You are here: Home »
Thành tích đoàn Việt Nam tại IMO 2015 như sau: 2 HCV, 3HCB và 1 HCĐ.
Hai huy chương vàng thuộc về Vũ Xuân Trung (lớp 11, THPT chuyên Thái Bình, tỉnh Thái Bình) và Nguyễn Thế Hoàn (lớp 12, THPT chuyên Khoa học Tự nhiên Hà Nội).
Hoàng Anh Tài (lớp 12, THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An), Nguyễn Tuấn Hải Đăng (lớp 11, THPT chuyên Khoa học Tự nhiên Hà Nội), Nguyễn Huy Hoàng (lớp 12, Phổ thông Năng khiếu ĐH Quốc gia TP HCM) giành huy chương bạc.
Huy chương đồng thuộc về Nguyễn Thị Việt Hà (lớp 12, THPT chuyên Hà Tĩnh, tỉnh Hà Tĩnh) thí sinh nữ duy nhất của đoàn Việt Nam.
Với kết quả này đoàn Việt Nam xếp thứ 5 toàn đoàn.
Mười đội dẫn đầu là:
1. Hoa Kỳ
2. Trung Quốc
3. Hàn Quốc
4. Triều Tiên
5. Việt Nam
6. Australia
7. Iran
8. Nga
9. Canada
10. Singapore
Chỉ có một thí sinh đạt điểm tuyệt đối (42/42) là Zhuo Qun (Alex) Song đến từ Canada.
Hai huy chương vàng thuộc về Vũ Xuân Trung (lớp 11, THPT chuyên Thái Bình, tỉnh Thái Bình) và Nguyễn Thế Hoàn (lớp 12, THPT chuyên Khoa học Tự nhiên Hà Nội).
Hoàng Anh Tài (lớp 12, THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An), Nguyễn Tuấn Hải Đăng (lớp 11, THPT chuyên Khoa học Tự nhiên Hà Nội), Nguyễn Huy Hoàng (lớp 12, Phổ thông Năng khiếu ĐH Quốc gia TP HCM) giành huy chương bạc.
Huy chương đồng thuộc về Nguyễn Thị Việt Hà (lớp 12, THPT chuyên Hà Tĩnh, tỉnh Hà Tĩnh) thí sinh nữ duy nhất của đoàn Việt Nam.
Với kết quả này đoàn Việt Nam xếp thứ 5 toàn đoàn.
Mười đội dẫn đầu là:
1. Hoa Kỳ
2. Trung Quốc
3. Hàn Quốc
4. Triều Tiên
5. Việt Nam
6. Australia
7. Iran
8. Nga
9. Canada
10. Singapore
Chỉ có một thí sinh đạt điểm tuyệt đối (42/42) là Zhuo Qun (Alex) Song đến từ Canada.
Kì thi Olympic Toán quốc tế 2015 diễn ra tại Chiang Mai, Thái Lan từ 4 đến 16 tháng 7 năm 2015. Sau đây là đề thi IMO 2015.
Ngày thi thứ nhất 10/7/2015
Bài 1.
Một tập hợp hữu hạn $S$ các điểm nằm trên mặt phẳng là cân bằng nếu như với hai điểm $A,B$ phân biệt thuộc $S$, luôn tồn tại một điểm $C$ thuộc $S$ mà $AC=BC.$ Ta gọi tập hợp $S$ là không tâm nếu như với mọi bộ ba điểm $A,B$ và $C$ thuộc $S,$ không tồn tại điểm $P$ thuộc $S$ sao cho $PA=PB=PC.$
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 3$, tồn tại một tập hợp cân bằng có $n$ điểm.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên $n\ge 3$ sao cho tồn tại một tập vừa cân bằng, vừa không tâm và có $n$ điểm.
Bài 2.
Xác định tất cả bộ ba $(a,b,c)$ các số nguyên dương sao cho các số
Bài 3.
Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB>AC.$ Gọi $\Gamma $ là đường tròn ngoại tiếp tam giác, $H$ là trực tâm của tam giác và $F$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Gọi $Q$ là điểm nằm trên $\Gamma $sao cho $\angle HQA=90^\circ $và gọi $K$ là điểm nằm trên $\Gamma $sao cho $\angle HKQ=90^\circ $. Giả sử các điểm $A,B,C,K$và $Q$ đều phân biệt và nằm trên $\Gamma $ theo thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $KQH$ và $FKM$ tiếp xúc nhau.
Ngày thi thứ hai 11/7/2015
Ngày thi thứ nhất 10/7/2015
Bài 1.
Một tập hợp hữu hạn $S$ các điểm nằm trên mặt phẳng là cân bằng nếu như với hai điểm $A,B$ phân biệt thuộc $S$, luôn tồn tại một điểm $C$ thuộc $S$ mà $AC=BC.$ Ta gọi tập hợp $S$ là không tâm nếu như với mọi bộ ba điểm $A,B$ và $C$ thuộc $S,$ không tồn tại điểm $P$ thuộc $S$ sao cho $PA=PB=PC.$
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 3$, tồn tại một tập hợp cân bằng có $n$ điểm.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên $n\ge 3$ sao cho tồn tại một tập vừa cân bằng, vừa không tâm và có $n$ điểm.
Bài 2.
Xác định tất cả bộ ba $(a,b,c)$ các số nguyên dương sao cho các số
$ab-c,\text{ }bc-a,\text{ }ca-b$
đều là các lũy thừa của $2$,Bài 3.
Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB>AC.$ Gọi $\Gamma $ là đường tròn ngoại tiếp tam giác, $H$ là trực tâm của tam giác và $F$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Gọi $Q$ là điểm nằm trên $\Gamma $sao cho $\angle HQA=90^\circ $và gọi $K$ là điểm nằm trên $\Gamma $sao cho $\angle HKQ=90^\circ $. Giả sử các điểm $A,B,C,K$và $Q$ đều phân biệt và nằm trên $\Gamma $ theo thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $KQH$ và $FKM$ tiếp xúc nhau.
Ngày thi thứ hai 11/7/2015
Kì thi Olympic Toán Sinh viên lần thứ 23 diễn ra tại Đại học Kinh tế Huế từ 13 đến 19/4/2015.
Sau đây là Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 các môn Đại số và Giải tích (Bảng A và Bảng B) và đáp án.
Đáp án Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 môn Đại số (Bảng A và Bảng B). Download.
Đáp án Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 môn Giải tích (Bảng A và Bảng B). Download.
Sau đây là Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 các môn Đại số và Giải tích (Bảng A và Bảng B) và đáp án.
Đáp án Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 môn Đại số (Bảng A và Bảng B). Download.
Đáp án Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 môn Giải tích (Bảng A và Bảng B). Download.
Đề thi chọn đội tuyển Toán quốc gia Việt Nam dự thi Olympic Toán quốc tế năm 2015 (IMO 2015) tại Thái Lan.
Ngày thi thứ nhất
Bài 1.
Gọi $\alpha $ là nghiệm dương của phương trình ${{x}^{2}}+x=5$. Với số nguyên dương $n$ nào đó, gọi ${{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}}, \ldots ,{{c}_{n}}$ là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức $${{c}_{0}}+{{c}_{1}}\alpha +{{c}_{2}}{{\alpha }^{2}}+...+{{c}_{n}}{{\alpha }^{n}}=2015.$$
a) Chứng minh rằng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}\equiv 2\text{ }(\bmod 3).$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}$.
Bài 2.
Cho đường tròn (O), dây cung $BC$ cố định và điểm $A$ chạy trên $(O)$. Gọi $I,H$ lần lượt là trung điểm cạnh $BC$ và trực tâm tam giác $ABC$, tia $IH$ cắt $(O)$ tại $K$, $AH$ cắt $BC$ tại $D$, $KD$ cắt $(O)$ tại $M$. Từ M vẽ đường vuông góc với $BC$ cắt $AI$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng điểm $N$ thuộc một đường tròn cố định.
b) Đường tròn tiếp xúc với $AK$ tại $A$ và đi qua $N$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. J là trung điểm $P,Q$. Chứng minh rằng $AJ$ đi qua một điểm cố định.
Bài 3.
Một số nguyên dương $k$ có tính chất “$t-m$” nếu với mọi số nguyên dương $a$, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho
$${{1}^{k}}+{{2}^{k}}+{{3}^{k}}+...+{{n}^{k}} \equiv a (\bmod m).$$
a) Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ có tính chất $t-20$.
b) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất có tính chất $t-{{20}^{15}}$.
Ngày thi thứ hai
Bài 4.
Trong một kỳ thi vấn đáp, có $100$ thí sinh và $25$ vị giám khảo, mỗi thí sinh thích ít nhất $10$ giám khảo.
a) Chứng minh rằng có thể chọn ra $7$ giám khảo mà mỗi thí sinh đều thích ít nhất $1$ trong $7$ người đó.
b) Chứng minh rằng có thể sắp xếp lịch thi sao cho mỗi thí sinh được đúng $1$ giám khảo mình thích hỏi và mỗi giám khảo hỏi không quá $10$ thí sinh.
Bài 5.
Cho tam giác$ABC$ nhọn và có điểm $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle APB=\angle APC = \alpha$ và $\alpha>180{}^\circ - \angle BAC $. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APB$ cắt $AC$ ở $E,$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $APC$ cắt $AB$ ở $F$ . Gọi $Q$ là điểm nằm trong tam giác $AEF$ sao cho $\angle AQE=\angle AQF$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $Q$ qua $EF$ , phân giác góc $EDF$ cắt $AP$ tại $T.$
a) Chứng minh rằng $\angle DET=\angle ABC,\angle DFT=\angle ACB$ .
b) Đường thẳng $PA$ cắt các đường thẳng $DE,DF$ lần lượt tại $M,N$ . Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $PEM,PFN$ và $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIJ$ . Đường thẳng $DT$ cắt $(K)$ tại $H$. Chứng minh rằng $HK$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $DMN.$
Bài 6.
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i) Tổng của $n$ số đó dương.
ii) Tổng lập phương của $n$ số đó âm.
iii) Tổng lũy thừa bậc $5$ của $n$ số đó dương.
Ngày thi thứ nhất
Bài 1.
Gọi $\alpha $ là nghiệm dương của phương trình ${{x}^{2}}+x=5$. Với số nguyên dương $n$ nào đó, gọi ${{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}}, \ldots ,{{c}_{n}}$ là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức $${{c}_{0}}+{{c}_{1}}\alpha +{{c}_{2}}{{\alpha }^{2}}+...+{{c}_{n}}{{\alpha }^{n}}=2015.$$
a) Chứng minh rằng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}\equiv 2\text{ }(\bmod 3).$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}$.
Bài 2.
Cho đường tròn (O), dây cung $BC$ cố định và điểm $A$ chạy trên $(O)$. Gọi $I,H$ lần lượt là trung điểm cạnh $BC$ và trực tâm tam giác $ABC$, tia $IH$ cắt $(O)$ tại $K$, $AH$ cắt $BC$ tại $D$, $KD$ cắt $(O)$ tại $M$. Từ M vẽ đường vuông góc với $BC$ cắt $AI$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng điểm $N$ thuộc một đường tròn cố định.
b) Đường tròn tiếp xúc với $AK$ tại $A$ và đi qua $N$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. J là trung điểm $P,Q$. Chứng minh rằng $AJ$ đi qua một điểm cố định.
Bài 3.
Một số nguyên dương $k$ có tính chất “$t-m$” nếu với mọi số nguyên dương $a$, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho
$${{1}^{k}}+{{2}^{k}}+{{3}^{k}}+...+{{n}^{k}} \equiv a (\bmod m).$$
a) Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ có tính chất $t-20$.
b) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất có tính chất $t-{{20}^{15}}$.
Ngày thi thứ hai
Bài 4.
Trong một kỳ thi vấn đáp, có $100$ thí sinh và $25$ vị giám khảo, mỗi thí sinh thích ít nhất $10$ giám khảo.
a) Chứng minh rằng có thể chọn ra $7$ giám khảo mà mỗi thí sinh đều thích ít nhất $1$ trong $7$ người đó.
b) Chứng minh rằng có thể sắp xếp lịch thi sao cho mỗi thí sinh được đúng $1$ giám khảo mình thích hỏi và mỗi giám khảo hỏi không quá $10$ thí sinh.
Bài 5.
Cho tam giác$ABC$ nhọn và có điểm $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle APB=\angle APC = \alpha$ và $\alpha>180{}^\circ - \angle BAC $. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APB$ cắt $AC$ ở $E,$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $APC$ cắt $AB$ ở $F$ . Gọi $Q$ là điểm nằm trong tam giác $AEF$ sao cho $\angle AQE=\angle AQF$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $Q$ qua $EF$ , phân giác góc $EDF$ cắt $AP$ tại $T.$
a) Chứng minh rằng $\angle DET=\angle ABC,\angle DFT=\angle ACB$ .
b) Đường thẳng $PA$ cắt các đường thẳng $DE,DF$ lần lượt tại $M,N$ . Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $PEM,PFN$ và $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIJ$ . Đường thẳng $DT$ cắt $(K)$ tại $H$. Chứng minh rằng $HK$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $DMN.$
Bài 6.
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i) Tổng của $n$ số đó dương.
ii) Tổng lập phương của $n$ số đó âm.
iii) Tổng lũy thừa bậc $5$ của $n$ số đó dương.
Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2015 Đại học Bách Khoa Hà Nội.
Môn Giải tích
Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim\limits_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right ).$$
Câu 2. Tính tích phân $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\left ( \tan x \right )^{\sqrt{2}}}.$$
Câu 3. Tìm tât cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn $$f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x} \right )=x.$$
Câu 4. Cho các hàm số $f_1, f_2, ..., f_n,...$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}f_1(x)=2x^2-1\\f_{n+1}=f_1\left ( f_n(x) \right ), \, \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$ Giải phương trình $f_n(x)=0$.
Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ xác định và khả vi hai lần trên $(0, \infty)$, thỏa mãn các điều kiện sau $$\left\{\begin{matrix} f'(x)>0\\f\left ( f'(x) \right )=-f(x)\end{matrix}\right., \, \forall x>0.$$ Tìm $f(x)$.
Câu 6. Cho hàm số liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1}f(x)x^ndx=0,\, \forall n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng $f(1)=0$.
Môn Đại số
Câu 1. Cho ma trận vuông $A$ cấp 2015. Chứng minh tồn tại hai ma trận $B, C$ thỏa mãn $A=B+C$ và $\det BC\neq 0$.
Môn Giải tích
Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim\limits_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right ).$$
Câu 2. Tính tích phân $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\left ( \tan x \right )^{\sqrt{2}}}.$$
Câu 3. Tìm tât cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn $$f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x} \right )=x.$$
Câu 4. Cho các hàm số $f_1, f_2, ..., f_n,...$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}f_1(x)=2x^2-1\\f_{n+1}=f_1\left ( f_n(x) \right ), \, \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$ Giải phương trình $f_n(x)=0$.
Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ xác định và khả vi hai lần trên $(0, \infty)$, thỏa mãn các điều kiện sau $$\left\{\begin{matrix} f'(x)>0\\f\left ( f'(x) \right )=-f(x)\end{matrix}\right., \, \forall x>0.$$ Tìm $f(x)$.
Câu 6. Cho hàm số liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1}f(x)x^ndx=0,\, \forall n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng $f(1)=0$.
Môn Đại số
Câu 1. Cho ma trận vuông $A$ cấp 2015. Chứng minh tồn tại hai ma trận $B, C$ thỏa mãn $A=B+C$ và $\det BC\neq 0$.
