Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

Tích phân trong các đề thi đại học và tốt nghiệp THPT từ 2002 đến 2014. Download file PDF.

42 bài tích phân có lời giải năm 2015 dùng để luyện thi.

Soạn bởi thầy Phạm Năng Khánh, THPT Nguyễn Siêu, Hưng Yên.

Download đề và đáp án.

Để làm tốt một bài toán tích phân, trước tiên học sinh cần phải nắm vững đạo hàm, nguyên hàm của các hàm cơ bản. Bên cạnh đó học sinh phải thành thạo các kĩ năng đổi biến và tích phân từng phần. Cuối cùng học sinh cần một số định hướng cơ bản để tiếp cận và xử lý tốt bài toán tích phân.


Tải về file PDF: Hướng tiếp cận bài toán tích phân.

Tài liệu thích hợp cho học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi chung Quốc gia năm 2015.

Đa số các sách tham khảo khi viết phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ đều dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp chọn giá trị đặt biệt. Bài viết này giới thiệu một cách nhẩm nhanh các hệ số khi biến đổi các phân thức hữu tỉ về dạng áp dụng được các công thức nguyên hàm.


Kĩ thuật tính nhanh tích phân phân thức hữu tỉ của thầy Huỳnh Hữu Hùng, Tổ toán trường THPT Hiệp Đức, huyện Hiệp Đức, tỉnh Quảng Nam. Download file PDF.

Trong bài này, chúng tôi giới thiệu nguồn gốc và lời giải cho câu V đề thi thử lần 1 năm 2014 do VNMATH tổ chức cũng như ý tưởng để tạo một số bất đẳng thức sơ cấp từ các bất đẳng thức trong đại số tuyến tính.

Yêu cầu cần có
Để hiểu được bài này bạn cần các kiến thức về Đại số tuyến tính, Tích phân suy rộng. Nếu có một ít kiến thức về Giải tích hàm thì càng tốt.

Trong bài này ta kí hiệu:
- $\left\langle a, b\right\rangle$ là tích vô hướng của hai vector trong không gian tiền Hilbert V.
- ||a|| là môđun của vector a.

Hỏi:
Nhiều bạn đọc quan tâm hỏi VNMATH ra câu V trong đề thi thử năm 2014 do VNMATH tổ chức như thế nào.

Đáp:
Trước hết, ta nhắc lại nội dung câu V .
Ý tưởng ra câu bất đẳng thức này như sau:

Bất đẳng thức mở đầu. Với mọi vector a, b, c thuộc V ta có

Bạn đọc tự chứng minh.

Áp dụng bất đẳng thức trên cho tích vô hướng, $\left\langle f, g\right\rangle=\int\limits_0^{\infty}f(x)g(x)dx$ trong đó  $\displaystyle f(x)=\frac{1}{e^{ax}}$ và $\displaystyle g(x)=\frac{1}{e^{bx}}$. Ta được
Lưu ý
$$\int\limits_0^{\infty}\frac{dx}{e^{(a+b)x}}=\frac{1}{a+b}.$$
Nhân hai vế với $2abc$ và phát biểu lại bài toán ta có được câu V ở trên.

Một lời giải sơ cấp

Nếu dùng cách giải như trong ý tưởng thì chẳng khác nào giết gà bằng dao mổ khủng long. 

Một lời giải sơ cấp ngắn gọn cho bài toán trong đề thi thử đại học là
$$M=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{(b-a)^2(c-a)^2(c-b)^2}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}\leq \frac{1}{4}.$$
Giá trị lớn nhất của M bằng 1/4. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.
Hướng dẫn tính chi tiết

Bonus:
Nếu chọn $a=(a_1,\ldots, a_n)$, $b=(b_1,\ldots, b_n)$ và $c=(1,\ldots, 1)$ rồi thay vào bất đẳng thức mở đầu, sau đó thêm các giả thiết $\sum\limits_{i=1}^{n} a_i^2=\sum\limits_{i=1}^{n} b_i^2=1$ và $\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i=0$, ta có bất đẳng thức $$\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \right)^2+\left( \sum\limits_{i=1}^{n} b_i\right)^2\leq n.$$
Đây chính là đề chọn đội tuyển thi IMO của Rumani năm 2007. Lời giải sơ cấp dành cho bạn đọc.

Bài tập
1) Hãy tạo ra một số bất đẳng thức sơ cấp cho các số thực từ bất đẳng thức sau:
2) Lựa chọn tích vô hướng thích hợp để suy ra bất đẳng thức sau (Iran TST 1996) $$\displaystyle \frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}\geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}.$$

Kết:
Theo hướng này bạn có thể tự tạo nhiều câu bất đẳng sơ cấp khác từ các bất đẳng thức về tích vô hướng trong không gian tiền Hilbert.

Chúc bạn có các bất đẳng thức tự sướng của riêng mình.

Trong kì thi Đại học, Cao đẳng câu tích phân luôn mặc định xuất hiện trong đề thi môn Toán. Tích phân không phải là câu hỏi khó, đây là một bài toán “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm”. Vì vậy việc mất điểm sẽ trở nên “vô duyên” với những ai đã bỏ chút thời gian đọc tài liệu. Ở tài liệu nhỏ này sẽ cung cấp tới các em các dạng tích phân thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Đại học - Cao đẳng (và đề thi cũng sẽ không nằm ngoài các dạng này).
Với cách giải tổng quát cho các dạng, các ví dụ minh họa đi kèm, cùng với lượng bài tập đa dạng, phong phú. Mong rằng sau khi đọc tài liệu, việc đứng trước một bài toán tích phân sẽ không còn là rào cản đối với các em. Chúc các em thành công!

10 dạng tích phân hay gặp khi thi đại học của Thanh Tùng (PDF, 114 trang). Download.