = 490. Tích 2 × 2 = 4. Hiệu 4900 – 4 = 4896. Vậy 68 × 72 = 4896.

Nhận xét. Ở phép nhân này, ta thấy số bù với số tăng bằng nhau, tổng chéo (hiệu chéo) bằng số mốc. Ta có thể rút gọn cách làm như sau: “Số bù là 2. Tích 7 × 7 = 49. Tích 2 × 2 = 4. Nhân 49 với 100 rồi trừ đi tích hai số bù là 4900 – 4 = 4896. Vậy 68 × 72 = 4896”. Với những phép nhân này, với mốc là số có hai, ba hay bốn chữ số thì sau khi nhân chữ số đầu tiên của mốc với chính nó, ta nhân thêm lần lượt với 100, 10000, 1000000 rồi trừ đi tích hai số bù (hay số tăng).

Bài 5. Tính 41 × 39.

Giải. Mốc là 40. Số bù là 1. Tích 4 × 4 = 16. Tích 1 × 1 = 1. Hiệu 1600 – 1 = 1599. Vậy 41 × 39 = 1599.

Bài 6. Tính 76 × 84.

Giải. Mốc là 80. Số bù là 4. Tích 8 × 8 = 64. Tích 4 × 4 = 16. Hiệu 6400 – 16 = 6384. Vậy 76 × 84 = 6384.

Bài 7. Tính 895 × 905.

Giải. Mốc là 900. Số bù là 5.

Tích 9 × 9 = 81. Tích 5 × 5 = 25. Hiệu 810000 – 25 = 809975. Vậy 895 × 905 = 809975.

Bài 8. Tính 5003 × 4997.

Giải. Mốc là 5000. Số tăng là 3. Tích 5 × 5 = 25. Tích 3 × 3 = 9. Hiệu 25000000 – 9 = 24999991. Vậy 5003 × 4997 = 24999991.

Lưu ý. Ta cũng có thể thực hiện cách khác nhân nhẩm hai số xung quanh một số mốc mà có số bù và số tăng bằng nhau như sau.

Bài 9. Tính 88 × 92.

Giải. Mốc là 90. Số bù là 2. Hiệu 90 × 90 – 2 × 2 = 8100 – 4 = 8096. Vậy 88 × 92 = 8096.

Bài 10. Tính 593 × 607.

Giải. Mốc là 600. Số bù là 7. Hiệu 600 × 600 – 7 × 7 = 360000 – 49 = 359951. Vậy 593 × 607 = 359951.

2. Nhân hai số tận cùng bằng 5

Để tính tích, ta bỏ đi chữ số 5 ở hàng đơn vị của số đó. Lấy số mới này nhân với tổng của nó với 1, ta được một số mới. Viết thêm số 25 vào cuối ta được tích cần tính.

Bài 1. Tính 15 x 15.

Giải: Từ số 15, ta bỏ đi số 5, được số 1. Lấy 1 x (1 + 1) = 2. Viết thêm số 25 vào sau số 2 vừa tính, ta được 15 x 15 = 225.

Bài 2. Tính 35 x 35.

Giải: Ta có 3 x (3 + 1) = 12. Ta được 35 x 35 = 1225.

Bài 3. Tính 405 x 405.

Giải: Ta có 40 x (40 + 1) = 40 x 41 = 1640. Ta được 405 x 405 = 164025.

Bài 4. Tính 695 x 695.

Giải: Ta có 69 x (69 + 1) = 69 x 70 = 4830. Ta được 695 x 695 = 483025.

Bài 5. Tính 345 x 345.

Giải: Ta có 34 x (34 + 1) = 34 x 35 = (17 x 2) x 35 = 17 x (2 x 35) = 17 x 70 = 1190. Ta được 345 x 345 = 119025.

Bài 6. Tính 455 x 455.

Giải: Ta có 45 x (45 + 1) = 45 x 46 = 45 x (2 x 23) = (45 x 2) x 23 = 90 x 23 = 2070. Ta được 455 x

455 = 207025.

3. Tính nhanh tích hai số có số chữ số bằng nhau.

Trước hết, với một số có 2, 3 chữ số, ta chọn số đầu tiên có tương ứng là 3, 4 chữ số là 100, 1000. Hiệu của số mới với số ban đầu gọi là số bù. Chẳng hạn, số 98 có số bù là 100 - 98 = 2, số 986 có số bù 1000 - 986 = 14. Trong kỹ thuật nhân nhẩm này, ta chỉ tính những tích của hai số có hai chữ số mà tích của hai số bù cũng là số có hai chữ số. Tương tự, ta sẽ tính tích của hai số có ba chữ số khi tích của hai số bù là số có ba chữ số.

Quy tắc: Bước 1: Tìm hai số bù. Bước 2: Lấy hiệu của thừa số thứ nhất với số bù của thừa số thứ hai. Bước 3. Lấy tích hai số bù. Nếu tích này có số chữ số ít hơn so với số chữ số của thừa số ban đầu thì ta thêm số 0 vào trước nó. Bước 4. Ghép hai số vừa tính, ta được tích.

Bài 1. Tính 96 x 97.

Giải: Hai số bù là 100 - 96 = 4, 100 - 97 = 3. Hiệu 96 - 3 = 93, tích 4 x 3 = 12. Ta ghép hai số này để được tích 96 x 97 = 9312.

Bài 2. Tính 98 x 99.

Giải: Hai số bù là 100 - 98 = 2, 100 - 99 = 1. Hiệu 98 - 1 = 97, tích 2 x 1 = 2. Ta thêm số 0 vào trước số 2 để được số 02. Ta được 98 x 99 = 9702.

Bài 3. Tính 988 x 991.

Giải: Hai số bù là 1000 - 988 = 12, 1000 - 991 = 9. Hiệu 988 - 9 = 979, tích 12 x 9 = 108. Ta được 988 x 991 = 979108.

Bài 4. Tính 998 x 990.

Giải: Hai số bù là 1000 - 998 = 2, 1000 - 990 = 10. Hiệu 998 - 10 = 988, tích 2 x 10 = 20. Ta thêm số 0 vào trước số 20 để được số 020. Ta được 998 x 990 = 988020.

Phong sợ nhất là phương pháp giả thiết tạm. Vậy mà hôm kiểm tra Phong lại vớ phải đúng bài toán dân gian "Vừa gà vừa chó" thuộc loại giả thiết tạm nổi tiếng.

Vừa gà vừa chó,
Bó lại cho tròn,
Ba mươi sáu con,
Một trăm chân chẵn.
Tìm số gà, số chó?

Cô giáo Hạnh gợi ý:

- Các em hãy tạm giả thiết rằng tất cả ba mươi sáu con đều là gà...

Phong lúng túng quá. Em nghĩ: "Nếu ba mươi sáu con đều là gà thì còn phải tìm số chó làm gì? Vậy mà đầu bài lại bắt tìm cả gà cả chó. Thật là rắc rối."

Phong xin phát biểu:

- Thưa cô, trong đàn có cả gà và chó thì làm sao lại có thể giả thiết là toàn gà được ạ?

Cô Hạnh mỉm cười.

- Vậy mà được đấy em ạ. Em cứ bắt đàn chó làm xiếc đứng bằng hai chân là được.

Thật là kỳ diệu. Hóa ra gà và chó khác nhau không phải ở chỗ gà thì gáy mà chó thì sủa. Cái chính là số chân kia. Gợi ý của cô Hạnh như một tia chớp lóe sáng trong đầu Phong...

Hôm trả bài kiểm tra cô Hạnh vui vẻ nói với lớp:

- Cô báo với các em một tin vui là lớp ta có một nhà toán học kiêm thi sỹ. Cô đọc một bài thơ thật hay và đố các em biết tác giả là ai trong lớp ta nhé.

Thơ rằng:

Ta hô cho chó đứng lên,
Giơ hai chân trước thẳng lên khó gì.
Cả đàn ba sáu (36) vị chi,
Bảy hai (72) chân chẵn còn gì nữa đây?
Số chân giơ thẳng của cày,
Thì ra hai tám (28) còn đây rành rành.
Hóa ra lũ chó tinh ranh,
Vừa tròn mười bốn (14) loanh quanh đằng trời.
Cả đàn bớt chó là phơi nhãn tiền:
Hai hai (22) gà đấy có liền.
Bài ra ngon quá làm liền rất vui.

Hai tai Phong đỏ bừng như...mào gà.

- Bây giờ, cô Hạnh nói tiếp, cô ra cho các em một bài giả thiết tạm bằng thơ nữa. Các em về giải bài này bằng thơ thì cả lớp ta sẽ đều là thi sỹ. Thơ rằng:

Qua sông

Thuyền to chở được mười người,
Thuyền con chỉ chở sáu người là đông.
Một bày con nít qua sông,
Mười thuyền to, nhỏ giữa dòng đang trôi,
Cả bày là tám mươi người,
Trên bờ còn có bốn người chờ sang.
Bao thuyền to, nhỏ sang ngang?

Cô Hạnh vừa dứt lời thì đã có một cánh tay giơ lên...

Mời bạn cùng giải!

Toán chuyển động là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán nói chung và môn Toán ở Tiểu học nói riêng. Dạng toán chuyển động của kim đồng hồ thực chất là dạng toán chuyển động đều và chuyển động cùng chiều mà vận tốc của mỗi kim không hề thay đổi, song nó rất trừu tượng đối với học sinh Tiểu học, bởi các em vẫn thường quen với chuyển động trên một quãng đường thẳng. Để giúp các em học sinh hiểu và giải được dạng toán này một cách dễ dàng, tôi xin đưa ra một mẹo nhỏ: Vận dụng dạng toán chuyển động để giải bài toán kim đồng hồ ở tiểu học.

Xét từ một bài toán đơn giản:
Bài toán: Bây giờ là 12 giờ (2 kim giờ và phút trùng nhau). Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút lại trùng nhau?
Phân tích: Ta đã biết trong 1 giờ kim phút chạy được một vòng thì kim giờ chỉ chạy được 1/12 vòng như vậy nếu ta coi vận tốc kim giờ là một phần thì vận tốc kim phút bằng 12 phần như thế; nên hiệu vận tốc là 11/12 ( vòng đồng hồ/ trong 1 giờ).
Cần lưu ý rằng hiệu vận tốc này luôn luôn không thay đổi.
Giả sử kim giờ đứng nguyên thỉ kim phút chỉ chạy một vòng sẽ gặp kim giờ. Nhưng trong thời gian kim phút chạy thì kim giờ cũng chuyển động(từ số 12 trở đi). Do đó thực chất để kim phút trùng với kim giờ ( tức kim phút đuổi kịp kim giờ) thì kim phút phải dịch chuyển: ngoài 1 vòng đồng hồ còn phải dịch thêm một đoạn bằng kim giờ đã dịch chuyển. Nên kim phút phải chạy hơn quãng đường chính bằng 1 vòng đồng hồ (hay 12/12 vòng đồng hồ). Đây chính là hiệu quãng đường.

Theo cách tính thời gian đến lúc gặp nhau của hai vật chuyển động cùng chiều: Thời gian gặp nhau = Hiệu quãng đường : Hiệu vận tốc
Tức là bằng: 1 : 1/12 = 12/11 (giờ)
Từ phân tích trên ta thấy Hiệu vận tốc luôn không đổi và luôn bằng 11/12( vòng đồng hồ/ trong 1 giờ), do đó ta chỉ cần xác định thêm hiệu quãng đường và vận dụng công thức trên là xong.
Một số ví dụ minh hoạ
1- Bây giờ là 2 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút trùng nhau ?
Phân tích: Giả sử kim giờ đứng nguyên thì kim phút chuyển động 2/12 ( vòng đồng hồ) là gặp kim giờ. Nhưng trong thời gian đó kim giờ đã dịch chuyển đi nên kim phút phải chạy thêm một đoạn bằng kim giờ đã dịch chuyển. Nên ta dễ thấy hiệu quãng đường chính là 2/12( vòng đồng hồ). Mà hiệu vận tốc như phân tích ở trên là: 11/12(Vòng đồng hồ /trong một giờ).
Vậy thời gian để kim giờ và kim phút trùng nhau là:
2/12 : 11/12 = 2/11 ( giờ)
Đ/S : 2/11 giờ

2- Bây giờ là 1 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút trùng nhau ?
Tương tự như trên đã phân tích , ta dễ thấy Hiệu quãng đường chính bằng 1/12( Vòng đồng hồ ) và Hiệu vận tốc là 11/12(Vòng đồng hồ/ giờ ) .
Vậy thời gian để kim giờ và kim phút trùng nhau là :
1/12 : 11/12 = 1/11 ( giờ )
Đáp số : 1/11 giờ .

3- Bây giờ là 2 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút vuông góc với nhau ?
Tương tự như trên đã phân tích , giả sử kim giờ đứng nguyên thì kim phút chỉ cần chạy 5/12 vòng đồng hồ thì 2 kim vuông góc, nhưng thực tế trong thời gian đó kim giờ cũng đã chuyển động nên kim phút phải dịch chuyển thêm một đoạn bằng đoạn mà kim giờ đã dịch chuyển; ta dễ thấy Hiệu quãng đường chính bằng 5/12( Vòng đồng hồ ) và Hiệu vận tốc là 11/12(Vòng đồng hồ/ giờ ) .
Vậy thời gian để kim giờ và kim phút vuông góc với nhau là :
5/12 : 11/12 = 5/11 ( giờ )
Đáp số : 5/11 giờ .

4- Bây giờ là 1 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút vuông góc nhau ?
Tương tự như trên đã phân tích , ta dễ thấy Hiệu quãng đường chính bằng 4/12( Vòng đồng hồ ) và Hiệu vận tốc là 11/12(Vòng đồng hồ/ giờ ) .
Vậy thời gian để kim giờ và kim phút vuông góc với nhau là :
4/12 : 11/12 = 4/11 ( giờ )
Đáp số : 4/11 giờ .

Các bạn hãy làm thử mấy bài sau nhé !
1- Bây giờ là 5 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút trùng nhau ?
2- Bây giờ là 5 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút vuông góc với nhau ?
3- Bây giờ là 6 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút trùng nhau ?
4- Bây giờ là 6 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút vuông góc với nhau ?
5- Bây giờ là 7 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút trùng nhau ?
6- Bây giờ là 7 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút vuông góc với nhau ?

Trong các bài toán ở Tiểu học, có một dạng toán trong đó đề cập đến hai đối tượng (là người, vật hay sự việc) có những đặc điểm được biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau, chẳng hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau, hai công cụ lao động có năng suất khác nhau, hai loại vé có giá tiền khác nhau ...

Ta thử đặt ra một trường hợp cụ thể nào đó không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng không có thật , thậm chí một tình huống vô lí. Tất nhiên giả thiết này chỉ là tạm thời để chúng ta lập luận nhằm đưa bài toán về một tình huống quen thuộc đã biết cách giải hoặc lập luận để suy ra được cái phải tìm. Chính vì thế mà phương pháp giải toán này phải đòi hỏi có dức tưởng tượng phong phú, óc suy luận linh hoạt...

Những bài toán giải được bằng phương pháp giả thiết tạm có thể giải bằng phương pháp khác. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, cách giải bằng giả thiết tạm thường gọn gàng và mang tính "độc đáo".

Trước hết, ta hãy xét một bài toán cổ quen thuộc sau đây:
Bài 0: 
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi mấy gà, mấy chó?

Bài 1:
2 người thợ làm chung một công việc thì phải làm trong 7 giờ mới xong. Nhưng người thợ cả chỉ làm 4 giờ rồi nghỉ do đó người thứ hai phải làm 9 giờ nữa mới xong.Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm mấy giờ mới xong?

Lấy 4 giờ của người thợ thứ hai để cùng làm với thợ cả thì được: 4/7 (công việc)
Thời gian còn lại của người thứ hai: 9 - 4 = 5 (giờ)
5 giờ của người thứ hai làm được: 1 – 4/7 = 3/7 (công việc)
Thời gian người thợ thứ hai làm xong công việc: 5 : 3 x 7 = 11 giờ 40 phút.
7 giờ người thứ hai làm được: 3/7 : 5 x 7 = 0,6 (công việc)
7 giờ người thợ cả làm được: 1 – 0,6 = 0,4 (công việc)
Thời gian người thợ cả làm xong công việc: 1 : 0,4 x 7 = 17 giờ 30 phút

Bài 2:
Hai người cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc đó?

Lấy 3 giờ của người thứ 2 để cùng làm chung 3 giờ với người thứ nhất thì được 3/16 công việc, tương đương với 3 : 16 =0,1875 = 18,75% (công việc)
3 giờ còn lại của người thứ 2 làm được: 25% - 18,75% = 6,25%
Thời gian người thứ hai làm xong công việc: 3 x 100 : 6,25 = 48 (giờ)
3 gời người thứ nhất làm được: 18,75% - 6,25% = 12,5%
Thời gian người thứ nhất làm xong công việc: 3 x 100 : 12,5 = 24 (giờ)
Đáp số: 24 giờ ; 48 giờ

Bài 3: Một quầy bán hàng có 48 gói kẹo gồm loại 0,5kg; loại 0,2kg và loại 0,1kg. Khối lượng cả 48 gói la 9kg. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu gói (biết số gói 0,1kg gấp 3 lần số gói 0,2kg)

Như vậy nếu có 1 gói 0,2kg thì có 3 gói 0,1kg.
Tổng khối lượng 1 gói 0,2kg và 3 gói 0,1kg.
0,2 + 0,1 x 3 = 0,5 (kg)
Giả sử đều là gói 0,5kg thì sẽ có tất cả:
9 : 0,5 = 18 (gói)
Như vậy sẽ còn thiếu:
48 – 18 = 30 (gói)
Còn thiếu 30 gói là do ta đã tính (3+1=4) 4 gới (vừa 0,2g vừa 0,1kg) thành 1 gói.
Mỗi lần như vậy số gói sẽ thiếu đi:
4 – 1 = 3 (gói)
Số gói cần phải thay là: 30 : 3 = 10 (gói)
Số gói 0,5 kg: 18 – 10 = 8 (gói 0,5kg)
10 gói 0,2kg thì có số gói 0,1kg: 10 x 3 = 30 (gói 0,1kg)
Đáp số: 0,5kg có 8 gói ; 0,2kg có 10 gói ; 0,1kg có 30 gói

Bài 4: Có một số dầu hỏa, nếu đổ vào các can 6 lít thì vừa hết. nếu đổ vào các can 10 lít thì thừa 2 lít và số can giảm đi 5can. Hỏi có bao nhiêu lít dầu?

Nếu đổ đầy số can 10 lít bằng với số can 6 lít thì còn thiếu:
10 x 5 – 2 = 48 (lít)
Thiếu 48 lít này do mỗi can 6 lít ít hơn:
10 – 6 = 4 (lít)
Số can 6 lít: 48 : 4 = 12 (can)
Số lít dầu: 6 x 12 = 72 (lít)

Bài 5:
Cô giáo đem chia một số kẹo cho các em. Cô nhẩm tính, nếu chia cho mỗi em 5 chiếc thì thừa 3 chiếc, nếu chia cho mỗi em 6 chiếc thì thiếu 5 chiếc. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cái kẹo ?

Do mỗi bạn thêm 1 chiếc kẹo nên mất số kẹo thừa ra 3 chiếc và phải thiếu đi 5 chiếc.
Số bạn là: 3 + 5 = 8 (bạn)
Số kẹo của cô là: 5 x 8 + 3 = 43 (chiếc)

Bài 6:
Có 145 tờ tiền mệnh giá 5000đ, 2000đ và 1000đ. Số tiền của 145 tờ tiền giấy trên là 312 000đ. Số tiền loại mệnh giá 2000đ gấp đôi loại 1000đ. Hỏi mỗi loại tiền có mấy tờ.

* Do Số tiền loại mệnh giá 2000đ gấp đôi loại 1000đ Nên số tờ mệnh giá 2000 bằng số tờ mệnh giá 1000
- Giả sử 145 tờ toàn là tiền mệnh giá 5000 đ thì tổng số tiền lúc này là:
5000 x 145 = 725000 đ
- Số tiền dôi lên là: 725000 - 312000 = 413000 đ
- Mỗi lần thay 2 tờ 5000đ bởi 1 tờ 2000 và 1 tờ 1000đ
Thì số tiền dôi lên là: 2 x 5000 – (2000 + 1000) = 7000 đ
- Số lần thay thế là: 413000 : 7000 = 59 lần
=>Có 59 tờ mệnh giá 2000đ, và 59 tờ mệnh giá 1000đ.
Số tờ mệnh giá 5000đ là: 145 - (59 x 2) = 27 tờ
Đáp số:
- Loại 5000 đ có 27 tờ
- Loài 2000 đ có 59 tờ
- Loại 1000 đ có 59 tờ

Bài 7:
Bác Toàn mua 5 cái bàn và 7 cái ghế với tổng tiền phải trả là 3 010 000 đồng . Giá 1 cái bàn đắt hơn 1 cái ghế 170 000 đồng. Nếu mua 1 cái bàn và 2 cái ghế thì hết bao nhiêu tiền?

Bây giờ ta giả sử giá của 1 cái ghế tăng thêm 170.000 đồng
Khi đó giá 1 cái bàn bằng giá 1 cái ghế
Khi đó tổng số tiền phải trả là: 3.010.000 + 170.000x7 = 4.200.000 (đồng)
Do đó:
Giá một cái bàn là: 4.200.000 : (5 + 7) = 350.000 (đồng)
Giá một cái ghế là: 350.000 - 170.000 = 180.000 (đồng)
Vậy số tiền để mua 1 cái bàn và 2 cái ghế là:
350.000 x 1 + 180.000 x 2 = 710.000 (đồng)
ĐS: 710.000 (đồng)

Bài 8:
Một nhóm học sinh lớp 4 tham gia sinh hoạt ngoại khóa được chia thành các tổ để sinh hoạt.Nếu mỗi tổ 6 nam và 6 nữ thì thừa 20 bạn nam .Nếu mỗi tổ 7 nam và 5 nữ thì thừa 20 nữ . Hỏi có bao nhiêu nam ,bao nhiêu nữ?

Nếu mỗi tổ 6 nam thì ít hơn: 7-6=1 (nam).
Do cách chia mỗi tổ ít hơn 1 nam nên số tổ là: 20 : 1 = 20 (tổ)
Số nam là: 6x 20 + 20 = 140 (nam)
Số nữ là: 6 x 20 = 120 (nữ)
Thứ lại:
Mỗi tổ trường hợp thứ hai.
140 : 20 = 7 (nam)
(120-20) : 20 = 5 (nữ)

Bài 9:
Có một số l dầu và một số can. Nếu mỗi can chứa 5 l dầu thì còn thừa 5 l; nếu mỗi can chứa 6 l dầu thì có một can để không. Hỏi có bao nhiêu can, bao nhiêu l dầu?

Cách 1:
Gọi N là số can thì ta có:
Nx5 + 5 = (N-1) x 6
N = 11 (can)
Số lít dầu là:
11x5+5 = 60 (lít)

Cách 2:
Mõi can đựng 6 lít thì nhiều hơn mối can đựng 5 lít là:
6 – 5 = 1 (lít)
Giả sử mỗi can đựng đầy 6 lít mà vẫn còn dư 5 lít thì số lít dầu sẽ hơn:
6 + 5 = 11 (lít)
(thêm một can không đựng 6 lít và 5 lít thừa ra.)
Do mỗi can nhiều hơn 1 lít nên số dầu nhiều hơn chính là số can. Vậy số can là 11 can.
Số dầu là: 5 x 11 + 5 = 60 (lít)
Đáp số: 11 can ; 60 lít

Bài 10:
Nhà trưòng giao cho một số lớp trồng cả hai loại cây là cây thông và cây bạch đàn. Số lượng cây cả hai loại đều bằng nhau. Thầy Hiệu phó tính rằng: nếu mỗi lớp trồng 35 cây thông thì còn thừa 20 cây thông; nếu mỗi lớp trồng 40 cây bạch đàn thì còn thiếu 20 cây bạch đàn. Hỏi nhà trường đã giao tất cả bao nhiêu cây thông và cây bạch đàn cho mấy lớp đem trồng, biết toàn bộ số cây đó đã được trồng hết.

Cách 1:
Gọi L là số lớp thì: 35 x L +20 = 40 x L – 20
5xL = 40
L = 8
Số cây thông (cây bạch đàn) là:
35 x 8 + 20 = 300 (cây)

Cách 2:
Giả sử mỗi lớp trồng 40 cây mà vẫn còn dư 20 cây thì số cây sẽ nhiều hơn:
20 + 20 = 40 (cây)
Mỗi lớp trồng 40 cây nhiều hơn mỗi lớp tròng 35 cây là:
40 – 35 = 5 (cây)
Số lớp là: 40 : 5 = 8 (lớp)
Số cây là: 35 x 8 + 20 = 300 (cây)
Đáp số: 8 lớp ; 300 cây

Bài 11:
Tổng hai số bằng 104. Tìm hai số đó biết rằng 1/4 số thứ nhất kém 1/6 số thứ hai là 4 đơn vị.

Giả sử mỗi 1/4 số thứ nhất thêm 4 đơn vị thì sẽ bằng 1/6 số thứ hai.
Lúc này:
.Số thứ nhất tăng thêm: 4 x 4 = 16
.Tổng mới sẽ là: 104+16=120
.Số thứ nhất có 4 phần, số thứ hai có 6 phần.
Tổng số phần bằng nhau: 4+6=10 (phần)
Số thứ hai: 120:10x6= 72
Số thứ nhất: 104-72= 32
Đáp số: 32 và 72

Bài 12:
Một người mua 50 quả trứng, vừa trứng gà và trứng vịt hết tất cả 119000 đồng. Biết giá mỗi quả trứng gà là 2500 đồng, mỗi quả trứng vịt là 2200 đồng. Hỏi người đó mua bao nhiêu quả trứng mỗi loại?
Giả sử tất cả đều là trứng gà thì số tiền sẽ là:
2500 x 50 = 125 000 (đồng)
Số tiền nhiều hơn:
125000 – 119000 = 6 000 (đồng)
Giá tiền mỗi trứng gà hơn mỗi trứng vịt là:
2500 – 2200 = 300 (đồng)
Số trứng vịt là:
6000 : 300 = 20 (trứng vịt)
Số trứng gà là:
50 – 20 = 30 (trứng gà)
Đáp số: 20 trứng vịt ; 30 trứng gà

Bài 13:
Một vận động viên bắn súng trong một lần tập huấn phải bắn tất cả 50 viên đạn. Mỗi viên trúng đích được cộng 10 điểm, mỗi viên trượt đích bị trừ 5 điểm. Sau khi bắn hết 50 viên đạn vận động viên đó đạt được 440 điểm. Hỏi vận động viên đó bắn trúng đích bao nhiêu viên?

Mỗi viên trúng đích và trượt sẽ lệch nhau 10 + 5 = 15 (điểm)
Giả sử tất cả 50 viên đều trúng đích thì số điểm là:
10 x 50 = 500 (điểm)
Số điểm nhiều hơn:
500 – 440 = 60 (điểm)
Số viên bắt trượt là:
60 : 15 = 4 (viên)
Số viên trúng đích là:
50 – 4 = 46 (viên)
Đáp số: 46 viên

Bài 14:
Để chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi .Một học sịnh phải giải 40 bài toán. Biết 1 bài đạt loại giỏi được cộng 20 điểm, mỗi bài khá hay trung bình được cộng 5 điểm, 1 bài yếu kém trứ bớt đi 10 điểm. Làm xong 40 bài học sinh đó được tổng điểm là 155 điểm. Hỏi em làm được bao nhiêu bài bài loại giỏi, yếu kém. Biết số bài khá và trung bình là 13 bài.

Số bài còn lại: 40 – 13 = 27 (bài)
Số điểm của 13 bài loại Khá và TB là: 13 x 5 = 65 (điểm)
Số điểm còn lại của loại Giỏi và Yếu: 155 – 65 = 90 (điểm)
Nếu 27 bài còn lại đều loại giỏi thì số điểm là: 27 x 20 = 540 (điểm)
Số điểm nhiều hơn: 540 – 90 = 450 (điểm)
Nếu 1 bài loại Giỏi trở thành loại Yếu thì số điểm lệch đi; 20 + 10 = 30 (điểm)
Số bài đạt loại Yếu là: 450 : 30 = 15 (bài)
Số bài đạt loại Giỏi là: 27 – 15 = 12 (bài)
Đáp số: Giỏi 12 bài ; Khá và TB 15 bài

Bài tập làm thêm
Bài 1:
Trong một nhà xe có: xe lam và xe ô tô, đếm cả 2 loại xe thì được tất cả là 40 chiếc, và 148 bánh xe. Biết rằng xe lam có 3 bánh, xe ô tô có 4 bánh.
Hỏi mỗi loại có bao nhiêu chiếc xe?
...

Cờ vua và cờ tướng là những trò chơi trí tuệ lâu đời, được ưa chuộng khắp thế giới. Đây là trò chơi dành cho hai người, dựa trên chiến thuật và chiến lược hợp lý cho từng bước đi. Đây còn là niềm cảm hứng để tạo ra những phát minh trong toán học của nhiều thế hệ.

Lịch sử cờ vua, cờ tướng

Có nhiều giả thuyết khác nhau về nguồn gốc của hai loại cờ này. Nhiều quốc gia cho rằng họ là nơi phát minh ra cờ vua trong dạng phôi thai nào đó. Phổ biến nhất thì người ta tin rằng cờ vua có nguồn gốc từ Ấn Độ, tại đó nó được gọi là chaturanga (saturanga) và có lẽ ra đời vào khoảng thế kỷ 6. Trò chơi này khi lan dần sang phía tây thì trở thành cờ vua như ngày nay (vào khoảng thế kỷ thứ VI) và khi lan dần sang phía đông thì thành cờ tướng (khoảng thế kỷ thứ VII)

Một thuyết khác cho rằng cờ vua sinh ra từ trò chơi tương tự của cờ Trung Quốc, hoặc ít nhất là từ tổ tiên của cờ tướng, là môn đã tồn tại ở Trung Quốc kể từ thế kỷ 2 TCN. Joseph Needham và David Li là hai trong số nhiều học giả theo thuyết này.

Cờ vua sau đó được phổ biến về phía tây tới châu Âu và về phía đông tới Nhật Bản, sinh ra các biến thể trên đường đi của nó. Từ Ấn Độ nó đã tới Ba Tư, ở đây các thuật ngữ của nó được phiên âm sang tiếng Ba Tư và tên gọi của nó đổi thành chatrang.

Chàng trai trẻ Ba Tư đang chơi cờ với hai người theo đuổi.

Từ Ba Tư nó đi vào thế giới Hồi giáo, tại đây tên gọi của các quân cờ chủ yếu vẫn giữ các dạng Ba Tư trong thời kỳ Hồi giáo ban đầu của nó. Tên gọi của nó trở thành shatranj, được phiên theo tiếng Tây Ban Nha là ajedrez và trong tiếng Hy Lạp là zatrikion, nhưng trong phần lớn các nước châu Âu khác nó được thay thế bằng phiên bản Ba Tư của từ shāh = "vua".

Cờ vua cũng như cờ saturanga, mỗi quân cờ đều có hình khối rõ ràng để phân biệt, khác với cờ tướng chỉ có chữ trên những khối giống nhau. Điều sáng tạo ở bàn cờ tướng là sự xuất hiện quân pháo, là quân muộn nhất trên bàn cờ vì tới thế kỷ thứ VII, pháo mới được phát minh và đưa vào sử dụng trong chiến tranh. Cũng ở cờ tướng, hai quân cờ là vua và sĩ chỉ ở trong cấm cung, thể hiện nét văn hóa theo quan niệm của người phương Đông.

Về mặt toán học, ở mỗi bước đi, số lượng cách đi là rất lớn. Người chơi cần tính trước khả năng đối thủ sẽ đi bước tiếp theo như thế nào và lựa chọn cho mình thuật toán tối ưu để đi. Trò chơi được cho là khó vì ngay cả những người chơi giỏi nhất cũng khó tính toán được hết các khả năng.

Các câu chuyện toán học thú vị về cờ

a) Truyền thuyết Ấn Độ về Hạt thóc và bàn cờ
Nhà vua muốn thưởng cho nhà thông thái đã phát minh ra cờ saturanga và người này đã tâu xin được thưởng như sau: Từ 64 ô vuông, đặt vào ô thứ nhất 1 hạt thóc, ô thứ hai 2 hạt thóc, ô thứ ba 4 hạt thóc, ô thứ tư 8 hạt thóc. Cứ như thế, ô sau sẽ có số hạt thóc gấp đôi ô trước, đến ô thứ 64 thì số hạt thóc là 263 và tổng số hạt thóc trên bàn cờ là 264 - 1.

Ban đầu, nhà vua vui vẻ đồng ý nhưng quan phụ trách kho sau khi tính toán đã trình lên nhà vua rằng số thóc này gấp hàng triệu lần số thóc có trong kho của nhà vua. Theo tính toán, số hạt thóc là gần 18,5 tỷ tỷ hạt, nặng khoảng 641 tỷ tấn, trong khi ngày nay, toàn thế giới mới chỉ sản xuất được khoảng 2 tỷ tấn lương thực mỗi năm. Để giúp nhà vua giữ đúng lời hứa ban thưởng, một vị quan đã hiến kế rằng nhà thông thái phải đếm từng hạt thóc khi nhận thưởng vào các ô trong bàn cờ.

Theo tính toán, nếu mỗi giây đếm được 2 hạt thóc, mỗi ngày đếm trong 12 giờ thì cần tới 290 tỷ năm mới đếm hết được số hạt thóc. Từ truyền thuyết này, một bài toán tương tự đã được nhà toán học người Ả Rập là Ibn Kallikhan đặt ra vào năm 1256.

b) Quân mã và ma phương bậc 8
Cũng liên quan đến bàn cờ, Leonhard Euler (1707 - 1783), một nhà toán học người Thụy Sĩ đã nghĩ ra cách đi quân mã trên bàn cờ vua để tạo ra một ma phương cạnh 8. Đó là một hình vuông lớn mà mỗi cạnh được chia làm 8 phần bằng nhau. Mỗi hình vuông nhỏ được viết một trong các số từ 1 đến 64, mỗi số viết đúng một lần, sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và hai đường chéo của hình vuông lớn đều bằng nhau. Cách làm của Euler là chọn một ô điền số 1, rồi thực hiện các bước đi của quân mã, mỗi bước điền các số tăng dần từ 2 đến 64.

c) Bàn cờ 3x3
Dựa trên luật chơi của cờ tướng và cờ vua, nhiều loại cờ khác cũng đã ra đời. Chẳng hạn, năm 1525, một người Italia tên là Guarini di Forli đã đặt ra một câu hỏi với kiểu bàn cờ vua 3 × 3 ô, trong đó đặt hai quân mã màu đen và hai quân mã màu trắng đặt ở bốn góc của bàn cờ sao cho hai quân cùng màu thì nằm trên một hàng.
Câu hỏi mà ông đặt ra là: Sau bao nhiêu nước đi thì kết thúc trò chơi, quân mã một bên sẽ bị bên kia ăn hết? Đây là một trò chơi trí tuệ khá thú vị và đến bây giờ vẫn có nhiều người chơi. Sau này, người ta đã tính toán được chính xác số bước đi tối thiểu là 16. Tương tự ý tưởng này, người ta cũng tạo ra nhiều ván cờ mà một số quân được bày sẵn để hai bên chơi tiếp, mà ta gọi là cờ thế. Đó có thể là một ván cờ hay đã từng được chơi và ghi chép lại. Người ta dừng ván cờ ở những nước chơi gần cuối và đặt ra cờ thế để người chơi sau này tính toán các khả năng chơi tiếp của hai bên. Cờ thế có trong cả cờ vua lẫn cờ tướng và là một hình thức giải trí trí tuệ mang lại say mê cho nhiều người, đòi hỏi người chơi cần tính toán hết các khả năng, giống như những bài toán tổ hợp.

d) Bài toán 8 quân hậu. 

Lời giải bài toán 8 quân hậu

Bài toán đặt ra là có bao nhiêu cách để đặt 8 quân hậu trên một bàn cờ vua sao cho 2 quân bất kỳ không thể “ăn” được nhau. Tổng quát hơn, năm 1850, Franz Nauck đã đưa ra bài toán với bàn cờ tương tự như cờ vua, thay 8 quân hậu bởi số n quân trên một bàn cờ là hình vuông có n × n ô. Bài toán tổng quát này được giải quyết năm 1874 bởi hai nhà toán học Gunther và Glaisher bằng cách sử dụng phương pháp định thức, một khái niệm toán học mới. Bài toán đặt ra là có bao nhiêu cách đi để từ một vị trí ban đầu của quân mã trên bàn cờ vua, di chuyển 64 bước để nó đi qua tất cả các ô trên bàn cờ và trở về vị trí ban đầu. Theo tính đối xứng, vị trí đặt quân mã ban đầu có thể là một trong 10 ô. Việc giải quyết bài toán này cùng với bài toán bảy cây cầu Konigsberg đã hình thành một lý thuyết mới trong toán học là lý thuyết đồ thị và cấu trúc liên kết. Tiếp tục phát triển trò chơi toán học theo hướng này, năm 1875, nhà toán học người Ireland là Hamilton (1805 - 1865) đã phát minh ra trò chơi icosian. Ông đưa ra trò chơi nối các đỉnh của một khối 12 mặt, mỗi đỉnh chỉ đi qua một lần, các đường nối không cắt nhau. Quá trình giải quyết bài toán này dẫn đến một lý thuyết mới được gọi là chu trình Hamilton và các khái niệm mới trong toán học như véc tơ trong hình học và luật kết hợp trong tổ hợp.

e) Bài toán mã đi tuần
Mã đi tuần (hay hành trình của quân mã) là bài toán về việc di chuyển một quân mã trên bàn cờ vua (8 x 8). Quân mã được đặt ở một ô trên một bàn cờ trống nó phải di chuyển theo quy tắc của cờ vua để đi qua mỗi ô trên bàn cờ đúng một lần. Có rất nhiều lời giải cho bài toán này, chính xác là 26.534.728.821.064 lời giải trong đó quân mã có thể kết thúc tại chính ô mà nó khởi đầu.

Một hành trình như vậy được gọi là hành trình đóng. Có những hành trình, trong đó quân mã sau khi đi hết tất cả 64 ô của bàn cờ (kể cả ô xuất phát), thì từ ô cuối của hành trình không thể đi về ô xuất phát chỉ bằng một nước đi. Những hành trình như vậy được gọi là hành trình mở.

Lời giải bài toán trên bàn cờ 5x5

Nhiều biến thể của chủ đề này được các nhà toán học nghiên cứu, trong đó có nhà toán học Euler. Các biến đổi có thể theo các hướng: thay đổi kích thước bàn cờ, biến thành trò chơi hai người theo tư tưởng này, giảm nhẹ các yêu cầu trên đường đi của quân mã.
Bài toán mã đi tuần là một dạng của bài toán tổng quát hơn là bài toán tìm đường đi Hamilton trong l‎ý thuyết đồ thị, là một bài toán NP-đầy đủ. Bài toán tìm hành trình đóng của quân mã là một bài toán cụ thể của bài toán tìm chu trình hamiltonian.

Hành trình của quân mã trên nửa bàn cờ đã được giới thiệu dưới dạng thơ trong một tác phẩm tiếng Phạn.

Giải thuật đầu tiên đầy đủ cho bài toán về hành trình của quân mã là Giải thuật Warnsdorff, công bố lần đầu năm 1823 bởi H. C. Warnsdorff.

f) Trò chơi di chuyển các chiếc nhẫn trên các vòng tròn được phát minh bởi nhà toán học người Italia là Cardano (1501 - 1576). Tuy vậy, bài toán tương tự được cho là ra đời từ trước đó mấy nghìn năm nhưng chưa có lời giải. Tương truyền, bài toán này xuất phát từ một ngôi đền cổ của người Hindu. Ban đầu có ba cái cọc, trong đó có một cọc chứa 64 đĩa có kích thước khác nhau, đĩa bé nhất ở trên cùng, hai cọc kia không có gì. Mỗi lần, ta di chuyển một đĩa từ cọc này sang cọc khác sao cho đĩa được lấy là trên cùng của cọc đó và các đĩa nhỏ ở mỗi cọc luôn ở trên đĩa lớn hơn. Trò chơi kết thúc khi ta chuyển hết các đĩa từ cọc ban đầu sang một cọc khác. Đến cuối thế kỷ XIX, bài toán tổng quát của bài toán này đã được giải bởi nhà toán học người Pháp Edouard Lucas (1842 - 1891) với tên gọi bài toán Tháp Hà Nội. Đây là một bài toán kinh điển mà hầu hết các sinh viên học lập trình tin học đều phải tìm cách giải quyết. Theo như phương pháp mà ông đã tìm ra thì ở bài toán cổ trên, nếu mỗi lần di chuyển một đĩa hết 1 giây thì phải cần tới 264-1 giây mới di chuyển xong. Đây là một số có dạng giống như đáp số của bài toán số hạt thóc trên bàn cờ vua.

Chơi ô ăn quan

Tranh "Chơi ô ăn quan" của họa sĩ Nguyễn Phan Chánh

Một số loại cờ được chơi thông dụng ở Việt Nam là: cờ caro, cờ cá ngựa, cờ tỷ phú, cờ hùm, ô ăn quan... Điều đặc biệt là ô ăn quan là một trò chơi dân gian nhưng những phiên bản khác của nó thì có ở nhiều nơi trên thế giới. Xa xưa nhất, trò chơi dạng này từng xuất hiện ở Ai Cập từ cách đây hơn 3.000 năm rồi lan truyền qua Ả rập và được những người Hồi giáo mang đi nhiều nơi. Một số nơi ở Châu Á cũng có trò chơi này như Sri Lanka, Indonesia, Thái Lan, Malaysia, Philippines... Ở Việt Nam, không rõ trò chơi này xuất hiện từ khi nào. Các trò chơi tương tự ô ăn quan của Việt Nam có biến thể về luật chơi, chẳng hạn chỉ được bốc sỏi theo một chiều, hoặc bàn chơi có 12 hoặc 14 ô. Một số khác thì thay quân "quan" bởi nhiều "dân" hay bàn chơi cho 3, 4 người bằng cách vẽ hình viền tam giác, viền hình vuông.... Ô ăn quan ở Việt Nam dành cho hai người chơi. Bàn chơi có hình chữ nhật, hai bên có 5 ô, mỗi ô đựng 5 viên sỏi, tượng trưng cho 5 "dân". Hai đầu hình chữ nhật là hai viên sỏi to hơn, tượng trưng cho "quan". Mỗi "quan" bằng 5 "dân". Về cách bốc sỏi, chia sỏi và "ăn" thì luật chơi giống nhau ở tất cả các nước. Người ta cho rằng ô ăn quan là trò chơi lâu đời của Việt Nam, lấy cảm hứng từ những cánh đồng lúa nước. Tích xưa kể lại, ông Mạc Hiển Tích (đỗ Trạng nguyên năm 1086) từng viết một tác phẩm bàn về cách tính toán trong trò chơi này, trong đó ông đã đề cập đến số âm. Vì tác phẩm nay đã không còn nên chúng ta chưa rõ ông đã viết như thế nào. Ta biết ô ăn quan là một trò chơi đếm số dạng tổ hợp, người chơi cần tính toán, lựa chọn cách chơi hợp lý để giành điểm cao hơn cho mình. Mỗi cách lựa chọn lại ra một bài toán tổ hợp mới. Tiếc là đến nay, chưa có bài viết hay nghiên cứu nào của các nhà toán học về những khả năng chơi khác nhau của trò chơi này. Trong khi, cờ vua hay cờ tướng thì đã được coi như một môn thể thao trí tuệ, khoa học và được nghiên cứu khá nhiều.

Còn tiếp...

Phần 1: Trò chơi toán học Stomachion

Các trò chơi ghép hình được có tên gọi chung là tangram, là tên của một trò chơi được truyền bá ở Châu Âu và Châu Mỹ từ thế kỷ XIX. Có thể tên trò chơi này là từ ghép bởi hai từ là "tan", bắt nguồn từ Trung Quốc, nghĩa là "nhà Đường" và "gramma", tiếng Hy Lạp, nghĩa là "đồ thị".

Tangram 

Một điều khá đặc biệt là dù được phát minh ở đâu thì đa phần các trò chơi ghép hình đều có 7 miếng ghép, ngoại lệ có trò chơi gồm 5 miếng. Con số 7 miếng ghép được cho là khá hợp lý. Nếu ít hơn 7 miếng thì trò chơi sẽ đơn giản hơn, số hình ghép được sẽ ít. Với 7 miếng, để tính số hình có thể ghép được là một bài toán tổ hợp khó. Ban đầu, ta đặt cố định một miếng ghép. Có nhiều hơn 10 cách ghép miếng tiếp theo, cứ như vậy đến miếng ghép thứ 7, ta có nhiều hơn một tỷ hình. Bỏ qua những hình ghép không có nghĩa hay trùng nhau, vẫn có thể có hàng triệu hình ghép đẹp để mọi người tha hồ phát huy trí tưởng tượng khi chơi. Người ta gọi 7 là con số ma thuật. Tuy nhiên Fu Traing Wang và Chuan-Chin Hsiung vào năm 1942 chứng minh rằng chỉ có 13 tangram lồi. Ngoại lệ là stomachion của Acrchimedes được ghép từ 14 miếng, số 14 gấp đôi số 7. Trò chơi này có lẽ quá khó chơi, dành cho những người đặc biệt thông minh và kiên trì.

Nghịch lí Tangram

Hai hình được tạo ra từ cùng một tập các mảnh ghép, một hình trong đó dường như là tập con của hình còn lại. Một trong những nghịc lí nổi tiếng nhất là về hai hình thầy tu của Dudeney. Một nghịch lí nổi tiếng khác về các chiếc cốc được giới thiệu bởi Sam Loyd trong cuốn The Eighth Book Of Tan.

Nghịch lí Dundeney

Nghịc lí các chiếc cốc

Quả trứng Columbus

Cách dựng quả trứng Columbus

Ngoài trò chơi tangram nổi tiếng thì trò chơi ghép hình từ 9 miếng được cắt ra từ hình quả trứng, thường được gọi là Quả trứng Columbus, cũng rất được ưa chuộng. Mục tiêu là sắp xếp các miếng này thành các hình cụ thể nào đó.

Trò chơi Trí Uẩn
Ở Việt Nam, từ khoảng năm 1940 - 1943, Hà Nội và Sài Gòn bắt đầu phổ biến một trò chơi ghép hình mới do ông Nguyễn Trí Uẩn (1916 - 1995), một người sinh ra tại Hà Đông, Hà Nội tìm ra. Ông lấy hình chữ nhật có hai cạnh là 8cm và 10cm cắt ra thành 7 miếng ghép. Trò chơi sau đó nhanh chóng lan nhanh, được nhiều người yêu thích. Trò chơi Trí Uẩn có nhiều nét độc đáo và được dân gian gọi bằng cái tên thông dụng là bảy miếng nghìn hình. Chẳng hạn, ta có thể ghép 7 miếng thành đủ các chữ số từ 0 đến 9 hay đủ các chữ cái. Ông Trí Uẩn đã tìm ra 28 cách ghép khác nhau để tạo ra hình một trái tim hay 88 cách để ghép thành một quả tạ. Theo tác giả website này thì những bộ này được một hãng của Đức sản xuất cuối thế kỷ 19. Có nghi vấn cho rằng trò chơi này có nguồn gốc từ Nhật Bản.

Một trò chơi giống Trí Uẩn được cho là sản xuất cuối thế kỷ 19 tại Dức.

Đến nay thì nhân loại đã có nhiều trò chơi ghép hình phổ biến, thường được sản xuất bằng gỗ để bán như: tangram, hai hình vuông tangram, Trí Uẩn, hình quả trứng… giúp người chơi tha hồ rèn luyện trí tưởng tượng.

Còn tiếp...

Trò chơi toán học có lịch sử lâu đời. Thông qua những trò chơi này, người chơi vừa được giải trí, đồng thời rèn luyện cho mình tư duy toán học.

Qua nghiên cứu quy luật, cách chơi của nhiều trò chơi mà nhiều nhà toán học đã phát hiện ra những kiến thức mới, tạo ra những phân môn mới cho toán học. Những trò chơi về số, câu đố về hình học, về lưới (như chơi cờ vua, cờ tướng) và những vấn đề về tổ hợp là những chủ đề chính hay gặp trong trò chơi toán học.

Những câu đố đầu tiên
Câu đố toán học được tìm thấy từ sớm nhất là trên giấy cói Rhind của Ai Cập, có niên đại khoảng 3850 năm trước. Trên đó có những bài toán "Tìm x" như chúng ta được học ở tiểu học. Sách ghi chép những bài toán nảy sinh từ thực tế như: "Có 1.000 thợ đẽo đá đang xây dựng một kim tự tháp. Mỗi người thợ ăn ba ổ bánh mỳ trong một ngày. Hỏi cần cung cấp bao nhiêu bánh mỳ cho thợ trong 10 ngày?". Hoặc một bài toán đố khác: "Bảy nhà, mỗi nhà nuôi 7 con mèo. Mỗi con mèo bắt được 7 con chuột. Mỗi con chuột ăn 7 nhúm lúa mì, mỗi nhúm lúa mì khi gieo sẽ mọc ra 7 bụi lúa mì. Tính tổng số mèo, số chuột, số nhúm lúa mì và số bụi lúa mì." Một bài toán đố cổ gần hơn là của nhà bác học người Hy Lạp Archimedes cách đây hơn 2200 năm. Bản viết tay bằng tiếng Hy Lạp được tìm thấy trong một thư viện ở Đức năm 1773, trong đó, ông đề gửi tới Eratosthenes và các nhà toán học ở Alexandria. Ông đưa ra bài toán đố bằng thơ có 44 câu, đố mọi người tìm được số gia súc của thần Mặt trời. Không rõ bản thân Archimedes và các nhà toán học thời đó có giải được bài toán này không nhưng sau khi được phát hiện, phải đến năm 1880, bài toán mới có lời giải tổng quát đầu tiên. Bài toán này có vô số nghiệm và nghiệm nhỏ nhất là một số tự nhiên có 206545 chữ số! Tuy vậy, các nhà toán học vẫn phải tính toán để có từng chữ số trong dãy kết quả. Đến năm 1981, người ta mới in được kết quả đầy đủ của số này dựa vào máy tính.

Stomachion câu đố về 14 mảnh ghép




Tháng 10-1998, một bản thảo bằng da cừu ghi chép một số tác phẩm Archimedes được bán tại New York, Mỹ. Trong đó, xuất hiện một trò chơi toán học tương tự trò chơi Tangram, nay thường được gọi tên là stomachion. Bản thảo miêu tả hình dạng, kích thước của 14 miếng ghép khác nhau được cắt từ một hình vuông. Từ 14 miếng ghép này, có thể ghép lại để được các hình mới. Nếu cạnh hình vuông ban đầu là 12 thì diện tích mỗi miếng ghép đều là những số tự nhiên là 3, 6, 9, 12, 21 và 24. Stomachion là một phát minh mà đến nay vẫn chưa được nhiều người biết đến. Riêng việc ghép ngược 14 miếng để được hình vuông ban đầu được tiến sĩ toán học người Mỹ Bill Cutler chứng minh là có 536 cách khác nhau vào năm 2003, dựa vào lập trình trên máy tính. Bạn đọc có thể tự mình tạo ra 14 miếng ghép theo hình vẽ và thử chơi trò stomachion này.

Bill Cutler đã tìm thấy 536 khả năng khác nhau sắp xếp 14 mảnh vào hình vuông trong đó các lời giải là tương đương nếu chúng đồng nhất qua phép quay và đối xứng.

Sinh thời, Archimedes đã viết các tác phẩm bằng tiếng Hy Lạp trên giấy cói và đến nay đều đã thất lạc. Tuy nhiên, một số bản thảo của ông được người đời sau ghi chép lại, xuất bản và dịch ra một số ngôn ngữ khác. Khoảng thế kỷ thứ VI, Isidore, một kiến trúc sư của đế quốc Đông La Mã đã bỏ công sưu tầm được rất nhiều tài liệu của Archimedes. Giai đoạn này, ở thủ đô Constantinopolis của đế chế này bắt đầu xuất hiện việc dùng da dê, da cừu để chép sách. Bản thảo sách da cừu trên gồm 174 trang với bảy chuyên luận, là những tác phẩm quan trọng của Archimedes, được cho là làm vào thế kỷ X và lưu giữ trong thư viện của thủ đô này. Đầu thế kỷ XIII, trải qua chiến tranh, thư viện không còn, nhưng cuốn sách may mắn được chuyển đến một tu viện. Năm 1229, một linh mục, khi cần giấy để chép một cuốn sách mới, do không hiểu được tầm quan trọng của cuốn sách cũ, đã cạo toàn bộ các chữ cũ đi để viết đè chữ mới lên đó. Vào thời kỳ này, giấy bằng da rất đắt và hiếm nên đó là việc làm bình thường. Sau đó, sách mới này cũng ít được dùng và bị lãng quên. Đến năm 1906, một học giả người Đan Mạch là Heiberg đã tìm thấy bản thảo này trong một thư viện ở Hy Lạp. Ông đã phát hiện ra những tác phẩm của Archimedes ẩn bên dưới các lớp chữ. Quá trình sao chụp, giải mã bản thảo sau đó bị gián đoạn trong đại chiến I rồi bị mất khỏi thư viện. Nó chỉ xuất hiện lại vào năm 1998, như chúng ta đã biết trong bài trước. Do không được bảo quản kỹ nên sách đã bị thủng nhiều chỗ, sờn, ẩm mốc. Nhà sưu tập mua sách trên sau đó đã đồng ý giao cho bảo tàng nghệ thuật Noel ở Maryland, Mỹ để các nhà khoa học giải mã, khôi phục sách, bằng những công cụ khoa học hiện đại như chụp bằng tia X, tia cực tím, chiếu...

Bảy chuyên luận này cho thấy, Archimedes và thời đại của ông đã biết đến rất nhiều kiến thức khoa học hiện đại, trước chúng ta rất nhiều. Chẳng hạn, trong toán học, ông đã biết đến số vô cực, tổng của chuỗi vô hạn, số pi, phương pháp diện tích... Riêng phần viết về stomachion đã cho ta thấy đây là những ví dụ về bài toán đếm, tổ hợp. Trong sách, ông nêu câu hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để ghép 14 miếng trên thành một hình vuông. Không rõ ông hay ai đã tìm ra 14 miếng ghép này nhưng việc có mặt câu đố trong sách cho thấy, nó có từ rất sớm và bị thất lạc cho đến ngày nay. Một trò chơi ghép hình khác tương tự thường được gọi là tangram, gồm 7 miếng ghép được cắt từ một hình vuông, đã trở thành trò chơi được yêu thích từ thế kỷ XIX đến nay ở nhiều nơi trên thế giới. Những trò chơi toán học ghép hình dạng này giúp rèn luyện tư duy, trí tuệ, óc tưởng tượng, tính kiên trì của người chơi, nhất là với trẻ nhỏ từ 3 tuổi trở lên. Stomachion, vì mới được tìm lại nên còn rất nhiều hình ghép chưa được khám phá. Nó hứa hẹn sẽ ghép được nhiều hình hơn, chơi hay hơn và cả khó hơn so với ghép 7 miếng. Hy vọng trò chơi này cũng dần được nhiều người đón nhận.

Đáp án bài toán con mèo: Số mèo, chuột, nhúm lúa mì, bụi lúa mì lần lượt là 49, 343, 2401, 16807. Tổng các số trên là 19600.

Còn tiếp...

Gần đây, một bài kiểm tra của học sinh do phụ huynh đăng tải trên mạng xã hội đã nhanh chóng tạo nên cuộc tranh luận sôi nổi đâu là đáp án đúng. Theo đó, bài toán con gà gây tranh cãi giữa giáo viên và phụ huynh về phép tính chuẩn 8x4 hay 4x8.

---