You are here: Home »
Thành tích đoàn Việt Nam tại IMO 2015 như sau: 2 HCV, 3HCB và 1 HCĐ.
Hai huy chương vàng thuộc về Vũ Xuân Trung (lớp 11, THPT chuyên Thái Bình, tỉnh Thái Bình) và Nguyễn Thế Hoàn (lớp 12, THPT chuyên Khoa học Tự nhiên Hà Nội).
Hoàng Anh Tài (lớp 12, THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An), Nguyễn Tuấn Hải Đăng (lớp 11, THPT chuyên Khoa học Tự nhiên Hà Nội), Nguyễn Huy Hoàng (lớp 12, Phổ thông Năng khiếu ĐH Quốc gia TP HCM) giành huy chương bạc.
Huy chương đồng thuộc về Nguyễn Thị Việt Hà (lớp 12, THPT chuyên Hà Tĩnh, tỉnh Hà Tĩnh) thí sinh nữ duy nhất của đoàn Việt Nam.
Với kết quả này đoàn Việt Nam xếp thứ 5 toàn đoàn.
Mười đội dẫn đầu là:
1. Hoa Kỳ
2. Trung Quốc
3. Hàn Quốc
4. Triều Tiên
5. Việt Nam
6. Australia
7. Iran
8. Nga
9. Canada
10. Singapore
Chỉ có một thí sinh đạt điểm tuyệt đối (42/42) là Zhuo Qun (Alex) Song đến từ Canada.
Hai huy chương vàng thuộc về Vũ Xuân Trung (lớp 11, THPT chuyên Thái Bình, tỉnh Thái Bình) và Nguyễn Thế Hoàn (lớp 12, THPT chuyên Khoa học Tự nhiên Hà Nội).
Hoàng Anh Tài (lớp 12, THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An), Nguyễn Tuấn Hải Đăng (lớp 11, THPT chuyên Khoa học Tự nhiên Hà Nội), Nguyễn Huy Hoàng (lớp 12, Phổ thông Năng khiếu ĐH Quốc gia TP HCM) giành huy chương bạc.
Huy chương đồng thuộc về Nguyễn Thị Việt Hà (lớp 12, THPT chuyên Hà Tĩnh, tỉnh Hà Tĩnh) thí sinh nữ duy nhất của đoàn Việt Nam.
Với kết quả này đoàn Việt Nam xếp thứ 5 toàn đoàn.
Mười đội dẫn đầu là:
1. Hoa Kỳ
2. Trung Quốc
3. Hàn Quốc
4. Triều Tiên
5. Việt Nam
6. Australia
7. Iran
8. Nga
9. Canada
10. Singapore
Chỉ có một thí sinh đạt điểm tuyệt đối (42/42) là Zhuo Qun (Alex) Song đến từ Canada.
Kì thi Olympic Toán quốc tế 2015 diễn ra tại Chiang Mai, Thái Lan từ 4 đến 16 tháng 7 năm 2015. Sau đây là đề thi IMO 2015.
Ngày thi thứ nhất 10/7/2015
Bài 1.
Một tập hợp hữu hạn $S$ các điểm nằm trên mặt phẳng là cân bằng nếu như với hai điểm $A,B$ phân biệt thuộc $S$, luôn tồn tại một điểm $C$ thuộc $S$ mà $AC=BC.$ Ta gọi tập hợp $S$ là không tâm nếu như với mọi bộ ba điểm $A,B$ và $C$ thuộc $S,$ không tồn tại điểm $P$ thuộc $S$ sao cho $PA=PB=PC.$
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 3$, tồn tại một tập hợp cân bằng có $n$ điểm.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên $n\ge 3$ sao cho tồn tại một tập vừa cân bằng, vừa không tâm và có $n$ điểm.
Bài 2.
Xác định tất cả bộ ba $(a,b,c)$ các số nguyên dương sao cho các số
Bài 3.
Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB>AC.$ Gọi $\Gamma $ là đường tròn ngoại tiếp tam giác, $H$ là trực tâm của tam giác và $F$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Gọi $Q$ là điểm nằm trên $\Gamma $sao cho $\angle HQA=90^\circ $và gọi $K$ là điểm nằm trên $\Gamma $sao cho $\angle HKQ=90^\circ $. Giả sử các điểm $A,B,C,K$và $Q$ đều phân biệt và nằm trên $\Gamma $ theo thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $KQH$ và $FKM$ tiếp xúc nhau.
Ngày thi thứ hai 11/7/2015
Ngày thi thứ nhất 10/7/2015
Bài 1.
Một tập hợp hữu hạn $S$ các điểm nằm trên mặt phẳng là cân bằng nếu như với hai điểm $A,B$ phân biệt thuộc $S$, luôn tồn tại một điểm $C$ thuộc $S$ mà $AC=BC.$ Ta gọi tập hợp $S$ là không tâm nếu như với mọi bộ ba điểm $A,B$ và $C$ thuộc $S,$ không tồn tại điểm $P$ thuộc $S$ sao cho $PA=PB=PC.$
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 3$, tồn tại một tập hợp cân bằng có $n$ điểm.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên $n\ge 3$ sao cho tồn tại một tập vừa cân bằng, vừa không tâm và có $n$ điểm.
Bài 2.
Xác định tất cả bộ ba $(a,b,c)$ các số nguyên dương sao cho các số
$ab-c,\text{ }bc-a,\text{ }ca-b$
đều là các lũy thừa của $2$,Bài 3.
Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB>AC.$ Gọi $\Gamma $ là đường tròn ngoại tiếp tam giác, $H$ là trực tâm của tam giác và $F$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $A.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Gọi $Q$ là điểm nằm trên $\Gamma $sao cho $\angle HQA=90^\circ $và gọi $K$ là điểm nằm trên $\Gamma $sao cho $\angle HKQ=90^\circ $. Giả sử các điểm $A,B,C,K$và $Q$ đều phân biệt và nằm trên $\Gamma $ theo thứ tự đó. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $KQH$ và $FKM$ tiếp xúc nhau.
Ngày thi thứ hai 11/7/2015
Kì thi Olympic Toán Sinh viên lần thứ 23 diễn ra tại Đại học Kinh tế Huế từ 13 đến 19/4/2015.
Sau đây là Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 các môn Đại số và Giải tích (Bảng A và Bảng B) và đáp án.
Đáp án Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 môn Đại số (Bảng A và Bảng B). Download.
Đáp án Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 môn Giải tích (Bảng A và Bảng B). Download.
Sau đây là Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 các môn Đại số và Giải tích (Bảng A và Bảng B) và đáp án.
Đáp án Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 môn Đại số (Bảng A và Bảng B). Download.
Đáp án Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 môn Giải tích (Bảng A và Bảng B). Download.
Đề thi chọn đội tuyển Toán quốc gia Việt Nam dự thi Olympic Toán quốc tế năm 2015 (IMO 2015) tại Thái Lan.
Ngày thi thứ nhất
Bài 1.
Gọi $\alpha $ là nghiệm dương của phương trình ${{x}^{2}}+x=5$. Với số nguyên dương $n$ nào đó, gọi ${{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}}, \ldots ,{{c}_{n}}$ là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức $${{c}_{0}}+{{c}_{1}}\alpha +{{c}_{2}}{{\alpha }^{2}}+...+{{c}_{n}}{{\alpha }^{n}}=2015.$$
a) Chứng minh rằng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}\equiv 2\text{ }(\bmod 3).$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}$.
Bài 2.
Cho đường tròn (O), dây cung $BC$ cố định và điểm $A$ chạy trên $(O)$. Gọi $I,H$ lần lượt là trung điểm cạnh $BC$ và trực tâm tam giác $ABC$, tia $IH$ cắt $(O)$ tại $K$, $AH$ cắt $BC$ tại $D$, $KD$ cắt $(O)$ tại $M$. Từ M vẽ đường vuông góc với $BC$ cắt $AI$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng điểm $N$ thuộc một đường tròn cố định.
b) Đường tròn tiếp xúc với $AK$ tại $A$ và đi qua $N$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. J là trung điểm $P,Q$. Chứng minh rằng $AJ$ đi qua một điểm cố định.
Bài 3.
Một số nguyên dương $k$ có tính chất “$t-m$” nếu với mọi số nguyên dương $a$, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho
$${{1}^{k}}+{{2}^{k}}+{{3}^{k}}+...+{{n}^{k}} \equiv a (\bmod m).$$
a) Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ có tính chất $t-20$.
b) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất có tính chất $t-{{20}^{15}}$.
Ngày thi thứ hai
Bài 4.
Trong một kỳ thi vấn đáp, có $100$ thí sinh và $25$ vị giám khảo, mỗi thí sinh thích ít nhất $10$ giám khảo.
a) Chứng minh rằng có thể chọn ra $7$ giám khảo mà mỗi thí sinh đều thích ít nhất $1$ trong $7$ người đó.
b) Chứng minh rằng có thể sắp xếp lịch thi sao cho mỗi thí sinh được đúng $1$ giám khảo mình thích hỏi và mỗi giám khảo hỏi không quá $10$ thí sinh.
Bài 5.
Cho tam giác$ABC$ nhọn và có điểm $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle APB=\angle APC = \alpha$ và $\alpha>180{}^\circ - \angle BAC $. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APB$ cắt $AC$ ở $E,$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $APC$ cắt $AB$ ở $F$ . Gọi $Q$ là điểm nằm trong tam giác $AEF$ sao cho $\angle AQE=\angle AQF$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $Q$ qua $EF$ , phân giác góc $EDF$ cắt $AP$ tại $T.$
a) Chứng minh rằng $\angle DET=\angle ABC,\angle DFT=\angle ACB$ .
b) Đường thẳng $PA$ cắt các đường thẳng $DE,DF$ lần lượt tại $M,N$ . Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $PEM,PFN$ và $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIJ$ . Đường thẳng $DT$ cắt $(K)$ tại $H$. Chứng minh rằng $HK$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $DMN.$
Bài 6.
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i) Tổng của $n$ số đó dương.
ii) Tổng lập phương của $n$ số đó âm.
iii) Tổng lũy thừa bậc $5$ của $n$ số đó dương.
Ngày thi thứ nhất
Bài 1.
Gọi $\alpha $ là nghiệm dương của phương trình ${{x}^{2}}+x=5$. Với số nguyên dương $n$ nào đó, gọi ${{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}}, \ldots ,{{c}_{n}}$ là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức $${{c}_{0}}+{{c}_{1}}\alpha +{{c}_{2}}{{\alpha }^{2}}+...+{{c}_{n}}{{\alpha }^{n}}=2015.$$
a) Chứng minh rằng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}\equiv 2\text{ }(\bmod 3).$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}$.
Bài 2.
Cho đường tròn (O), dây cung $BC$ cố định và điểm $A$ chạy trên $(O)$. Gọi $I,H$ lần lượt là trung điểm cạnh $BC$ và trực tâm tam giác $ABC$, tia $IH$ cắt $(O)$ tại $K$, $AH$ cắt $BC$ tại $D$, $KD$ cắt $(O)$ tại $M$. Từ M vẽ đường vuông góc với $BC$ cắt $AI$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng điểm $N$ thuộc một đường tròn cố định.
b) Đường tròn tiếp xúc với $AK$ tại $A$ và đi qua $N$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. J là trung điểm $P,Q$. Chứng minh rằng $AJ$ đi qua một điểm cố định.
Bài 3.
Một số nguyên dương $k$ có tính chất “$t-m$” nếu với mọi số nguyên dương $a$, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho
$${{1}^{k}}+{{2}^{k}}+{{3}^{k}}+...+{{n}^{k}} \equiv a (\bmod m).$$
a) Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ có tính chất $t-20$.
b) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất có tính chất $t-{{20}^{15}}$.
Ngày thi thứ hai
Bài 4.
Trong một kỳ thi vấn đáp, có $100$ thí sinh và $25$ vị giám khảo, mỗi thí sinh thích ít nhất $10$ giám khảo.
a) Chứng minh rằng có thể chọn ra $7$ giám khảo mà mỗi thí sinh đều thích ít nhất $1$ trong $7$ người đó.
b) Chứng minh rằng có thể sắp xếp lịch thi sao cho mỗi thí sinh được đúng $1$ giám khảo mình thích hỏi và mỗi giám khảo hỏi không quá $10$ thí sinh.
Bài 5.
Cho tam giác$ABC$ nhọn và có điểm $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle APB=\angle APC = \alpha$ và $\alpha>180{}^\circ - \angle BAC $. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APB$ cắt $AC$ ở $E,$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $APC$ cắt $AB$ ở $F$ . Gọi $Q$ là điểm nằm trong tam giác $AEF$ sao cho $\angle AQE=\angle AQF$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $Q$ qua $EF$ , phân giác góc $EDF$ cắt $AP$ tại $T.$
a) Chứng minh rằng $\angle DET=\angle ABC,\angle DFT=\angle ACB$ .
b) Đường thẳng $PA$ cắt các đường thẳng $DE,DF$ lần lượt tại $M,N$ . Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $PEM,PFN$ và $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIJ$ . Đường thẳng $DT$ cắt $(K)$ tại $H$. Chứng minh rằng $HK$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $DMN.$
Bài 6.
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i) Tổng của $n$ số đó dương.
ii) Tổng lập phương của $n$ số đó âm.
iii) Tổng lũy thừa bậc $5$ của $n$ số đó dương.
Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2015 Đại học Bách Khoa Hà Nội.
Môn Giải tích
Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim\limits_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right ).$$
Câu 2. Tính tích phân $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\left ( \tan x \right )^{\sqrt{2}}}.$$
Câu 3. Tìm tât cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn $$f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x} \right )=x.$$
Câu 4. Cho các hàm số $f_1, f_2, ..., f_n,...$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}f_1(x)=2x^2-1\\f_{n+1}=f_1\left ( f_n(x) \right ), \, \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$ Giải phương trình $f_n(x)=0$.
Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ xác định và khả vi hai lần trên $(0, \infty)$, thỏa mãn các điều kiện sau $$\left\{\begin{matrix} f'(x)>0\\f\left ( f'(x) \right )=-f(x)\end{matrix}\right., \, \forall x>0.$$ Tìm $f(x)$.
Câu 6. Cho hàm số liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1}f(x)x^ndx=0,\, \forall n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng $f(1)=0$.
Môn Đại số
Câu 1. Cho ma trận vuông $A$ cấp 2015. Chứng minh tồn tại hai ma trận $B, C$ thỏa mãn $A=B+C$ và $\det BC\neq 0$.
Môn Giải tích
Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim\limits_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right ).$$
Câu 2. Tính tích phân $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\left ( \tan x \right )^{\sqrt{2}}}.$$
Câu 3. Tìm tât cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn $$f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x} \right )=x.$$
Câu 4. Cho các hàm số $f_1, f_2, ..., f_n,...$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}f_1(x)=2x^2-1\\f_{n+1}=f_1\left ( f_n(x) \right ), \, \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$ Giải phương trình $f_n(x)=0$.
Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ xác định và khả vi hai lần trên $(0, \infty)$, thỏa mãn các điều kiện sau $$\left\{\begin{matrix} f'(x)>0\\f\left ( f'(x) \right )=-f(x)\end{matrix}\right., \, \forall x>0.$$ Tìm $f(x)$.
Câu 6. Cho hàm số liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1}f(x)x^ndx=0,\, \forall n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng $f(1)=0$.
Môn Đại số
Câu 1. Cho ma trận vuông $A$ cấp 2015. Chứng minh tồn tại hai ma trận $B, C$ thỏa mãn $A=B+C$ và $\det BC\neq 0$.
Đề thi Olympic Toán sinh viên Môn Đại số của Đại học Ngoại thương Hà Nội năm 2015
Bài 1. Tính định thức: $$F_n=\begin{vmatrix} 1 & -1 &0 &... &0&0 \\ 1 &1 &-1 &... &0 &0\\ 0 &1 &1&... &0 &0\\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &1&-1\\0 &0 &0 &... &1&1 \end{vmatrix}$$ trong đó $n \in N^*$
Chứng minh rằng $(F_n)$ là dãy số Fibonacci.
Bài 2. Cho $m,n \in N$, $0 \leq n \leq m+1$. Tìm một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ vec-tơ sau: $S={x_i=(1,C_{m+i}^1,C_{m+i}^2,…,C_{m+i}^{n-1})}_{i=1}^n$.
Bài 3. Tính định thức:$$D_n=\begin{vmatrix}a+b & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$
$$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1&+\; a_{12}x_2 &... & +\; a_{1,2015}x_{2015}x_n & =x_1\\ a_{21}x_1&+a_{22}x_2 & ... & +\;a_{2,2015}x_{2015} &=x_2 \\ ...& & ... & & ... & \\ a_{2015,1}x_1&+\;a_{2015,2}x_2 &... & +\;a_{2015,2015}x_{2015} &=x_{2015}\\\end{matrix}\right. $$
Bài 5. Giả sử $A \in Mat(n,R), det A \neq 0$ và mỗi dòng của A có đúng một số khác không bằng $\pm 1$. Chứng minh rằng:
a) $A^t=A^{-1}$
b) Có số tự nhiên $m$ để $A^m=A^{-1}$
Bài 6. Cho ma trận $A \in Mat(n, R)$, với $A=[a_{ij}]$ mà $a_{ii}=0$ với mọi $i=1,2…, n$. Chứng minh rằng tồn tại các ma trận B và C $\in Mat(n, R)$để $A=BC-CB$.
Bài 7. Cho đa thức $P(x)$ có hệ số thực thỏa mãn $P(2015)=2015!$ và $xP(x-1)=(x-2014)P(x)$. Đa thức $P^2(x)+1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 với hệ số nguyên được không?
Đề thi Olympic Toán sinh viên Môn Đại số của Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội năm 2015. Chia sẻ bở thầy Nguyễn Huy Hoàng.
Bài 1. Tính định thức: $$F_n=\begin{vmatrix} 1 & -1 &0 &... &0&0 \\ 1 &1 &-1 &... &0 &0\\ 0 &1 &1&... &0 &0\\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &1&-1\\0 &0 &0 &... &1&1 \end{vmatrix}$$ trong đó $n \in N^*$
Chứng minh rằng $(F_n)$ là dãy số Fibonacci.
Bài 2. Cho $m,n \in N$, $0 \leq n \leq m+1$. Tìm một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ vec-tơ sau: $S={x_i=(1,C_{m+i}^1,C_{m+i}^2,…,C_{m+i}^{n-1})}_{i=1}^n$.
Bài 3. Tính định thức:$$D_n=\begin{vmatrix}a+b & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$
Bài 4. Cho $A \in Mat(2015, R)$, $A^{2015}=2015A$.
Hãy giải hệ phương trình?$$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1&+\; a_{12}x_2 &... & +\; a_{1,2015}x_{2015}x_n & =x_1\\ a_{21}x_1&+a_{22}x_2 & ... & +\;a_{2,2015}x_{2015} &=x_2 \\ ...& & ... & & ... & \\ a_{2015,1}x_1&+\;a_{2015,2}x_2 &... & +\;a_{2015,2015}x_{2015} &=x_{2015}\\\end{matrix}\right. $$
Bài 5. Giả sử $A \in Mat(n,R), det A \neq 0$ và mỗi dòng của A có đúng một số khác không bằng $\pm 1$. Chứng minh rằng:
a) $A^t=A^{-1}$
b) Có số tự nhiên $m$ để $A^m=A^{-1}$
Bài 6. Cho ma trận $A \in Mat(n, R)$, với $A=[a_{ij}]$ mà $a_{ii}=0$ với mọi $i=1,2…, n$. Chứng minh rằng tồn tại các ma trận B và C $\in Mat(n, R)$để $A=BC-CB$.
Bài 7. Cho đa thức $P(x)$ có hệ số thực thỏa mãn $P(2015)=2015!$ và $xP(x-1)=(x-2014)P(x)$. Đa thức $P^2(x)+1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 với hệ số nguyên được không?
Đề thi Olympic Toán sinh viên Môn Đại số của Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội năm 2015. Chia sẻ bở thầy Nguyễn Huy Hoàng.
Bài 1. Tính định thức
$$ D=\left| \begin{matrix} 1&n&n&\ldots &n\cr n&2&n&\ldots & n\cr n&n&3&\ldots &n\cr \vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr n& n& n&\ldots &n\cr\end{matrix}\right|$$
Bài 2.
Cho ma trận vuông $A=\left(\begin{matrix} 2015 & - 2014 \cr 2014 & -2013 \cr\end{matrix}\right)$. Hãy xác định số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại ma trận vuông cấp hai $X$ với các phần tử nguyên để
$$ X^{2015}+X^n=2A. $$
Bài 3. Cho $A$ là ma trận thực cỡ $6\times 2$ và $B$ là ma trận thực cỡ $2\times 6$ sao cho
$$ AB= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&0&1&4&3\\ 1&2&-3&-1&5&3\\ 2&-1&4&3&0&1\\
1&-2&5&3&-3&-1\\ -1&2&-5&-3&3&1\\ 6&0&6&6&6&6\\
\end{array}} \right|. $$
Hãy chứng minh rằng
$$ BA= \left(\begin{matrix} 10 & 0 \cr 0 & 10 \cr\end{matrix}\right)$$
Bài 4. Trên bảng đen ban đầu người ta cho sẵn ma trận $A_0=\left(\begin{matrix} 2 & -1 \cr 1 &0 \cr\end{matrix}\right)$. Sau đó một sinh viên được yêu cầu viết thêm lên bảng $10$ ma trận $A_1, A_2,\ldots , A_{10}$ đều có các phần tử nguyên sao cho $A_kA_0=A_0A_k, A_k^2\ne 0$ với mọi $k=1, 2,\ldots, 10$.
\sn
a) Hãy chỉ ra rằng sinh viên đó có thể lựa chọn các ma trận theo đúng yêu cầu trên sao cho chúng cũng thỏa mãn đẳng thức:
$$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2= \left(\begin{matrix} 125 & -100 \cr 100 & -75 \cr\end{matrix}\right).$$
b) Sinh viên đó có thể lựa chọn được các ma trận như thế để đẳng thức sau
$$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2= \left(\begin{matrix} 115 & -100 \cr 100 & -85 \cr\end{matrix}\right)$$
cũng xảy ra hay không?
Bài 5. Hãy cho biết tồn tại hay không đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho $P(1)=P(2)=P(3)=2015$ và $P(2015)=123$.
Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2015 của Đại Học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh.
Câu 1: Cho ma trận $A$ là ma trận đối xứng thực, vuông cấp $n$. Giả sử rằng
$$A^{5}+A^{3}+A=3I_{n}.$$
Chứng minh rằng $A=I_{n}$.
Câu 2: Khẳng định sau đây đúng hay không? Tại sao?
Câu 3: Cho $P, Q \in M_{n}(\mathbb{R})$. Giả sử rằng $P^{2} = P, Q^{2} = Q$ và $I_{n} - (P+Q)$ khả nghịch. Chứng minh rằng $rank(P)=rank(Q)$.
Câu 4: Cho ma trận
$$T=\begin{pmatrix} a_1& b_1& 0& 0& \cdots& 0& 0\\ b_1& a_2& b_2& 0& \cdots& 0& 0\\ 0& b_2& a_3& b_3& \cdots& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0& 0& 0& 0&\cdots &a_{n-1} &b_{n-1} \\ 0& 0& 0& 0&\cdots &b_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix}$$
Giả sử rằng $b_j \neq 0$, với mọi $j$. Chứng minh rằng:
a. $rank(T) \geq n-1$.
b. $T$ có $n$ trị riêng khác nhau.
Câu 5: Cho ma trận thực $X$ vuông cấp $2n$ như sau
$$\begin{pmatrix} A &B \\ C & D \end{pmatrix},$$
trong đó $A, B, C$ và $D$ là các ma trận thực vuông cấp $n$. Giả sử rằng các ma trận này giao hoán với nhau. Chứng minh rằng ma trận $X$ khả nghịch nếu và chỉ nếu $AD-BC$ khả nghịch.
Câu 6: Cho $f_{1}, f_{2}, \cdots f_{n}$ là những hàm số thực liên tục trên $[a, b]$. Chứng minh rằng $\begin{Bmatrix} f_1, f_2, \cdots, f_n \end{Bmatrix}$ phụ thuộc tuyến tính trên $[a, b]$ nếu và chỉ nếu
$$\det(A) = 0,$$
trong đó
$$[A]_{ij}=\int_{a}^{b}f_{i}(x)f_{j}(x)d(x), 1 \leq i, j\leq n.$$
Câu 1: Chứng minh rằng không tồn tại hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f(\mathbb{R})=\mathbb{Q}$, với $\mathbb{Q}$ là tập hợp các số hữu tỷ.
Câu 2: Cho hàm số thực $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn các tính chất sau:
a. $f(xf(y)) = yf(x), \forall x, y \in \mathbb{R}^{+}$.
b. $f(x)\rightarrow 0$ khi $x \rightarrow \infty$.
Tìm $f(x)$.
Câu 3: Giả sử $(a_{n})$ và $(b_{n})$ là dãy các số thực thỏa mãn $a_{n} \leq b_{n}, \forall n$. Chứng minh rằng nếu $\sum a_{n}$ không hội tụ và không bằng $+\infty$ thì $\sum b_{n}$ không hội tụ.
Câu 4: Chứng minh rằng nếu $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ hội tụ tuyệt đối thì $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ hội tụ.
Câu 5: Một hàm $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số $K > 0$, sao cho $|f(x) - f(y)| \leq K|x - y|$ với mọi $x, y \in D$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm số liên tục đều mà không Lipschitz.
Câu 6: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$3f(2x+1) = f(x) + 5x$$
với mọi $x$.
Câu 7: Cho $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0, 1]$ và khả vi hai lần trên $(0, 1)$ thỏa mãn$f(0) = f(1) = 0$ và $\min_{x \in [0,1]} f(x) = -1$. Chứng minh rằng:
$$\max_{x \in [0,1]} f'' (x) \geq 8.$$
Môn thi: Đại số
$$A^{5}+A^{3}+A=3I_{n}.$$
Chứng minh rằng $A=I_{n}$.
Câu 2: Khẳng định sau đây đúng hay không? Tại sao?
"Mọi ma trận $A$ vuông, cấp $2$ trên $\mathbb{C}$ luôn tồn tại ma trận $B$ sao cho $B^{2}=A$."
Câu 4: Cho ma trận
$$T=\begin{pmatrix} a_1& b_1& 0& 0& \cdots& 0& 0\\ b_1& a_2& b_2& 0& \cdots& 0& 0\\ 0& b_2& a_3& b_3& \cdots& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0& 0& 0& 0&\cdots &a_{n-1} &b_{n-1} \\ 0& 0& 0& 0&\cdots &b_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix}$$
Giả sử rằng $b_j \neq 0$, với mọi $j$. Chứng minh rằng:
a. $rank(T) \geq n-1$.
b. $T$ có $n$ trị riêng khác nhau.
Câu 5: Cho ma trận thực $X$ vuông cấp $2n$ như sau
$$\begin{pmatrix} A &B \\ C & D \end{pmatrix},$$
trong đó $A, B, C$ và $D$ là các ma trận thực vuông cấp $n$. Giả sử rằng các ma trận này giao hoán với nhau. Chứng minh rằng ma trận $X$ khả nghịch nếu và chỉ nếu $AD-BC$ khả nghịch.
Câu 6: Cho $f_{1}, f_{2}, \cdots f_{n}$ là những hàm số thực liên tục trên $[a, b]$. Chứng minh rằng $\begin{Bmatrix} f_1, f_2, \cdots, f_n \end{Bmatrix}$ phụ thuộc tuyến tính trên $[a, b]$ nếu và chỉ nếu
$$\det(A) = 0,$$
trong đó
$$[A]_{ij}=\int_{a}^{b}f_{i}(x)f_{j}(x)d(x), 1 \leq i, j\leq n.$$
Môn thi: Giải tích
Câu 2: Cho hàm số thực $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn các tính chất sau:
a. $f(xf(y)) = yf(x), \forall x, y \in \mathbb{R}^{+}$.
b. $f(x)\rightarrow 0$ khi $x \rightarrow \infty$.
Tìm $f(x)$.
Câu 3: Giả sử $(a_{n})$ và $(b_{n})$ là dãy các số thực thỏa mãn $a_{n} \leq b_{n}, \forall n$. Chứng minh rằng nếu $\sum a_{n}$ không hội tụ và không bằng $+\infty$ thì $\sum b_{n}$ không hội tụ.
Câu 4: Chứng minh rằng nếu $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ hội tụ tuyệt đối thì $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ hội tụ.
Câu 5: Một hàm $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số $K > 0$, sao cho $|f(x) - f(y)| \leq K|x - y|$ với mọi $x, y \in D$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm số liên tục đều mà không Lipschitz.
Câu 6: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$3f(2x+1) = f(x) + 5x$$
với mọi $x$.
Câu 7: Cho $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0, 1]$ và khả vi hai lần trên $(0, 1)$ thỏa mãn$f(0) = f(1) = 0$ và $\min_{x \in [0,1]} f(x) = -1$. Chứng minh rằng:
$$\max_{x \in [0,1]} f'' (x) \geq 8.$$
Ma trận vuông cấp hai là ma trận có kích thước nhỏ nên dễ tính toán và phân tích. Rất nhiều kết quả của ma trận vuông cấp hai trở thành tiền đề để mở rộng ra cho các ma trận vuông có cấp tùy ý. Tuy nhiên có một điều thú vị là có những kết quả chỉ đúng cho các ma trận này mà không còn đúng cho các ma trận kích thước lớn hơn. Các bài toán về ma trận vuông cấp hai cũng được sử dụng khá nhiều trong các kỳ thi Olympic Toán học. Tài liệu này có mục tiêu tập hợp các bài thi như thế. Bên cạnh đó chúng tôi cũng đưa vào đây khá nhiều bài toán được sưu tầm từ các nguồn khác nhau. Để số lượng các bài toán trong tài liệu được phong phú hơn, chúng tôi cũng biên soạn thêm một số bài toán. Hy vọng đây là một tài liệu bổ ích đối với các sinh viên yêu thích môn Đại số tuyến tính.
Chia sẻ bởi thầy Nguyễn Huy Hoàng, Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê, Đại học Giao thông Vận tải.
100 bài tập về ma trận vuông cấp 2 cho Olympic Sinh viên. Tải về file PDF.
Chia sẻ bởi thầy Nguyễn Huy Hoàng, Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê, Đại học Giao thông Vận tải.
Đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015.
Đề thi môn Đại số
Bài 1:
Cho $A,B$ là hai ma trận vuông thực cấp $n \in \mathbb{N}^*$. Giả sử tồn tại $n+1$ số thực phân biệt $t_1,...,t_{n+1}$ sao cho $C_i=A+t_iB,\;i=1,...,n+1$ là lũy linh. Hãy chứng minh rằng $A,B$ là các ma trận lũy linh.
Bài 2:
Cho $a_0$ và $d$ là các số thực.Với $j=0,...,n$, đặt $a_j=a_0+jd$. Cho
$$A=\begin{pmatrix}a_0 &a_1 &a_2 &\cdots &a_n \\a_1 &a_0 &a_2 &\cdots & a_{n-1}\\ a_2 &a_1 &a_0 &\cdots &a_{n-2} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_n &a_{n-1} &a_{n-2} &\cdots &a_0 \end{pmatrix}.$$
Hãy tính định thức của $A$ theo $a_0,d,n$.
Bài 3:
Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $A^3=A+I_n$ với $I_n$ là ma trận đơn vị cấp $n$. Chứng minh rằng $\det A>0$.
Bài 4:
Tìm tất cả ma trận thực vuông $A$ cấp $2$ sao cho $A^2=I_2$ với $I_2$ là ma trận đơn vị cấp 2.
Bài 5:
Cho bất phương trình
$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}>2015.$$
Hãy tìm tổng độ dài các khoảng nghiệm trên trục số.
Bài 6:
Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n\in \mathbb{N}^*$ với các hệ số thực và chỉ có nghiệm thực. Chứng minh rằng
$$(n-1)\left(P^{'}(x) \right)^2 \ge nP(x)P^{''}(x).$$
Đề thi môn Giải tích
Bài 1:
Cho hai số thực dương $a$ và $a_1$. Định nghĩa dãy $(a_n)_{n \ge 1}$ bới
$$a_{n+1}=a_n(2-aa_n) ,\; \forall n \in \mathbb{N}^*.$$
Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của $(a_n)_{n}$.
Bài 2:
Cho $f:[0;1] \to \mathbb{R}$ là hàm thỏa mãn $f(0)<0,\; f(1)>0$ . Giả sử tồn tại hàm liên tục $g$ trên $[0;1]$ sao cho hàm $f+g$ giảm trên $[0;1]$. Chứng minh rằng phương trình $f(x)=0$ có nghiệm trong $(0;1)$.
Bài 3:
Tìm tất cả các hàm liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(xf(y))=yf(x), \;\; \forall x,y \in \mathbb{R}.$$
Bài 4:
Giả sử $f:[a;b] \to \mathbb{R}\;,\; b-a\ge 4$ là hảm khả vi trên $(a;b)$. Chứng minh tồn tại $x_0\in (a;b)$ sao cho
$$f^{'}(x_0)<1+f^2(x_0).$$
Bài 5:
Giả sử $f:[-1;1] \to \mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và biết rằng $f(-1)=f(0)=f^{'}(0)=0,f(1)=1$. Chứng minh rằng tồn tại $c \in (-1;1)$ sao cho $f^{'''}( c ) \ge 3. $
Bài 6:
Giả sử $R=\{ f\in C^2[0;1]:\; f(0)=f(1)=0, f^{'}(0)=a \}$.
Tìm $\min\limits_{f \in R} \int_0^1 \left( f^{''}(x) \right)^2 dx. $
Kỳ thi Olympic Toán dành cho sinh viên 2014 các trường đại học, cao đẳng và học viên trong cả nước đã diễn ra tại Trường đại học Phạm Văn Đồng, Quảng Ngãi trong khoảng thời gian một tuần, tự 07-13/4/2014. Quyển kỷ yếu này chủ yếu dành để tập hợp lại một số bài đề xuất của các trường tham dự kỳ thi với mong muốn cung cấp thêm một tài liệu tham khảo cho các sinh viên quan tâm. Do thời gian khá ngắn nên ngoài một số bài được biên tập tương đối kỹ càng, có một số bài chúng tôi giữ nguyên cách trình bày như đề xuất, công tác biên tập trong trường hợp đó là đánh máy lại, kiểm tra tính chính xác về nội dung và chính tả.
Quyển kỷ yếu chắc chắn còn rất nhiều lỗi trình bày, chúng tôi đề nghị người đọc luôn để ý điều này.
Tải về Kỷ yếu Olympic Toán Sinh viên năm 2014 (Tuyển tập Đề dự tuyển Olymoic Toán sinh viên năm 2014). Download file PDF.
VNMATH giới thiệu Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2015 (VMO 2015). Kì thi diễn ra trong hia ngày 8 và 9 tháng 1 năm 2015.
Ngày thi thứ nhất.
Câu 1. Cho $a$ là một số thục không âm và $(u_n)$ là dãy số xác định bởi $$u_1=3,\, u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\text{ với mọi } n\geq 1.$$
a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.
Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$
Câu 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.
Câu 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và có tâm là $I$.
a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Chứng ming rằng $\dfrac{DB}{BC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}.$
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\widehat{MTN}$ đi qua một điểm cố định.
Ngày thi thứ hai. Ngày 9/1/2015.
\vskip .5truecm \noindent{\bf Câu 5.} Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định bởi $$f_0(x)=2, f_1(x)=3x, f_{n}(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)\text{ với mọi }n\geq 2.$$
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x.$
\vskip .5truecm \noindent{\bf Câu 6.} Với $a, n$ nguyên dương, xét phương trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x, y,z$ là các số tự nhiên.\begin{itemize}
\item [a)] Tìm tất cả các giá trị $a$ để với mọi $n\geq 250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.
\item [b)] Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x, y,z)$.
\end{itemize}
\vskip .5truecm \noindent{\bf Câu 7.} Có $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam $(m, n\geq 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tại Liên hoan Song ca, mỗi buổi biểu diễn một chương trình văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan Song ca chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau có thể có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.\begin{itemize}
\item [a)] Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh $X$ nếu như hủy tất cả các bài song ca mà $X$ tham gia thì có ít nhất một học sinh không hát được bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào $X$ thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
\item [b)] Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.
\end{itemize}
Câu 1. Cho $a$ là một số thục không âm và $(u_n)$ là dãy số xác định bởi $$u_1=3,\, u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\text{ với mọi } n\geq 1.$$
a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.
Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$
Câu 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.
Câu 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và có tâm là $I$.
a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Chứng ming rằng $\dfrac{DB}{BC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}.$
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\widehat{MTN}$ đi qua một điểm cố định.
Ngày thi thứ hai. Ngày 9/1/2015.
\vskip .5truecm \noindent{\bf Câu 5.} Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định bởi $$f_0(x)=2, f_1(x)=3x, f_{n}(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)\text{ với mọi }n\geq 2.$$
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x.$
\vskip .5truecm \noindent{\bf Câu 6.} Với $a, n$ nguyên dương, xét phương trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x, y,z$ là các số tự nhiên.\begin{itemize}
\item [a)] Tìm tất cả các giá trị $a$ để với mọi $n\geq 250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.
\item [b)] Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x, y,z)$.
\end{itemize}
\vskip .5truecm \noindent{\bf Câu 7.} Có $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam $(m, n\geq 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tại Liên hoan Song ca, mỗi buổi biểu diễn một chương trình văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan Song ca chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau có thể có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.\begin{itemize}
\item [a)] Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh $X$ nếu như hủy tất cả các bài song ca mà $X$ tham gia thì có ít nhất một học sinh không hát được bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào $X$ thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
\item [b)] Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.
\end{itemize}
Đã đăng: Đề thi học sinh giỏi các tỉnh năm học 2014 - 2015. Phần 1 | Phần 2
1. Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của trường THPT chuyên KHTN năm học 2014 - 2015
Ngày 1
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} (4x-y^2)(x^2+2)=12x+1\\ (4y-z^2)(y^2+2)=12y+1\\ (4z-x^2)(z^2+2)=12z+1 \end{matrix}\right.$$
Bài 2. Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn :
$$2^x+11=19^y$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $BC$ không chứa A lấy hai điểm $M,N$ sao cho $MN//BC$ ( Tia $AM$ nằm giữa tia $AB$ và tia $AN$ ). Trên tia $BM,CN$ lấy điểm $P,Q$ sao cho $BP=BN=CM=CQ$. Đường thẳng $AM,AN$ cắt đường thẳng $PQ$ lần lượt tại $S,T$. $BT,CS$ lần lượt cắt cạnh $CQ,BP$ tại $L,K$. Chứng minh rằng $AK=AL$
Bài 4. Cho tập hợp $A=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \end{Bmatrix}$ Tìm số k lớn nhất sao cho có thể chọn được k tập con thỏa mãn hợp của 4 tập con bất kì không vượt quá 8 phần tử.
Ngày 2
Bài 1. Cho $a\in \begin{bmatrix} 0,1 \end{bmatrix}$ và dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ thỏa mãn $x_{1}=\frac{a+1}{4}$ và $x_{n+1}=x_{n}^{2}+\frac{a}{4}$.
1. Chứng minh dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ hội tụ.
2. Chứng minh rằng $x_{n}-b<\frac{1}{n}$ với $lim(x_{n})=b$
Bài 2. Tìm hàm $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn :
$$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$. Trung tuyến $AM$. Qua M kẻ đường thằng vuông góc với $BI,CI$ cắt $AB,AC$ tại $F,E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\bigtriangleup MEF$ cắt cạnh $BC$ tại điểm D khác M. Lấy $S$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng qua $S$ song song với $OI$ tại $T$. Gọi $K,L$ lần lượt là đối xứng của $T$ qua $E,F$. Chứng minh rằng $CK,BL,ST$ đồng quy tại một điểm trên $(O)$
Bài 4. Cho tập hợp $S=\begin{Bmatrix} 1,2,3,.......,2014 \end{Bmatrix}$. Hỏi có bao nhiêu hàm $f:S\rightarrow S$ thỏa mãn $f(n)\leqslant n \vee n\in S$
Đề thi chọn đội tuyển Quốc Gia Tp. HCM 2014 - 2015
Ngày 2
Bài 1. Tìm đa thức $P(x)$ khác đa thức không sao cho $[P(x)]^n=P(x^n)$ với $\forall x\in\mathbb R$ và $n\ge 1$.
Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau trong đó các chữ số $1,2,3,4,5$ được sắp xếp theo thứ tự đó từ trái qua phải nhưng các số $1,2,3,4,5,6$ thì không.
Bài 3. Cho số nguyên tố $p$. Gọi $a_p$ là hệ số của $n^p$ trong $\sum_{k=0}^pC_p^k (n+2014)^{n+p}$. Chứng minh rằng $a_p\equiv 2014^p+2015^p (mod p^2)$.
Bài 4. Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$, đường cao $AL, BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn $(O)$ đi qua $A,E$ tiếp xúc $BC$ tại $M$. Gọi $K$ là giao điểm của $ME$ với đường tròn $(AED)$ và $M$ là giao điểm của $KD$ với $BC$. Chứng minh $MH, KL, AN$ đồng quy.
Bài 5. Cho $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$ với $2\le n\le 2014$ và $a_i\le 2014$ sao cho nếu tồn tại $(a_i+a_j)\le 2014$ thì $(a_i+a_j)\in A$. Chứng minh rằng $\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{2}\ge \dfrac{2015}{2}$.
Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015
Ngày 1.
Câu 1. Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$
Tính giới hạn : $$\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$$
Câu 2. Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn
$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right ),\forall x$$
Câu 3. Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.
Câu 4. Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$.
Ngày 2
Câu 5. Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :
$$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$$
Câu 6. Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$
Câu 7. Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2 màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.
Tìm giá trị lớn nhất của $T$.
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Tuyên Quang 2014 - 2015
Đề thi học sinh giỏi tỉnh An Giang 2014 - 2015
Đề thi chọn đội tuyển Quốc Gia tỉnh Thanh Hóa 2014 - 2015
Đề thi chọn đội tuyển Quốc Gia tỉnh Hải Phòng 2014 - 2015
1. Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của trường THPT chuyên KHTN năm học 2014 - 2015
Ngày 1
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} (4x-y^2)(x^2+2)=12x+1\\ (4y-z^2)(y^2+2)=12y+1\\ (4z-x^2)(z^2+2)=12z+1 \end{matrix}\right.$$
Bài 2. Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn :
$$2^x+11=19^y$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $BC$ không chứa A lấy hai điểm $M,N$ sao cho $MN//BC$ ( Tia $AM$ nằm giữa tia $AB$ và tia $AN$ ). Trên tia $BM,CN$ lấy điểm $P,Q$ sao cho $BP=BN=CM=CQ$. Đường thẳng $AM,AN$ cắt đường thẳng $PQ$ lần lượt tại $S,T$. $BT,CS$ lần lượt cắt cạnh $CQ,BP$ tại $L,K$. Chứng minh rằng $AK=AL$
Bài 4. Cho tập hợp $A=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \end{Bmatrix}$ Tìm số k lớn nhất sao cho có thể chọn được k tập con thỏa mãn hợp của 4 tập con bất kì không vượt quá 8 phần tử.
Ngày 2
Bài 1. Cho $a\in \begin{bmatrix} 0,1 \end{bmatrix}$ và dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ thỏa mãn $x_{1}=\frac{a+1}{4}$ và $x_{n+1}=x_{n}^{2}+\frac{a}{4}$.
1. Chứng minh dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ hội tụ.
2. Chứng minh rằng $x_{n}-b<\frac{1}{n}$ với $lim(x_{n})=b$
Bài 2. Tìm hàm $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn :
$$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$. Trung tuyến $AM$. Qua M kẻ đường thằng vuông góc với $BI,CI$ cắt $AB,AC$ tại $F,E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\bigtriangleup MEF$ cắt cạnh $BC$ tại điểm D khác M. Lấy $S$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng qua $S$ song song với $OI$ tại $T$. Gọi $K,L$ lần lượt là đối xứng của $T$ qua $E,F$. Chứng minh rằng $CK,BL,ST$ đồng quy tại một điểm trên $(O)$
Bài 4. Cho tập hợp $S=\begin{Bmatrix} 1,2,3,.......,2014 \end{Bmatrix}$. Hỏi có bao nhiêu hàm $f:S\rightarrow S$ thỏa mãn $f(n)\leqslant n \vee n\in S$
Đề thi chọn đội tuyển Quốc Gia Tp. HCM 2014 - 2015
Bài 1. Tìm đa thức $P(x)$ khác đa thức không sao cho $[P(x)]^n=P(x^n)$ với $\forall x\in\mathbb R$ và $n\ge 1$.
Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau trong đó các chữ số $1,2,3,4,5$ được sắp xếp theo thứ tự đó từ trái qua phải nhưng các số $1,2,3,4,5,6$ thì không.
Bài 3. Cho số nguyên tố $p$. Gọi $a_p$ là hệ số của $n^p$ trong $\sum_{k=0}^pC_p^k (n+2014)^{n+p}$. Chứng minh rằng $a_p\equiv 2014^p+2015^p (mod p^2)$.
Bài 4. Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$, đường cao $AL, BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn $(O)$ đi qua $A,E$ tiếp xúc $BC$ tại $M$. Gọi $K$ là giao điểm của $ME$ với đường tròn $(AED)$ và $M$ là giao điểm của $KD$ với $BC$. Chứng minh $MH, KL, AN$ đồng quy.
Bài 5. Cho $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$ với $2\le n\le 2014$ và $a_i\le 2014$ sao cho nếu tồn tại $(a_i+a_j)\le 2014$ thì $(a_i+a_j)\in A$. Chứng minh rằng $\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{2}\ge \dfrac{2015}{2}$.
Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015
Câu 1. Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{matrix}(x+y)^3-27x=5(\sqrt[3]{32x-15}-3-y)\\ 2x^3=y(y^2+x^2)\end{matrix}\right.$$
Câu 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=u_n^{2015}+3u_n^{2014}+u_n \end{matrix}\right.$ với mọi $n=1,2,3,...$
$\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=u_n^{2015}+3u_n^{2014}+u_n \end{matrix}\right.$ với mọi $n=1,2,3,...$
Tính
$$\lim \frac{u_1^{2014}}{u_2+3}+\frac{u_2^{2014}}{u_3+3}+\frac{u_3^{2014}}{u_4+3}...+\frac{u_n^{2014}}{u_{n+1}+3}$$
$$\lim \frac{u_1^{2014}}{u_2+3}+\frac{u_2^{2014}}{u_3+3}+\frac{u_3^{2014}}{u_4+3}...+\frac{u_n^{2014}}{u_{n+1}+3}$$
Câu 3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng : $$a^3+b^3+c^3+2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \geq 3(ab+bc+ca)$$
Câu 4. Cho đường tròn $(C_1)$ tâm $I$ . Lấy điểm $O$ trên $(C_1)$ , dưng đường tròn $(C_2)$ tâm $O$ cắt $(C_1)$ tại $C$ và $D.$ Tiếp tuyến với $(C_2)$ tại $C$ cắt $(C_1)$ tại $A$ và tiếp tuyến với $(C_1)$ tại $C$ cắt $(C_2)$ tại $B.$ Đường thẳng $AB$ cắt $(C_1)$ tại $F(F\neq A) $ và cắt $(C_2)$ tại $E(E \neq B).$ Đường thẳng $CE$ cắt $(C_1)$ tại $G(G \neq C),$ đường thẳng $CF$ cắt đường thẳng $GD$ tại $H.$
1) Chứng minh $CG$ song song với $FD.$
2) Chứng minh tam giác $EGD$ cân.
3) Chứng minh $CH$ là đường trung trực của $FD.$
Câu 5. Từ các chữ số $1,3,5,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $3,$ mỗi số gồm $2014$ chữ số.
Đề thi chọn đội tuyển HSG dự thi QG tỉnh Phú Thọ năm học 2014-2015Ngày 1.
Câu 1. Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$
Tính giới hạn : $$\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$$
Câu 2. Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn
$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right ),\forall x$$
Câu 3. Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.
Câu 4. Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$.
Ngày 2
Câu 5. Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :
$$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$$
Câu 6. Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$
Câu 7. Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2 màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.
Tìm giá trị lớn nhất của $T$.
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Tuyên Quang 2014 - 2015
Đề thi chọn đội tuyển Quốc Gia tỉnh Hải Phòng 2014 - 2015
Tiếp theo Phần 1: Đề thi học sinh giỏi thi quốc gia năm 2014 _ 2015 các tỉnh
Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2014-2015
Ngày 1:
Câu 1: Cho dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ thỏa mãn với $x_1=1$ và $x_{n+1}=5\left ( \sqrt{x_n+11}-\sqrt{x_n+4} \right )$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn ấy.
Câu 2: Xét $M$ là tập tất cả các đa thức $p(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_{1}x+a_0$ trong đó $n$ là số nguyên dương và $a_k$ là số thực thuộc đoạn $\left [ 100;101 \right ]$ với mọi $k=0,1,...,2n$
Ngày 2:
Câu 5: Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt, cố định không thuộc đường tròn. Đường thẳng $\Delta$ thay đổi qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$. Gọi $P,Q$ là các giao điểm thứ hai của $BM,BN$ với $(O)$. Các đường thẳng $PQ$ và $AB$ cắt nhau ở $C$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCP$ chạy trên một đường thẳng cố định.
Câu 6: Cho dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}$ xác định bởi $x_0=0,x_1=3$ và $x_{n+1}=\frac{7x_n+3\sqrt{4+5x_n^2}}{2}$ với mọi số nguyên không âm $n$.
Câu 8: Có một người sử dụng bản đồ trên điện thoại di động để đi từ một điểm $A$ đến một điểm $B$ . Anh ta đã đi đến được điểm $B$ sau một số lần cứ đi một đoạn thẳng lại phải chỉnh lại hướng bằng cách quay một góc nhọn theo chiều kim đồng hồ. Biết rằng tổng các góc phải điều chình này bằng $\alpha < 180^{\circ}$. Chứng minh rằng độ dài đoạn đường anh ta đi không vượt quá $\frac{AB}{cos\frac{\alpha }{2}}$.
Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm học 2014-2015
Câu 1 : Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$
Tính giới hạn : $$\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$$
Câu 2: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn
$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right ),\forall x$$
Câu 3 : Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.
Câu 4: Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$
Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :
$$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}.$$
Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$.
Câu 7: Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2 màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.
Tìm giá trị lớn nhất của $T$
Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐH Vinh năm học 2014-2015
Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi thành phố Cần Thơ năm học 2014-2015
Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên năm học 2014-2015
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Cao Bằng 2014
Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2014-2015
Ngày 1:
Câu 1: Cho dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ thỏa mãn với $x_1=1$ và $x_{n+1}=5\left ( \sqrt{x_n+11}-\sqrt{x_n+4} \right )$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn ấy.
Câu 2: Xét $M$ là tập tất cả các đa thức $p(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_{1}x+a_0$ trong đó $n$ là số nguyên dương và $a_k$ là số thực thuộc đoạn $\left [ 100;101 \right ]$ với mọi $k=0,1,...,2n$
- Chứng minh rằng tồn tại đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng 200 và có nghiệm thực.
- Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn tính chất : tồn tại một đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng $2n$ và có nghiệm thực.
- Bốn điểm $M,I_1,I_2,D$ cùng nằm trên một đường tròn.
- $S$ luôn chạy trên một đường tròn cố định.
Ngày 2:
Câu 5: Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt, cố định không thuộc đường tròn. Đường thẳng $\Delta$ thay đổi qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$. Gọi $P,Q$ là các giao điểm thứ hai của $BM,BN$ với $(O)$. Các đường thẳng $PQ$ và $AB$ cắt nhau ở $C$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCP$ chạy trên một đường thẳng cố định.
Câu 6: Cho dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}$ xác định bởi $x_0=0,x_1=3$ và $x_{n+1}=\frac{7x_n+3\sqrt{4+5x_n^2}}{2}$ với mọi số nguyên không âm $n$.
- Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}$ là số tự nhiên và $x_{2014}$ chia hết cho $x_{19}$.
- Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $a$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, trong biển diễn nhị phân của số $x_{an}$ có ít nhất $46^{2014}$ chữ số 1.
Câu 8: Có một người sử dụng bản đồ trên điện thoại di động để đi từ một điểm $A$ đến một điểm $B$ . Anh ta đã đi đến được điểm $B$ sau một số lần cứ đi một đoạn thẳng lại phải chỉnh lại hướng bằng cách quay một góc nhọn theo chiều kim đồng hồ. Biết rằng tổng các góc phải điều chình này bằng $\alpha < 180^{\circ}$. Chứng minh rằng độ dài đoạn đường anh ta đi không vượt quá $\frac{AB}{cos\frac{\alpha }{2}}$.
Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm học 2014-2015
Câu 1 : Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$
Tính giới hạn : $$\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$$
Câu 2: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn
$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right ),\forall x$$
Câu 3 : Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.
Câu 4: Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$
Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :
$$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}.$$
Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$.
Câu 7: Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2 màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.
Tìm giá trị lớn nhất của $T$
Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐH Vinh năm học 2014-2015
Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi thành phố Cần Thơ năm học 2014-2015
Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi tỉnh Gia Lai năm học 2014-2015
Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên năm học 2014-2015
1. Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia Tp. Đà Nẵng năm học 2014 - 2015
VÒNG 1 (11/9/2014)
Bài 1 (5đ)
Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$ biết $x_1=\dfrac{2013}{2014}$ và :
$$x_{n+1}=\dfrac{1}{4+2011x_n}$$
Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó
Bài 2 (5đ)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ sao cho $f(0)\neq 0$,$f(1)=6$ và
$$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) \forall x,y\in \mathbb{Z}$$
Bài 3 (5đ)
Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tâm O của $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$. Gọi A là điểm trên $(C_1)$ và B là điểm nằm trên $(C_2)$ sao cho đường thẳng AC tiếp xúc với $(C_2)$ tại C và đường thẳng BC tiếp xúc với $(C_1)$ tại C. Đường thẳng AB cắt lại $(C_2)$ tại E và cắt $(C_1)$ tại F. Gọi G là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE và $(C_1)$. Hai đường thẳng CF và GD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng giao điểm của GO và EH là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Bài 4 (5đ)
Tại một hội nghị quốc tế, các thành viên tham dự đều biết ít nhất một trong ba thứ tiếng: Anh, Pháp, Đức. Biết rằng số thành viên biết Tiếng Anh, số thành viên biết Tiếng Pháp và số thành viên biết Tiếng Đức cùng bằng 50. Chứng minh rằng có thể chia tất cả các thành viên tham dự hội nghị thành 5 nhóm sao cho trong mỗi nhóm có đúng 10 thành viên biết tiếng Anh, đúng 10 thành viên biết tiếng Pháp và đúng 10 thành viên biết tiếng Đức.
VÒNG 2 (12/9/2014)
Bài 5 (7đ)
Cho tam giác ABC nhọn không cân có O là tâm ngoại tiếp. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho AP vuông góc với BC. Đường trung trực của đoạn AP cắt AC tại M. Đường trung trực của đoạn thẳng MC cắt BC tại N, các đường thẳng AO và MN cắt nhau tại K. Gọi D là điểm đối xứng của O qua BC
a) Chứng minh rằng đường thẳng AD đi qua trung điểm Q của đoạn thẳng PK.
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên CA và AB. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua Q.
c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường trung trực của đoạn thẳng EF cắt đường thẳng AI tại T. Chứng minh KT vuông góc BC
Bài 6 (7đ)
Với mỗi số nguyên dương n, gọi $f(n)$ là số cách thay các dấu $"\pm "$ trong biểu thức $\pm 1\pm 2\pm 3...\pm n$ bởi các dấu $"+"$ hoặc $"-"$ sao cho tổng đại số nhận được bằng 0. Chứng minh rằng:
a) $f(n)=0$ khi $n\equiv 1 (\mathrm{mod} 4)$ hoặc $n\equiv 2 (\mathrm{mod} 4)$
b)$2^{\frac{n}{2}-1}\leq f(n)<2^n-2^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}$ khi $n\equiv 0 (\mathrm{mod} 4)$ hoặc $n\equiv 3 (\mathrm{mod} 4)$
Bài 7 (6đ)
Các ô vuông của một bảng vuông kích thước $10x10$ được tô bởi các màu trắng hoặc đen sao cho trên mỗi hàng cũng như trên mỗi cột đều có đúng 3 ô được tô màu. Chứng minh rằng trong mọi cách tô như vậy ta luôn có thể tìm ra 10 ô được tô màu đen sao cho không có hai ô nào nằm trên cùng một hàng hay trên cùng một hàng cột.
2. Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia tỉnh Quảng Trị năm học 2014 - 2015
VÒNG 1
Câu 1: (4 điểm) Chứng minh rằng từ 3 số nguyên lẻ đôi một phân biết, ta luôn có thể chọn ra hai số, gọi là $a$ và $b$, sao cho $a^3b-ab^3$ chia hết cho $40$.
Câu 2: (4 điểm) Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác. Xét các số thực $x,y,z$ thỏa mãn
$$\left\{\begin{matrix}cy+bz=a\\az+cx=b \\bx+ay=c \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng $$x+y+z\le \frac{3}{2}$$
Câu 3 (4 điểm) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và đường thẳng $l$ không cắt $(O)$ ($AB$ vuông góc với $l$ và $B$ gần với $l$ hơn so với $A$). Trên $(O)$ lấy điểm $C$ khác với $A$ và $B$, gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $AC$ và $l$. Vẽ tiếp tuyến $DE$ của $(O)$ (E là tiếp điểm và nằm cùng phía với $B$ đối với đường thẳng $AC$), đường thẳng $BE$ cắt $l$ tại $F$, đường thẳng $AF$ cắt $(O)$ tại $G\neq A$. Chứng minh $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFG$.
Câu 4: (4 điểm ) Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$
Câu 5 (4 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có $10$ chữ số từ tập $\{0,1,...,6\}$ sao cho chữ số đầu tiên bên trái bằng $1$ và hai chữ số kề nhau bất kì hơn kém nhau 1 đơn vị?
VÒNG 2
Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}=2\sqrt{5}\\(x+y)(\dfrac{1}{xy}+1)= 3\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$
Câu 2: (4 điểm) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=\frac{1}{2},$ và $$a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n^2}{n(a_n+1)},\; \forall n\ge 1.$$
Chứng minh dãy số $(a_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
Câu 3: (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau
$$3(x^2-x+1)(y^2-y+1)\ge 2(x^2y^2-xy+1)\; \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Dấu "=" xảy ra khi nào?
Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $H$ là trực tâm tam giác, $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC$. Đường tròn $(M,MH)$ cắt cạnh $AB$ tại $M_1,M_2$, đường tròn $(N,NH)$ cắt cạnh $AC$ tại $N_1,N_2$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BN_1N_2,CM_1M_2$ cắt nhau tại $P,Q$. Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này đi qua trung điểm $BC$.
Câu 5 (4 điểm) Ban đầu trên bảng điện tử hiển thị hai số phân biệt $a$ và $b$. Sau mỗi giây, bảng sẽ tự động hiển thị thêm các số $n$ nếu nó chưa có trên bảng và $n$ là tổng của hai số nào đó đã có trên bản. Hãy xác định xem $2014$ có được hiển thị trên bảng hay không, nếu có thì sau thời gian ít nhất bao lâu (kể từ thời điểm ban đầu), trong các trường hợp sau
a) $a=3,b=12.$
b) $a=1,b=2.$
3. Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Hà Tĩnh năm học 2014 - 2015
VÒNG 1
Câu 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 3x^3+2x^2=y\\ 3y^3+2y^2=z\\ 3z^3+2z^2=x \end{matrix}\right.$
Câu 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi:
$x_1=\frac{1}{2}; x_{n+1}=\dfrac{2014+x_n}{2016-x_n}$ với mọi $n=1,2,...$.
a. Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
b. Với mỗi số tự nhiên $n \ge 1,$ đặt $y_n=\dfrac{1}{2013n+2015} \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{x_k-2014}.$ Tính $\lim\limits_{n\to\infty} y_n$.
Câu 3: Cho 2 đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $M$. Tiếp tuyến chung ngoài $AB$, ($A$ thuộc $(C_1)$, $B$ thuộc $(C_2)$). Trên tia $Mx$ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ( $Mx$ không cắt $AB$) lấy điểm $C$ khác $M$. Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm thứ 2 của $CA$ với $(C_1)$, $CB$ với $(C_2)$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(C_1)$ tại $E$, tiếp tuyến của $(C_2)$ tại $F$ và $Mx$ đồng quy.
Câu 4: Cho số nguyên dương $n\ge 2.$ Chứng minh rằng $m=2n^2-1$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương $a_1, a_2,...,a_n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i) $a_1 < a_2 < \ldots < a_n=m$; ii) Tất cả $n-1$ số $\dfrac{a_1^2+a_2^2}{2}, \dfrac{a_2^2+a_3^2}{2},\ldots,\dfrac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ đều là các số chính phương. VÒNG 2
Câu 1: Cho phương trình $x^3+2x^2+3x+4=0$ và $x^3-8x^2+23x-26=0$. Chứng minh mỗi phương trình trên đều có đúng một nghiệm. Tìm tổng hai nghiệm đó.
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm học 2014 - 2015
Ngày 1
Câu 1: Giải phương trình sau trên tập số thực:
$$x+2\sqrt{5-x}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{10+3x-x^2}-2.$$
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol $y=\frac{1}{2}x^2$ lấy dãy các điểm $(A_n)$ và $(B_n)$ sao cho điểm $A_1$ có hoành độ dương và với mọi số nguyên dương n, đường thẳng $A_nB_n$ có hệ số góc bằng $-\frac{1}{4}$ và đường thẳng $B_nA_{n+1}$ có hệ số góc bằng $\frac{1}{5}$. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu $a_b$ và $b_n$ tương ứng là hoành độ của $A_n$ và $B_n$. Chứng minh rằng các dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.
Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$; $AB=2a, AD=2BC$. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh $SC=a\sqrt{5}$, với $H$ la trung điểm cạnh AB. Tính $d(D,(SCH))$.
Câu 4: Giải phương trình:
$$\sin^4x+\cos^4x+\frac{2}{\sin^4x}+\frac{2}{\cos^4x}=16+\frac{\sin2x}{2}$$
Ngày 2:
Câu 5: Cho $a,b$ và $c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
$$P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}.$$
Câu 6: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có góc $A$ < góc $B$, $O$ và $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC và đặt $a=BC,b=AC,c=AB$.
Chứng minh rằng nếu tam giác $BIO$ vuông thì $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$.
Câu 7: Cho $2014$ sô thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ thỏa $\left | \sum_{i=1}^{2014}x_i \right |>1$ và $\left | x_i \right | \le 1$ $(i=1,2,...,2014)$.
Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho $\left | \sum_{i=1}^{k}x_i -\sum_{i=k+1}^{2014}x_i\right |\le 1$.
Đang cập nhật...
VÒNG 1 (11/9/2014)
Bài 1 (5đ)
Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$ biết $x_1=\dfrac{2013}{2014}$ và :
$$x_{n+1}=\dfrac{1}{4+2011x_n}$$
Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó
Bài 2 (5đ)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ sao cho $f(0)\neq 0$,$f(1)=6$ và
$$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) \forall x,y\in \mathbb{Z}$$
Bài 3 (5đ)
Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tâm O của $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$. Gọi A là điểm trên $(C_1)$ và B là điểm nằm trên $(C_2)$ sao cho đường thẳng AC tiếp xúc với $(C_2)$ tại C và đường thẳng BC tiếp xúc với $(C_1)$ tại C. Đường thẳng AB cắt lại $(C_2)$ tại E và cắt $(C_1)$ tại F. Gọi G là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE và $(C_1)$. Hai đường thẳng CF và GD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng giao điểm của GO và EH là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Bài 4 (5đ)
Tại một hội nghị quốc tế, các thành viên tham dự đều biết ít nhất một trong ba thứ tiếng: Anh, Pháp, Đức. Biết rằng số thành viên biết Tiếng Anh, số thành viên biết Tiếng Pháp và số thành viên biết Tiếng Đức cùng bằng 50. Chứng minh rằng có thể chia tất cả các thành viên tham dự hội nghị thành 5 nhóm sao cho trong mỗi nhóm có đúng 10 thành viên biết tiếng Anh, đúng 10 thành viên biết tiếng Pháp và đúng 10 thành viên biết tiếng Đức.
VÒNG 2 (12/9/2014)
Bài 5 (7đ)
Cho tam giác ABC nhọn không cân có O là tâm ngoại tiếp. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho AP vuông góc với BC. Đường trung trực của đoạn AP cắt AC tại M. Đường trung trực của đoạn thẳng MC cắt BC tại N, các đường thẳng AO và MN cắt nhau tại K. Gọi D là điểm đối xứng của O qua BC
a) Chứng minh rằng đường thẳng AD đi qua trung điểm Q của đoạn thẳng PK.
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên CA và AB. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua Q.
c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường trung trực của đoạn thẳng EF cắt đường thẳng AI tại T. Chứng minh KT vuông góc BC
Bài 6 (7đ)
Với mỗi số nguyên dương n, gọi $f(n)$ là số cách thay các dấu $"\pm "$ trong biểu thức $\pm 1\pm 2\pm 3...\pm n$ bởi các dấu $"+"$ hoặc $"-"$ sao cho tổng đại số nhận được bằng 0. Chứng minh rằng:
a) $f(n)=0$ khi $n\equiv 1 (\mathrm{mod} 4)$ hoặc $n\equiv 2 (\mathrm{mod} 4)$
b)$2^{\frac{n}{2}-1}\leq f(n)<2^n-2^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}$ khi $n\equiv 0 (\mathrm{mod} 4)$ hoặc $n\equiv 3 (\mathrm{mod} 4)$
Bài 7 (6đ)
Các ô vuông của một bảng vuông kích thước $10x10$ được tô bởi các màu trắng hoặc đen sao cho trên mỗi hàng cũng như trên mỗi cột đều có đúng 3 ô được tô màu. Chứng minh rằng trong mọi cách tô như vậy ta luôn có thể tìm ra 10 ô được tô màu đen sao cho không có hai ô nào nằm trên cùng một hàng hay trên cùng một hàng cột.
2. Đề thi chọn Đội tuyển thi Học sinh giỏi quốc gia tỉnh Quảng Trị năm học 2014 - 2015
VÒNG 1
Câu 1: (4 điểm) Chứng minh rằng từ 3 số nguyên lẻ đôi một phân biết, ta luôn có thể chọn ra hai số, gọi là $a$ và $b$, sao cho $a^3b-ab^3$ chia hết cho $40$.
Câu 2: (4 điểm) Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác. Xét các số thực $x,y,z$ thỏa mãn
$$\left\{\begin{matrix}cy+bz=a\\az+cx=b \\bx+ay=c \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng $$x+y+z\le \frac{3}{2}$$
Câu 3 (4 điểm) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và đường thẳng $l$ không cắt $(O)$ ($AB$ vuông góc với $l$ và $B$ gần với $l$ hơn so với $A$). Trên $(O)$ lấy điểm $C$ khác với $A$ và $B$, gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $AC$ và $l$. Vẽ tiếp tuyến $DE$ của $(O)$ (E là tiếp điểm và nằm cùng phía với $B$ đối với đường thẳng $AC$), đường thẳng $BE$ cắt $l$ tại $F$, đường thẳng $AF$ cắt $(O)$ tại $G\neq A$. Chứng minh $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFG$.
Câu 4: (4 điểm ) Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\forall x,y\in (0;+\infty).$$
Câu 5 (4 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có $10$ chữ số từ tập $\{0,1,...,6\}$ sao cho chữ số đầu tiên bên trái bằng $1$ và hai chữ số kề nhau bất kì hơn kém nhau 1 đơn vị?
VÒNG 2
Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}=2\sqrt{5}\\(x+y)(\dfrac{1}{xy}+1)= 3\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$
Câu 2: (4 điểm) Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=\frac{1}{2},$ và $$a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n^2}{n(a_n+1)},\; \forall n\ge 1.$$
Chứng minh dãy số $(a_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
Câu 3: (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau
$$3(x^2-x+1)(y^2-y+1)\ge 2(x^2y^2-xy+1)\; \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Dấu "=" xảy ra khi nào?
Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $H$ là trực tâm tam giác, $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC$. Đường tròn $(M,MH)$ cắt cạnh $AB$ tại $M_1,M_2$, đường tròn $(N,NH)$ cắt cạnh $AC$ tại $N_1,N_2$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BN_1N_2,CM_1M_2$ cắt nhau tại $P,Q$. Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này đi qua trung điểm $BC$.
Câu 5 (4 điểm) Ban đầu trên bảng điện tử hiển thị hai số phân biệt $a$ và $b$. Sau mỗi giây, bảng sẽ tự động hiển thị thêm các số $n$ nếu nó chưa có trên bảng và $n$ là tổng của hai số nào đó đã có trên bản. Hãy xác định xem $2014$ có được hiển thị trên bảng hay không, nếu có thì sau thời gian ít nhất bao lâu (kể từ thời điểm ban đầu), trong các trường hợp sau
a) $a=3,b=12.$
b) $a=1,b=2.$
3. Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Hà Tĩnh năm học 2014 - 2015
VÒNG 1
Câu 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 3x^3+2x^2=y\\ 3y^3+2y^2=z\\ 3z^3+2z^2=x \end{matrix}\right.$
Câu 2: Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi:
$x_1=\frac{1}{2}; x_{n+1}=\dfrac{2014+x_n}{2016-x_n}$ với mọi $n=1,2,...$.
a. Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
b. Với mỗi số tự nhiên $n \ge 1,$ đặt $y_n=\dfrac{1}{2013n+2015} \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{x_k-2014}.$ Tính $\lim\limits_{n\to\infty} y_n$.
Câu 3: Cho 2 đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $M$. Tiếp tuyến chung ngoài $AB$, ($A$ thuộc $(C_1)$, $B$ thuộc $(C_2)$). Trên tia $Mx$ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ( $Mx$ không cắt $AB$) lấy điểm $C$ khác $M$. Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm thứ 2 của $CA$ với $(C_1)$, $CB$ với $(C_2)$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(C_1)$ tại $E$, tiếp tuyến của $(C_2)$ tại $F$ và $Mx$ đồng quy.
Câu 4: Cho số nguyên dương $n\ge 2.$ Chứng minh rằng $m=2n^2-1$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương $a_1, a_2,...,a_n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i) $a_1 < a_2 < \ldots < a_n=m$; ii) Tất cả $n-1$ số $\dfrac{a_1^2+a_2^2}{2}, \dfrac{a_2^2+a_3^2}{2},\ldots,\dfrac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ đều là các số chính phương. VÒNG 2
Câu 1: Cho phương trình $x^3+2x^2+3x+4=0$ và $x^3-8x^2+23x-26=0$. Chứng minh mỗi phương trình trên đều có đúng một nghiệm. Tìm tổng hai nghiệm đó.
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm học 2014 - 2015
Ngày 1 (03/10/2014) :
Câu 1 :
1) Giải hệ phương trình trên tập số thực :
$$\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\\ 2014^{x+y-1}-3x+y+1=\sqrt{4x^2-3x-y+2} \end{matrix}\right.$$
2) Tìm tất cả các hàm số $f \, : \, \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :
$$f(x^2+f(y))=y+((f(x))^2\,\,\,\forall x,y\in \mathbb{R}$$
Câu 2 : Cho dãy số $(x_n)$ được xác định như sau :
$x_1=1,x_2=2013,x_{n+2}=4026x_{n+1}-x_n\,\,\,\, , n=1,2,...$
Chứng minh rằng $\frac{x_{2014}+1}{2014}$ là số chính phương.
Câu 3 :
Cho tam giác $ABC$ ($AB<AC$), và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. Trên cạnh AC lấy D sao cho $\widehat{ABD}=\widehat{ACB}$, đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IDC$ tại $E$. Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BD$ tại $P$. Gọi $F$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$, $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$. Đường thẳng $JP$ cắt $CF$ tại $Q$.
Chứng minh rằng $QF=QJ$.
Câu 4 :
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $S_{n}=\{1;2;...;n\}$. Phần tử $j$ của $S_n$ được gọi là điểm bất động của song ánh $p \, : \, S_n\to S_n $ nếu $p(j)=j$. Gọi $f(n)$ là số song ánh từ $S_{n}$ đến $S_{n}$ mà không có điểm bất động nào, $g(n)$ là số song ánh từ $S_{n}$ đến $S_{n}$ mà có đúng 1 điểm bất động. Chứng minh rằng : $$|f(n)-g(n)|=1\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$
Ngày 2 (04/10/2014) :
Câu 5 :
1) Chứng minh rằng với mọi $a;b;c>0$ ta có $$\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(a+c)}{(a+c)^2+b^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}\leq \frac{6}{5}$$
2) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n\geq 3$, phương trình sau $$x^ne^{-x}=1\,\, , \,\,n\in\mathbb{N},n>2$$ Có 1 nghiệm duy nhất $x_{n}$ trên đoạn $[0;n]$. Tìm $\text{lim} \, x_n$.
Câu 6 :
Cho $p$ là 1 số nguyên tố lẻ, đặt $m=\frac{9^{p}-1}{8}$. Chứng minh rằng $m$ là 1 hợp số lẻ không chia hết cho 3 và $3^{m-1}\equiv 1\pmod{m}$
Câu 7 :
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$. Gọi $AD$ là đường cao đỉnh $A$. Gọi $(k_1)$ là đường tròn qua $B,D$ và tiếp xúc với $AB$ ở $B$,$(k_2)$ là đường tròn qua $C,D$ và tiếp xúc với $AC$ ở $C$. Giả sử $(k_1)$ cắt $(k_2)$ tại $M$. $MD$ giao $(O)$ tại $T$.$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
1) $ATCB$ là hình thang cân.
2) $G,M,D$ thẳng hàng.
Câu 8 :
Cho một khối lập phương $10×10× 10$ gồm $1000$ ô vuông đơn vị màu trắng. An và Bình chơi một trò chơi. Bình thì chọn một số dải $1× 1× 10$ sao cho với hai dải bất kì thì không có chung đỉnh hoặc cạnh và đổi tất cả các ô sang màu đen. An thì được chọn một ô bất kì và hỏi Bình là màu gì. Hỏi An phải chọn ít nhất bao nhiêu ô để với mọi câu trả lời của Bình luôn xác định được những ô nào màu đen.
4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Kiên Giang năm học 2014 - 2015Ngày 1
Câu 1: Giải phương trình sau trên tập số thực:
$$x+2\sqrt{5-x}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{10+3x-x^2}-2.$$
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol $y=\frac{1}{2}x^2$ lấy dãy các điểm $(A_n)$ và $(B_n)$ sao cho điểm $A_1$ có hoành độ dương và với mọi số nguyên dương n, đường thẳng $A_nB_n$ có hệ số góc bằng $-\frac{1}{4}$ và đường thẳng $B_nA_{n+1}$ có hệ số góc bằng $\frac{1}{5}$. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu $a_b$ và $b_n$ tương ứng là hoành độ của $A_n$ và $B_n$. Chứng minh rằng các dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.
Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$; $AB=2a, AD=2BC$. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh $SC=a\sqrt{5}$, với $H$ la trung điểm cạnh AB. Tính $d(D,(SCH))$.
Câu 4: Giải phương trình:
$$\sin^4x+\cos^4x+\frac{2}{\sin^4x}+\frac{2}{\cos^4x}=16+\frac{\sin2x}{2}$$
Ngày 2:
Câu 5: Cho $a,b$ và $c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
$$P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}.$$
Câu 6: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có góc $A$ < góc $B$, $O$ và $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC và đặt $a=BC,b=AC,c=AB$.
Chứng minh rằng nếu tam giác $BIO$ vuông thì $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$.
Câu 7: Cho $2014$ sô thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ thỏa $\left | \sum_{i=1}^{2014}x_i \right |>1$ và $\left | x_i \right | \le 1$ $(i=1,2,...,2014)$.
Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho $\left | \sum_{i=1}^{k}x_i -\sum_{i=k+1}^{2014}x_i\right |\le 1$.
Đang cập nhật...
Cũng giống như không ít các nhà toán học Việt Nam, tôi có may mắn được tham dự một số kỳ thi học sinh giỏi ở cấp phổ thông. Và cũng giống nhiều người khác, tôi cần không ít thời gian để vượt qua những ảo tưởng dễ chịu mà các kỳ thi này gây ra trong công việc toán học. Đạt một giải thưởng thi học sinh giỏi là điểm rơi phong độ và điểm dừng khoa học của không ít những cựu danh thủ toán học phổ thông, ngay cả với những người tiếp tục theo đuổi việc nghiên cứu. Nhưng điều thú vị của toán học là nghề nghiệp đó để ngỏ cho kẻ hành nghề một khả năng hoàn thiện hầu như vô tận. Từ khoảng gián cách về thời gian nhìn lại, tôi muốn bắt đầu câu chuyện của mình bằng một kỷ niệm trong những năm học trường phổ thông.
Hè năm 2003, đội tuyển toán quốc tế Việt Nam được tập huấn ở Viện Toán Hoc trước kỳ thi chính thức vào tháng 7. Việc cả đội đã luôn làm và tiếp tục được bồi dưỡng là giải toán, dành thật nhiều thời gian để suy ngẫm và học thêm những phương pháp giải toán mới. Đợt tập huấn mang lại nhiều hứng khởi vì không khí tập trung và sự tận tình của các thầy giáo giàu kinh nghiệm. Bên cạnh đó, chúng tôi được học với một nhóm các nhà toán học của Viện Toán Học. Viện Toán, như cách gọi quen thuộc, là một trung tâm toán học mà tôi luôn ngưỡng mộ từ thời học phổ thông.
Bài giảng của các nhà toán học của Viện Toán khác với những gì chúng tôi được học trước đó. Chúng tôi được giới thiệu về khái niệm nhóm, một khái niệm trừu tượng và có phần bí hiểm. Chúng tôi được giải thích về sắp xếp của các siêu phẳng. Viện Toán khuyến khích chúng tôi vào đọc sách trong thư viện, và đó là lần đầu tiên tôi được tiếp cận các tạp chí tiếng Anh. Ấn tượng mạnh nhất khi làm việc với các nhà toán học này có lẽ là sự hoang mang, và sự hoang mang này sẽ biến thành nỗi hoài nghi những năm đầu đại học của tôi. Tại sao chúng tôi lại phải biết những khái niệm rắc rối này? Có phải là bổ ích hơn nếu tập trung vào những bài toán sơ cấp khó, để tăng khả năng giải toán trong kỳ thi sắp tới?
Những băn khoăn và hoài nghi đó chưa bao giờ được thổ lộ trực tiếp với các thầy ở Viện. Tôi hiểu rằng nhiều người sẽ thấy những suy nghĩ đó rất ngây thơ. Quả thực, chúng không chỉ ngây thơ, mà còn góp phần làm nên một bức tường vô hình ngăn cách tôi khỏi các thầy. Sau này, khi không còn thuộc về thế giới của thi cử, khi được công việc nghiên cứu mở ra cho những chân trời mới, bức tường vô hình đó đã dần dần bị xóa bỏ. Dù còn ở rất xa với các thầy về những cống hiến cho khoa học, tôi hiểu ra được phần nào cố gắng của các thầy trong thời gian đó để mang lại cho chúng tôi một cơ hội tiếp cận toán học sớm hơn, trực tiếp hơn phần đông những bạn bè học sinh giỏi phổ thông khác. Sự ngây thơ của tôi lúc đó là khó tránh khỏi, vì tôi chưa có một ý niệm nào về việc nghiên cứu toán học, chưa nói đến một nhận thức rõ ràng về mối quan hệ giữa thi cử và nghiên cứu toán học.
Thi cử và nghiên cứu toán học ở Việt Nam, theo tôi, cần được tiếp cận với một quan điểm khác. Có lẽ ít ở đâu trên thế giới này, việc thi học sinh giỏi toán lại rầm rộ và gây lãng phí tài nguyên trí tuệ như ở Việt Nam. Học sinh giỏi toán phổ thông không được nhìn nhận như những nhà toán học tương lai, họ chỉ được coi như công cụ đóng góp thành tích thi học sinh giỏi của các tập thể, từ trường phổ thông nơi họ học, đến tỉnh thành họ cư trú, đến tập thể lớn nhất là quốc gia. Đấy không phải là cách nhìn của tất cả mọi người, nhưng số lượng đồ sộ của các kỳ thi học sinh giỏi dường như khẳng định rằng chúng ta cần những giải quốc gia và những huy chương quốc tế hơn là những nhà toán học. Toán Học và Tuổi Trẻ, từ vị thế một người bạn đường nghiêm cẩn cho những học sinh giỏi toán và đam mê toán, đã tự hạ cấp xuống một bậc trở thành một trung tâm luyện thi đáp ứng tận tình mọi nhu cầu vượt vũ môn về môn Toán. Các trang web, forum toán học trên mạng sôi động hơn cả về phần thảo luận toán thi olympic và tốn nhiều chữ nghĩa hơn cả cho các loại đề thi, từ khắp các vùng miền trên thế giới.
Không chỉ học sinh phổ thông, bản thân giới toán học nói chung cũng bận tâm đến việc thi cử hơn việc nghiên cứu. Quá bận bịu với công việc luyện thi học sinh giỏi, rất nhiều tiến sĩ toán học ở Việt Nam quên luôn nghiên cứu, là công việc quan trọng nhất của bất cứ nhà toán học nghiêm túc nào. Tương lai của gia đình nhà nghiên cứu là quan trọng, cố gắng để sinh tồn là một phần bất cứ ai cũng có nghĩa vụ phải hoàn thành, nhưng tương lai khoa học của bản thân mình là cái chúng ta chỉ nghĩ đến một cách chung chung. Chúng ta có trang web cá nhân để liệt kê những thành tích trong quá khứ, nhưng chúng ta không đề cập đến đề cương nghiên cứu trong tương lai của mình. Hình ảnh mà không ít nhà nghiên cứu toán học ở Việt Nam để lại trên báo chí, theo tôi, là hình ảnh một cậu học trò già. Khi đăng đàn họ thường kể lể về thành tích học tập, các giải thưởng đạt được hồi phổ thông chứ hiếm khi cố gắng cắt nghĩa công việc mình làm hàng ngày trong vai trò một nhà khoa học. Luôn luôn những kết quả trong quá khứ được đặt trên những dự định trong tương lai.
Điểm khác biệt lớn nhất giữa thi cử và nghiên cứu có lẽ là ở chỗ thi cử đáp ứng nhu cầu an toàn của người ta, còn nghiên cứu thì luôn luôn bất định. Thi cử là an toàn từ lúc chuẩn bị: luyện thi phần lớn nhất là học thuộc những phương pháp đã có, là nhai lại. Thi cử cũng là an toàn lúc thực hiện hành động thi cử: dù sao đi nữa, người ta cũng chỉ làm những vấn đề do người khác đặt ra, những vấn đề đã có lời giải, nói cách khác là những vấn đề chết. Và kết quả của thi cử là cái hiện rõ trước mắt: giải xong được chừng này bài toán, anh sẽ được chừng này điểm, đủ để anh đạt được giải thưởng này, huy chương kia. Nghiên cứu thì trái lại: không thể làm nghiên cứu chỉ bằng khả năng bắt chước, vì nghiên cứu cần cả kiến thức và khả năng sáng tạo. Cần kiến thức để tìm được vấn đề mở, chưa có ai giải quyết, và cần sáng tạo để giải quyết vấn đề đó. Ngay cả lúc nghiên cứu thành công, mang lại kết quả mới, không có gì đảm bảo kết quả đó sẽ được nhận đăng trên những tạp chí chuyên ngành uy tín. Và cả khi kết quả nghiên cứu đã được công nhận, được đăng trên các tạp chí chuyên ngành hàng đầu, không có gì đảm bảo rằng cộng đồng khoa học sẽ quan tâm đến kết quả đó về lâu về dài. Làm nghiên cứu là làm bạn với sự lãng quên vì trong thời đại bùng nổ các tạp chí khoa học hiện nay, không có gì nhanh bị quên lãng hơn các kết quả nghiên cứu, dù tuổi thọ của chúng mới có 5, 10 năm. Muốn đóng góp được gì đó cho sự phát triển của khoa học vốn luôn cập nhật và đầy biến động khó lường, chỉ có cách là đầu tư rất nhiều thời gian cho những vấn đề mới, những bước tiến mới trong lĩnh vực của mình, bỏ qua một bên những gì không còn khả năng sinh sôi nảy nở dù cho đó đã từng là đề tài mình yêu thích.
Trong cách làm toán ở Việt Nam, chúng ta thường thiên về sự an toàn của thi cử hơn là dám dấn thân vào sự phiêu lưu, mạo hiểm của nghiên cứu. Một bài báo từ năm 2008[1] cho biết trong tổng số 828 nhà toán học làm việc tại Việt Nam có công trình công bố được ghi nhận đến thời điểm đó, khoảng 2/3 chỉ công bố từ 1 đến 4 công trình. Tác giả bài báo dự đoán rằng điều này có nghĩa phần lớn các nhà toán học Việt Nam dừng làm toán sau khi bảo vệ luận án (tiến sĩ). Nếu đúng, đó quả là một thực tế đáng buồn, vì có tấm bằng tiến sĩ mới là bước đầu tiên để trở thành một nhà nghiên cứu độc lập. Hơn nữa ở một nước nghèo như Việt Nam, việc này là một sự lãng phí tài nguyên trí tuệ đáng kể. Kỳ thi toán quốc tế dành cho học sinh phổ thông nhận được sự quan tâm đáng kể từ cộng đồng toán học, đó không phải là một điều đáng buồn. Nhưng đáng buồn là một giải thưởng quan trọng cho nhà nghiên cứu toán học như Giải thưởng Viện Toán Học lại chỉ được thông báo một cách khiêm tốn. Khiêm tốn đến mức không có thông tin nào về thành tựu khoa học cụ thể của những người được giải, đặt trong bối cảnh sự phát triển của chuyên ngành họ đang làm, ngoài việc họ đã có bao nhiêu công trình, trên những tạp chí danh tiếng nào.
Đặt ra vấn đề khuyến khích nghiên cứu và sự phiêu lưu mạo hiểm trong nghiên cứu liệu có phải là một sự phù phiếm? Rất có thể, đối với những người đã yên vị và không còn một hoài bão nào về khoa học. Nhưng nếu tin rằng bất cứ ngành nghề nào cũng tiềm ẩn nguy cơ mà Georg Büchner[2] gọi là "sự tự sát âm thầm bằng nghề nghiệp", tôi nghĩ rằng một tinh thần dám mạo hiểm như thế là cần thiết cho những ai không bằng lòng đi vào những lối mòn khoa học, những người thích những thử thách, coi việc học hỏi những người giỏi hơn mình quan trọng hơn việc làm đẹp tiểu sử của bản thân và tồn tại an toàn trong khoa học.
[1] Lê Tuấn Hoa, "Một cái nhìn sơ bộ về nghiên cứu toán học ở nước ta", Thông Tin Toán Học, Tập 12, Số 4 (2008), Trang 2—15.
[2] Karl Georg Büchner (1813--1837), nhà văn Đức.
 |
| Hình ảnh chi mang tính giải trí không liên quan đến nội dung bài viết |
Bài giảng của các nhà toán học của Viện Toán khác với những gì chúng tôi được học trước đó. Chúng tôi được giới thiệu về khái niệm nhóm, một khái niệm trừu tượng và có phần bí hiểm. Chúng tôi được giải thích về sắp xếp của các siêu phẳng. Viện Toán khuyến khích chúng tôi vào đọc sách trong thư viện, và đó là lần đầu tiên tôi được tiếp cận các tạp chí tiếng Anh. Ấn tượng mạnh nhất khi làm việc với các nhà toán học này có lẽ là sự hoang mang, và sự hoang mang này sẽ biến thành nỗi hoài nghi những năm đầu đại học của tôi. Tại sao chúng tôi lại phải biết những khái niệm rắc rối này? Có phải là bổ ích hơn nếu tập trung vào những bài toán sơ cấp khó, để tăng khả năng giải toán trong kỳ thi sắp tới?
Những băn khoăn và hoài nghi đó chưa bao giờ được thổ lộ trực tiếp với các thầy ở Viện. Tôi hiểu rằng nhiều người sẽ thấy những suy nghĩ đó rất ngây thơ. Quả thực, chúng không chỉ ngây thơ, mà còn góp phần làm nên một bức tường vô hình ngăn cách tôi khỏi các thầy. Sau này, khi không còn thuộc về thế giới của thi cử, khi được công việc nghiên cứu mở ra cho những chân trời mới, bức tường vô hình đó đã dần dần bị xóa bỏ. Dù còn ở rất xa với các thầy về những cống hiến cho khoa học, tôi hiểu ra được phần nào cố gắng của các thầy trong thời gian đó để mang lại cho chúng tôi một cơ hội tiếp cận toán học sớm hơn, trực tiếp hơn phần đông những bạn bè học sinh giỏi phổ thông khác. Sự ngây thơ của tôi lúc đó là khó tránh khỏi, vì tôi chưa có một ý niệm nào về việc nghiên cứu toán học, chưa nói đến một nhận thức rõ ràng về mối quan hệ giữa thi cử và nghiên cứu toán học.
Thi cử và nghiên cứu toán học ở Việt Nam, theo tôi, cần được tiếp cận với một quan điểm khác. Có lẽ ít ở đâu trên thế giới này, việc thi học sinh giỏi toán lại rầm rộ và gây lãng phí tài nguyên trí tuệ như ở Việt Nam. Học sinh giỏi toán phổ thông không được nhìn nhận như những nhà toán học tương lai, họ chỉ được coi như công cụ đóng góp thành tích thi học sinh giỏi của các tập thể, từ trường phổ thông nơi họ học, đến tỉnh thành họ cư trú, đến tập thể lớn nhất là quốc gia. Đấy không phải là cách nhìn của tất cả mọi người, nhưng số lượng đồ sộ của các kỳ thi học sinh giỏi dường như khẳng định rằng chúng ta cần những giải quốc gia và những huy chương quốc tế hơn là những nhà toán học. Toán Học và Tuổi Trẻ, từ vị thế một người bạn đường nghiêm cẩn cho những học sinh giỏi toán và đam mê toán, đã tự hạ cấp xuống một bậc trở thành một trung tâm luyện thi đáp ứng tận tình mọi nhu cầu vượt vũ môn về môn Toán. Các trang web, forum toán học trên mạng sôi động hơn cả về phần thảo luận toán thi olympic và tốn nhiều chữ nghĩa hơn cả cho các loại đề thi, từ khắp các vùng miền trên thế giới.
Không chỉ học sinh phổ thông, bản thân giới toán học nói chung cũng bận tâm đến việc thi cử hơn việc nghiên cứu. Quá bận bịu với công việc luyện thi học sinh giỏi, rất nhiều tiến sĩ toán học ở Việt Nam quên luôn nghiên cứu, là công việc quan trọng nhất của bất cứ nhà toán học nghiêm túc nào. Tương lai của gia đình nhà nghiên cứu là quan trọng, cố gắng để sinh tồn là một phần bất cứ ai cũng có nghĩa vụ phải hoàn thành, nhưng tương lai khoa học của bản thân mình là cái chúng ta chỉ nghĩ đến một cách chung chung. Chúng ta có trang web cá nhân để liệt kê những thành tích trong quá khứ, nhưng chúng ta không đề cập đến đề cương nghiên cứu trong tương lai của mình. Hình ảnh mà không ít nhà nghiên cứu toán học ở Việt Nam để lại trên báo chí, theo tôi, là hình ảnh một cậu học trò già. Khi đăng đàn họ thường kể lể về thành tích học tập, các giải thưởng đạt được hồi phổ thông chứ hiếm khi cố gắng cắt nghĩa công việc mình làm hàng ngày trong vai trò một nhà khoa học. Luôn luôn những kết quả trong quá khứ được đặt trên những dự định trong tương lai.
Điểm khác biệt lớn nhất giữa thi cử và nghiên cứu có lẽ là ở chỗ thi cử đáp ứng nhu cầu an toàn của người ta, còn nghiên cứu thì luôn luôn bất định. Thi cử là an toàn từ lúc chuẩn bị: luyện thi phần lớn nhất là học thuộc những phương pháp đã có, là nhai lại. Thi cử cũng là an toàn lúc thực hiện hành động thi cử: dù sao đi nữa, người ta cũng chỉ làm những vấn đề do người khác đặt ra, những vấn đề đã có lời giải, nói cách khác là những vấn đề chết. Và kết quả của thi cử là cái hiện rõ trước mắt: giải xong được chừng này bài toán, anh sẽ được chừng này điểm, đủ để anh đạt được giải thưởng này, huy chương kia. Nghiên cứu thì trái lại: không thể làm nghiên cứu chỉ bằng khả năng bắt chước, vì nghiên cứu cần cả kiến thức và khả năng sáng tạo. Cần kiến thức để tìm được vấn đề mở, chưa có ai giải quyết, và cần sáng tạo để giải quyết vấn đề đó. Ngay cả lúc nghiên cứu thành công, mang lại kết quả mới, không có gì đảm bảo kết quả đó sẽ được nhận đăng trên những tạp chí chuyên ngành uy tín. Và cả khi kết quả nghiên cứu đã được công nhận, được đăng trên các tạp chí chuyên ngành hàng đầu, không có gì đảm bảo rằng cộng đồng khoa học sẽ quan tâm đến kết quả đó về lâu về dài. Làm nghiên cứu là làm bạn với sự lãng quên vì trong thời đại bùng nổ các tạp chí khoa học hiện nay, không có gì nhanh bị quên lãng hơn các kết quả nghiên cứu, dù tuổi thọ của chúng mới có 5, 10 năm. Muốn đóng góp được gì đó cho sự phát triển của khoa học vốn luôn cập nhật và đầy biến động khó lường, chỉ có cách là đầu tư rất nhiều thời gian cho những vấn đề mới, những bước tiến mới trong lĩnh vực của mình, bỏ qua một bên những gì không còn khả năng sinh sôi nảy nở dù cho đó đã từng là đề tài mình yêu thích.
Trong cách làm toán ở Việt Nam, chúng ta thường thiên về sự an toàn của thi cử hơn là dám dấn thân vào sự phiêu lưu, mạo hiểm của nghiên cứu. Một bài báo từ năm 2008[1] cho biết trong tổng số 828 nhà toán học làm việc tại Việt Nam có công trình công bố được ghi nhận đến thời điểm đó, khoảng 2/3 chỉ công bố từ 1 đến 4 công trình. Tác giả bài báo dự đoán rằng điều này có nghĩa phần lớn các nhà toán học Việt Nam dừng làm toán sau khi bảo vệ luận án (tiến sĩ). Nếu đúng, đó quả là một thực tế đáng buồn, vì có tấm bằng tiến sĩ mới là bước đầu tiên để trở thành một nhà nghiên cứu độc lập. Hơn nữa ở một nước nghèo như Việt Nam, việc này là một sự lãng phí tài nguyên trí tuệ đáng kể. Kỳ thi toán quốc tế dành cho học sinh phổ thông nhận được sự quan tâm đáng kể từ cộng đồng toán học, đó không phải là một điều đáng buồn. Nhưng đáng buồn là một giải thưởng quan trọng cho nhà nghiên cứu toán học như Giải thưởng Viện Toán Học lại chỉ được thông báo một cách khiêm tốn. Khiêm tốn đến mức không có thông tin nào về thành tựu khoa học cụ thể của những người được giải, đặt trong bối cảnh sự phát triển của chuyên ngành họ đang làm, ngoài việc họ đã có bao nhiêu công trình, trên những tạp chí danh tiếng nào.
Đặt ra vấn đề khuyến khích nghiên cứu và sự phiêu lưu mạo hiểm trong nghiên cứu liệu có phải là một sự phù phiếm? Rất có thể, đối với những người đã yên vị và không còn một hoài bão nào về khoa học. Nhưng nếu tin rằng bất cứ ngành nghề nào cũng tiềm ẩn nguy cơ mà Georg Büchner[2] gọi là "sự tự sát âm thầm bằng nghề nghiệp", tôi nghĩ rằng một tinh thần dám mạo hiểm như thế là cần thiết cho những ai không bằng lòng đi vào những lối mòn khoa học, những người thích những thử thách, coi việc học hỏi những người giỏi hơn mình quan trọng hơn việc làm đẹp tiểu sử của bản thân và tồn tại an toàn trong khoa học.
[1] Lê Tuấn Hoa, "Một cái nhìn sơ bộ về nghiên cứu toán học ở nước ta", Thông Tin Toán Học, Tập 12, Số 4 (2008), Trang 2—15.
[2] Karl Georg Büchner (1813--1837), nhà văn Đức.
Nguyễn Đăng Hợp (cựu thành viên đội tuyển IMO Việt Nam)
