Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

Một nhân viên làm việc quần quật cả năm, đến gặp sếp xin nghỉ phép.

Vị sếp tròn mắt nói:

- Sao? Anh muốn nghỉ phép ư? Nghỉ phép? Anh không biết ngượng à? Anh hoàn toàn không biết rằng anh làm việc ít như thế nào à? Đây tôi tính cho anh xem:

Một năm có 365 ngày. Mỗi ngày anh ngủ 8 tiếng, vậy là mất 122 ngày. Còn lại 243 ngày. Mỗi ngày anh có 8 tiếng rảnh rỗi, mất thêm 122 ngày nữa. Còn lại 121 ngày. Chủ nhật không phải làm việc, mà một năm có tới 52 chủ nhật, vậy là còn 69 ngày.

Đang nói thì sếp bỗng dưng dừng lại và hỏi:

- Anh vẫn theo dõi tôi nói gì chứ?

- Vâng!

Vị sếp nói tiếp:

- Còn nữa, chiều thứ bảy anh không làm việc, 52 thứ bảy chia cho 2 bằng 26, vâng 26 ngày nữa. Vậy là còn có 69 – 26 = 43 ngày! Nhưng vẫn còn chưa hết. Mỗi ngày anh nghỉ giải lao 2 giờ, tổng cộng là 30 ngày.

- Thế thì còn gì nữa sếp?

- Ồ, còn có 13 ngày! Nhưng một năm lại có 12 ngày lễ.

- Thế thì còn gì nữa?

- Vâng, anh còn chính xác có 1 ngày! Nhưng hôm đó lại là ngày 1/5, và rõ ràng là anh không phải làm gì cả. Đấy, một năm anh đã làm gì? Vậy mà anh còn dám xin nghỉ phép ư?

- !?

Nhằm chào mừng thành viên thứ 1000 ở Diễn đàn, VNMATH giới thiệu đến các bạn bài viết nhỏ về các phản thí dụ trong Giải tích 1.

Các phản thí dụ nhỏ trong tài liệu này làm rõ thêm các mối liên hệ được cho trong sơ đồ sau đây.
Tài liệu thích hợp cho các bạn yêu toán.
Tải về file PDF: Download.

Một số giảng viên các trường ĐH cho rằng một câu hỏi về lý thuyết đã sai và không đúng với khái niệm trong SGK. Với khái niệm của đề thì có thể sẽ không có đáp án.

Cụ thể, câu 53 mã đề 817 có đưa ra câu hỏi: Con lắc Vật lý là một vật rắn quay quanh được một trục nằm ngang cố định. Dưới tác dụng của trọng lực, khi ma sát không đáng kể thì chu kỳ dao động nhỏ của con lắc

A. Không phụ thuộc vào gia tốc trọng trường tại vị trí con lắc dao động

B. Phụ thuộc vào dao động biên độ của con lắc

C. Phụ thuộc vào khoảng cách từ trọng tâm của vật rắn đến trục quay của nó.

D. Không phụ thuộc vào momen quán tính của vật rắn đối với trục quay của nó.

Phần lớn các chuyên gia giải đề khi đọc lướt qua sẽ chọn đáp án đúng là C. Tuy nhiên câu hỏi này đã không loại ra trường hợp đặc biệt. Nếu trục không đi qua trọng tâm của vật rắn thì đáp án đúng là C nhưng nếu trục đi qua trọng tâm của vật rắn thì vật sẽ quay tròn đều và lúc đó sẽ không có đáp án để lựa chọn.

Cập nhật từ VTC: Thạc sĩ Nguyễn Đức Lâm (Giáo viên Vật lý trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội ) cho biết: “Tôi đã đọc câu 53 mã đề 817. Theo tôi, câu hỏi trên đã rất chặt chẽ. Theo đề bài, chúng ta cần chú ý đến dữ kiện “dao động nhỏ của con lắc”. Với dữ kiện này thì chu kỳ của con lắc sẽ không phụ thuộc vào biên độ. Như vậy, chúng ta có thể loại được phương án B”.

Về trường hợp đặc biệt, theo ý kiến của một số chuyên gia: “Nếu trục không đi qua trọng tâm của vật rắn thì đáp án đúng là C nhưng nếu trục đi qua trọng tâm của vật rắn thì vật sẽ quay tròn đều và lúc đó sẽ không có đáp án để lựa chọn”, Thạc sĩ Nguyễn Đức Lâm cho rằng, nếu có dự kiện “dao động nhỏ của con lắc” sẽ không có trường hợp trên, vì trục quay của con lắc không thể dịch chuyển đến trọng tâm.

Nhận xét về đề thi Vật lý năm nay, thạc sĩ Nguyễn Đức Lâm – trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội cho rằng, mức độ đề thi môn Vật lý năm nay khó hơn năm ngoái. Trong đề thi này, số lượng câu hỏi lý thuyết nhớ ít, học sinh cần phải vận dụng toán học để giải các bài tập vận dụng công thức. Về bài toán, học sinh cần nắm vững các phương pháp giải các dạng bài tập và có kỹ năng tính toán nhanh mới hoàn thành kịp thời gian.
Đề thi có câu hỏi hay, phân loại được thí sinh. Các câu hỏi về dòng điện xoay chiều tương đối khó. TS Nguyễn Đức Lâm cho rằng, với đề thi này sẽ có ít điểm 10. Học sinh giỏi và ôn tập tốt mới đạt được mức điểm tuyệt đối. Học sinh giỏi sẽ chủ yếu đạt từ điểm 7 đến điểm 9. Học sinh khá sẽ đạt từ điểm 5 đến điểm 7. Học sinh trung bình làm hết sức sẽ đạt được 5 điểm (phần lớn các em học sinh trung bình sẽ được 3 điểm).

Bên cạnh đó, phóng viên VTC News cũng đã liên hệ với các chuyên gia Vật lý của Trung tâm luyện thi Vĩnh Viễn (TP Hồ Chí Minh) và cũng nhận được lời khẳng định, đề thi của Bộ GD-ĐT không sai. Theo đó thì chu kỳ dao động nhỏ của con lắc đã loại trừ ngay từ đầu trong trường hợp vật rắn quay tròn đều.

“Đề thi có hơi “cài” thí sinh một chút nhưng vẫn đúng” – chuyên gia này khẳng đinh.

Trong Đề thi tốt nghiệp THPT 2011, Câu 2.3 yêu cầu tìm m để một hàm số bậc 3 cho sẵn đạt cực tiểu tại x=1. Đáp án chính thức sử dụng điều kiện đủ để hàm số cực trị để tìm ra m. Một bài toán đơn giản nhưng để làm đúng cần có sự nắm vững lí thuyết về cực trị hàm hàm một biến. Nhiều bạn thắc mắc liệu có thể viết được như sau không?

Tức là dấu tương đương ở trên là đúng hay sai?

Câu trả lời là SAI (Xem Điều kiện đủ của cực trị bên dưới).
Bạn làm đúng nếu bạn trình bày theo trình tự như đáp án chính thức hoặc bạn thử lại bằng tính toán trực tiếp sau khi tìm ra giá trị m nhờ định lí Fermat.

Điều kiện đủ của cực trị:
Cho hàm số y=f(x) có f'(a)=0 và f khả vi cấp 2 tại x=a.
(i) Nếu f''(a)>0 thì x=a là điểm cực tiểu (minimum point).
(ii) Nếu f''(a)<0 thì x=a là điểm cực đại (maximum point).

Russell chia tập hợp thành hai loại:

• Tập thông thường (ordinary set), là tập hợp sao cho nó không phải là phần tử của chính nó (nó không thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp những chiếc xe máy là một tập thông thường, vì tập hợp ấy không thể là một chiếc xe máy.
• Tập lạ thường (extraordinary set), là tập hợp sao cho nó là phần tử của chính nó (nó thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp của tất cả những gì không phải là chiếc xe máy. Dễ thấy tập hợp này là một phần tử của chính nó, vì tập hợp này không phải là một chiếc xe máy.

Có rất nhiều tập thông thường khác nhau cũng như có rất nhiều tập lạ thường khác nhau. Russell đề nghị xét một tập hợp đặc biệt, đó là Tập hợp của tất cả các tập thông thường. Ngay lập tức, cái đầu logic sắc sảo của Russell dẫn ông tới một câu hỏi lạ lùng nhưng lý thú:
Tập hợp của tất cả các tập thông thường là một tập thông thường hay lạ thường?
Câu hỏi trên dài quá, có thể làm mệt một số độc giả. Vậy xin rút gọn bằng cách gọi tập hợp của tất cả các tập thông thường là Tập Russell.Nghịch lý Russell (Russell's paradox) còn được mô tả qua một câu chuyện vui về ông thợ cạo như sau:
Có ông thợ cạo, vốn là cư dân của làng VNMATH, tuyên bố: "Tôi chỉ cạo râu cho những người đàn ông nào của làng VNMATH mà không tự cạo râu". Như thế các đấng nam nhi của làng VNMATH chia làm 2 nhóm: nhóm tự cạo râu và nhóm không tự cạo râu. Vậy thì ông thợ cạo thuộc nhóm nào đây? Nếu thuộc nhóm 1 tức là nhóm tự cạo râu nên ông không cạo cho những người tự cạo râu, tức là ông không cạo cho ông. Nhưng nếu như vậy thì ông thuộc nhóm hai. Nếu ở nhóm 2 thì ông sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc nhóm 2. Lúc đó hoá ra ông lại tự cao râu cho mình. Té ra ông này thuộc loại đại rắc rối, xếp vào nhóm nào cũng gặp mâu thuẫn cả!

Thật ra mâu thuẫn này gặp phải khi ta xét tập hợp "E là tập hợp của tất cả các tập hợp" để rồi gặp phải tình huống: “Tập E là một phần tử của chính nó hay không phải là phần tử của nó đều gặp chuyện ngược đời”. Sau đó để sửa sai, người ta không dùng "tập hợp của tất cả các tập hợp" mà đề xuất một khái niệm mới, tổng quát hơn là "lớp". Trong công việc của các nhà toán học cụ thể, người ta chỉ cần khoanh vùng một tập hợp bao gồm đủ nhiều các tập hợp nào đó (nhưng không phải là tất cả) để làm việc thì sẽ không phải gặp mâu thuẫn nữa. Tập này được gọi là một "vũ trụ" của người làm toán ứng với một ngành toán nào đó.

Nếu bạn được ai đó hỏi rằng: “0^0 bằng mấy?” thì bạn sẽ trả lời ra sao? Theo quán tính, nhiều bạn sẽ không ngần ngại trả lời
Cũng có bạn cho rằng 0^0 = 0 (do 0^n = 0).

Có hẳn vậy không? Vậy tại sao một số giáo trình lại liệt kê là 1 dạng vô định. Vậy kết quả nào là chính xác?

Để khẳng định chắc chắn 0^0 = 1 , nhiều người đã sử dụng kết quả sau: x^b/x^c=x^(b-c) nên x^b/x^b=x^0=1, do đó 0^0=1.

Tuy vậy, lý luận này chưa được chặt chẽ và logic lắm vì: 0^b/0^b=0/0 là dạng vô định.
Một số người thì cho rằng đây là quy ước, giống như quy ước: 0! = 1.

Một số khác thì chứng minh cụ thể bằng cách khảo sát hàm số: y=x^x và y=(sinx)^x.

Ngoài ra, theo định lý khai triển nhị thức ta có:


Rõ ràng, định lý này không thể đúng trong trường hợp x = 0, ngoại trừ việc chấp nhận Vì khi đó:

Hơn nữa, bằng công cụ chuỗi hàm lũy thừa ta có:


Hai chuỗi này đều là chuỗi hội tụ nhưng sẽ không còn đúng trong trường hợp x = 0, nếu không công nhận 0^0=1 (vì trong trường hợp x = 0 thì 2 chuỗi số ở vế phải có tổng riêng phần S_n=0, trong khi tổng của chuỗi đều bằng 1).
Do đó, việc đề nghị 0^0=1 là điều hợp lý.

Nhưng theo hướng ngược lại, ta cũng có nhiều dẫn chứng để chứng tỏ 0^0 phải là dạng vô định.

Thật vậy, nếu 0^0=1 thì: ln(0^0)=ln1=0

Suy ra:
Như vậy, nếu 0^0=1 thì phải chấp nhận 0 nhân vô cùng bằng 0. Đây là điều không thể vì là dạng vô định.

Ngoài ra, bằng công cụ L’Hospital – Bernulli, ta có thể khảo sát các giới hạn sau có dạng 0^0 nhưng có các giá trị khác nhau:

Bài viết tóm tắt một số tính chất và mối liên hệ giữa tính liên tục và tính liên tục đều của hàm số. Nhiều người không thấy rõ sự khác nhau giữa hai lớp hàm này.

Khi nói về tính liên tục của hàm số các giáo trình thường định nghĩa khái niệm hàm số liên tục tại một điểm trước sau đó mới định nghĩa tính liên tục của nó trên một tập.

Xin nhắc lại khái niệm hàm số liên tục trên một tập A.

Hàm số f liên tục trên tập A nếu và chỉ nếu
Có một thay đổi lớn khi ta di chuyển các lượng từ trong định nghĩa trên.


Trong định nghĩa tính liên tục, ta sẽ bắt đầu với việc lấy a và ε. Khi đó với a và ε ta đi tìm δ thỏa mãn các tính chất yêu cầu. Nhưng với sự thay đổi trên, ta sẽ bắt đầu với việc chỉ lấy ε và không cần biết giá trị a cụ thể nào ta đi tìm δ chỉ phụ thuộc vào ε thỏa các tính chất yêu cầu và δ này phục vụ cho toàn bộ các giá trị a. Từ đó nảy sinh khái niệm liên tục đều.

Hàm số f liên tục đều trên A nếu và chỉ nếu


Điểm khác biệt đángchú ý ở đây là liên tục mang tính địa phương trong khi liên tục đều mang tính toàn cục. Nói rõ hơn là ta không có khái niệm liên tục đều tại từng điểm.

Tiếp theo, ta xét một số mối liên hệ giữa liên tục đều và liên tục.

Từ định nghĩa, lập tức ta suy ra hàm liên tục đều thì liên tục. Điều ngược lại nói chung không đúng.

Phản thí dụ:
Hàm số y=1/x không liên tục đều trên (0;1). Thật vậy với ε=1, với mọi 0< δ<1 chọn x=δ/2, y=δ ta có |x-y|< δ và



Tuy nhiên, ta có kết quả dễ thương sau: nếu hàm số thực f liên tục trên tập compact thì liên tục đều trên tập đó. Vậy trên tập compact liên tục tương đương với liên tục đều.

Tính chất sau chỉ thêm một đặc trưng của hàm liên tục đều không có trên lớp hàm liên tục. Nếu f liên tục đều trên tập bị chặn A thì f(A) bị chặn.

Một lần nữa ta thấy tính không liên tục đều của hàm y=1/x trên (0;1).

Một số bài tập nhỏ dành cho bạn đọc.
1) Chứng minh các hàm số y=x², y=e^x không liên tục đều trên đường thẳng thực.
2) Chứng minh hàm số y=tan x không liên tục đều trên (−π/2, π/2).
3) Tìm một hàm số liên tục đều trên [0, +∞) khác với hàm hằng và hàm bậc nhất.