Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

“Khi lên lớp, tôi thường nói với sinh viên rằng, khi đứng trước một bài toán, câu hỏi đầu tiên cần đặt ra là “Tại sao?” (Tại sao ta lại cần quan tâm, hay cần giải bài toán này?), chứ không phải là “Thế nào?” (Giải bài toán này thế nào?)”.

Gian-Carlo Rota là một trong những nhà toán học Mỹ hàng đầu hiện nay. Ông là giáo sư về toán học ứng dụng và triết học ở Học viện công nghệ Massachussett (MIT) và là trưởng ban biên tập của tạp chí Advances in Mathematics, một trong những tạp chí danh giá nhất của nền toán học thế giới. Vừa qua ông đã trình bày những kinh nghiệm của ông về "nghề toán" trong một bài phát biểu với tên gọi: Mười bài học tôi ước đã được người ta dạy cho biết trước đây (Ten lessons I wish I have been taught). Bài phát biểu của Rota đã gây ra một cuộc tranh luận sôi nổi trong những nhà toán học Mỹ vì nhiều bài học không tuân theo lối suy nghĩ thông thường. Tôi hy vọng rằng bản dịch sau phản ánh được những điều Rota muốn truyền. (Ngô Việt Trung).

1. Giảng bài
Bốn yêu cầu sau cho một bài giảng hay không phải là hiển nhiên đối với mọi người nếu tôi nghĩ đến các bài giảng tôi đã được nghe 40 năm qua.
a. Mỗi một bài giảng chỉ nên có một chủ đề.
Nhà triết học Đức Hegel từng nói rằng một nhà tiết học hay dùng từ "và" không phải là một nhà triết học giỏi. Tôi cho rằng ông ta nói đúng, ít nhất là đối với các bài giảng. Mỗi một bài giảng chỉ nên nêu lên một chủ đề và nhắc lại nó liên tục giống như một bài hát có nhiều lời. Người nghe cũng giống như một đàn bò chuyển động một cách chậm chạp theo hướng được dẫn đi. Nếu ta chỉ nêu một chủ đề thì ta có cơ may hướng được người nghe theo đúng hướng. Nếu ta dẫn theo nhiều hướng thì đàn bò sẽ tán loạn trên đồng. Người nghe sẽ mất hứng thú và mọi người phải quay trở lại chỗ họ đã dừng nghe để có thể tiếp tục theo dõi bài giảng.
b. Không bao giờ giảng quá giờ.
Giảng quá giờ là một lỗi không thể tha thứ được. Sau 50 phút (một vi thế kỷ như von Neumann thường nói) thì mọi người sẽ không còn quan tâm đến bài giảng ngay cả khi ta đang chứng minh giả thuyết Riemann. Một phút quá giờ giảng sẽ làm hỏng cả bài giảng hay nhất.
c. Liên hệ đến người nghe.
Khi vào phòng ta phải để ý xem có ai trong số người nghe mà công trình của người đó có liên quan đến bài giảng. Hãy ngay lập tức bố trí lại bài giảng sao cho công trình người ấy sẽ được đề cập đến. Bằng cách này, ta có ít nhất một người chăm chú theo dõi bài giảng và thêm một người bạn. Tất cả mọi người đến nghe bài giảng của ta đều hy vọng một cách thầm kín là công trình của họ sẽ được nhắc đến.
d. Đem đến cho người nghe một điều gì đó họ có thể mang về nhà.
Đây là một lời khuyên của Struik. Không dễ gì thực hiện được lời khuyên này. Ta có thể dễ dàng nêu lên mặt gì của một bài giảng sẽ được người nghe nhớ mãi và những cái này không phải là cái mà người giảng bài trông đợi. Tôi thường gặp những cựu sinh viên MIT đã từng nghe các bài giảng của tôi. Phần lớn họ thú nhận rằng đã quên nội dung bài giảng và tất cả những kiến thức toán học mà tôi nghĩ là đã truyền đạt được cho họ. Tuy nhiên, họ sẽ vui vẻ nhắc lại những câu đùa tếu, những mẩu chuyện tiếu lâm, những nhận xét bên lề hay một lỗi nào đấy của tôi.
2. Kỹ thuật bên bảng đen
a. Hãy xoá sạch các vết phấn cũ trên bảng.
Một điều rất quan trọng là phải xoá hết các vết phấn còn sót lại sau khi lau bảng. Bằng cách bắt đầu với một bảng đen không vết phấn ta đã thầm đưa ra cảm tưởng cho người nghe là bài giảng cũng không có tỳ vết.
b. Bắt đầu viết từ góc trên bên trái của bảng.
Những gì ta viết trên bảng phải tương ứng với những gì ta muốn một người nghe chăm chú viết vào vở của họ. Nên viết chậm với chữ to và không viết tắt. Những người nghe có ghi chép đã có thiện ý với ta và ta nên giúp họ ghi chép. Khi sử dụng đèn chiếu, ta nên thêm thời gian giải thích các trang được chiếu bằng cách đưa ra những lời bình luận không quan trọng hay nhắc lại các ý để người nghe có thời gian chép lại trang được chiếu. Tất cả chúng ta đều rơi vào ảo tưởng rằng người nghe sẽ có thời gian đọc bản sao các trang bài giảng ta đưa cho họ sau khi giảng bài. Đó chỉ là ước mong mà thôi.

3. Công bố một kết quả nhiều lần
Sau khi bảo vệ luận án tôi nghiên cứu giải tích hàm một số năm. Tôi mua Tuyển tập công trình của F. Riesz ngay khi quyển sách to, dày và nặng này được xuất bản. Nhưng khi bắt đầu lướt xem tôi không thể không nhận thấy các trang sách rất dày, gần như là bìa các tông. Thật lạ lùng, các bài báo của Riesz đều được in lại với chữ to. Tôi thích các bài báo của Riesz vì chúng đều được viết rất đẹp và gây cho người đọc một cảm giác dứt khoát.
Khi tôi đọc kỹ cuốn Tuyển tập công trình của Riesz thì một cảm giác khác nổi lên. Những người biên tập đã tận dụng in hết mọi thứ nhỏ nhặt mà Riesz đã công bố. Rõ ràng là những công trình của Riesz không nhiều. Ngạc nhiên hơn là những công trình này được xuất bản nhiều lần. Riesz thường công bố một bản thảo còn thô về một ý tưởng trong một tạp chí không tên tuổi của Hungary. Một vài năm sau đó ông gửi đăng một loạt các thông báo trong tờ Comptes Rendus của Viện hàn lâm Pháp với ý tưởng đó được chi tiết hoá thêm. Một vài năm nữa trôi qua và ông sẽ đăng bài báo cuối cùng bằng tiếng Pháp hoặc tiếng Anh.
Koranyi, người đã theo học Riesz, nói với tôi rằng Riesz thường dạy cùng một chủ đề năm này qua năm khác trong khi suy ngẫm về việc viết bài báo cuối cùng. Không đáng ngạc nhiên khi bài báo này rất hoàn hảo.
Ví dụ của Riesz xứng đáng được noi theo. Giới toán học hiện nay bị chia ra làm nhiều nhóm nhỏ, mỗi một nhóm có những thói quen, những ký hiệu và những khái niệm riêng. Vì vậy cần thiết phải trình bày một kết quả dưới nhiều dạng khác nhau, mỗi một dạng có thể sử dụng được cho một nhóm đặc biệt. Nếu không thì cái giá phải trả sẽ là việc một người nào đó sẽ phát hiện lại kết quả của ta với một ngôn ngữ và những ký hiệu khác và họ sẽ có lý khi khẳng định rằng kết quả đấy là của họ.

4. Anh chắc sẽ được nhớ đến bởi các bài báo tổng quan của anh
Chúng ta hãy xét hai ví dụ, bắt đầu với Hilbert. Khi nhắc đến Hilbert, chúng ta nghĩ đến một số định lý nổi tiếng của ông như Định lý cơ sở của Hilbert. Nhưng tên của Hilbert thường được nhớ đến bởi công trình Tổng quan số học (Zahlbericht) hay cuốn sách Cơ sở hình học hay giáo trình của ông về những phương trình tích phân.
Tên gọi "không gian Hilbert" được đưa ra bởi Stone và von Neumann để ghi nhận giáo trình của Hilbert về những phương trình tích phân mà trong đó từ "phổ" được định nghĩa lần đầu tiên, ít nhất là 20 năm trước khi môn Cơ học lượng tử ra đời. Giáo trình này gần như là một bài tổng quan được dựa theo các công trình của Hellinger và nhiều nhà toán học khác mà tên họ ngày nay đã bị lãng quên.
Tương tự, cuốn Cơ sở hình học là cuốn đã làm cho tên tuổi Hilbert quen thuộc với mọi người làm toán không chứa một công trình gốc nào của ông và đã gặt hái kết quả những công trình của nhiều nhà hình học như Kohn, Schur, Wiener (không phải là Schur và Wiener mà chúng ta đã từng nghe tên), Pasch, Pieri và nhiều nhà toán học Italia.
Cũng như thế, cuốn Tổng quan số học, một công trình cơ sở đã cách mạng hoá môn lý thuyết số, thực ra là một bài báo tổng quan mà tờ báo Bulletin của Hội toán học Đức đặt cho Hilbert viết.
William Feller là một ví dụ khác. Feller được nhớ đến như là tác giả của cuốn sách hay nhất về xác xuất. Rất ít người làm xác xuất hiện nay có thể nêu lên tên một công trình nghiên cứu của Feller. Phần lớn mọi người còn không biết rằng Feller vốn nghiên cứu hình học lồi.
Hãy cho phép tôi đi lạc đề với một hồi tưởng cá nhân. Thỉnh thoảng tôi có
công bố trong một nhánh triết học được gọi là khoa học hiện tượng (phenomenology). Sau khi công bố bài báo đầu tiên trong môn này, tôi rất bực mình khi người ta nói với tôi tại một hội nghị của Hội khoa học hiện tượng và triết học tồn tại (existential philosophy) một cách úp mở rằng mọi điều tôi viết trong bài báo đều đã được biết và tôi bị buộc phải xem lại tiêu chuẩn công bố của mình trong môn khoa học hiện tượng.
Một chuyện nữa là những công trình cơ sở của môn khoa học hiện tượng được viết bằng ngôn ngữ triết học Đức rất nặng nề. Theo truyền thống thì không có ví dụ minh họa về những điều được bàn. Một hôm tôi quyết định công bố với một chút nghi ngại một bài báo thật ra là một bài viết lại một vài đoạn từ một cuốn sách của Husserl cộng thêm một vài ví dụ. Tại hội nghị tiếp theo của Hội khoa học hiện tượng và triết học tồn tại, tôi đang chờ đợi điều xấu nhất có thể xẩy ra thì một nhà khoa học hiện tượng hàng đầu xông đến tôi với một nụ cười trên môi.
Ông ta ca ngợi bài báo của tôi hết lời và khuyến khích tôi phát triển tiếp những ý tưởng mới mẻ và độc đáo của bài báo đó.
5. Mỗi một nhà toán học chỉ có một vài mẹo
Cách đây đã lâu một nhà số học già nổi tiếng đã đưa ra một số nhận xét chê bai các công trình của Erdos. Tôi khâm phục sự đóng góp của Erdos cho toán học và cảm thấy bực mình khi nhà toán học già đó nói một cách khẳng định rằng tất cả các công trình của Erdos có thể rút gọn về một vài mẹo mà Erdos đã luôn dựa vào chúng trong các chứng minh. Điều mà nhà số học đó không nhận thấy là những nhà toán học khác, kể cả những người giỏi nhất, cũng dựa vào một vài mẹo mà họ sử dụng lần này đến lần khác. Hãy xem Hilbert. Quyển hai của Tuyển tập các công trình của Hilbert chứa những bài báo của của Hilbert về lý thuyết bất biến. Tôi quyết tâm đọc kỹ một số bài báo này. Thật buồn là một số kết quả đẹp của Hilbert đã bị rơi vào quên lãng. Nhưng khi đọc những chứng minh của Hilbert cho một số định lý sâu sắc trong lý thuyết bất biến, tôi ngạc nhiên thấy rằng những chứng minh này đều sử dụng một số mẹo giống nhau. Như vậy Hilbert cũng chỉ có một vài mẹo!

6. Đừng lo về những lỗi
Một lần nữa tôi lại bắt đầu với Hilbert. Khi những người Đức định xuất bản Tuyển tập công trình của Hilbert và tặng ông một bộ nhân dịp một ngày sinh nhật sau này của ông thì họ nhận thấy rằng họ không thể công bố những bài báo dưới dạng ban đầu vì chúng chứa quá nhiều lỗi, trong đó có những lỗi rất trầm trọng. Vì vậy họ đã thuê nhà toán học (nữ) đang thất nghiệp OlgaTaussky-Todd xem lại các bài báo của Hilbert và chữa tất cả các lỗi. Olga đã làm việc này trong ba năm và mọi lỗi đều đã sửa được mà không cần thay đổi lắm nội dung các định lý. Chỉ có một ngoại lệ là một bài báo được Hilbert viết khi ông đã có tuổi là không thể sửa nổi. Đó là một chứng minh cho giả thuyết Continuum
được công bố trong tờ Mathematische Annalen đầu những năm ba mươi. Cuối cùng thì Hilbert đã được trao cho một bản in Tuyển tập công trình mới tinh nhân ngày sinh nhật. Hilbert đã giở ra xem kỹ lưỡng và không phát hiện ra điều gì. ...
Có hai loại lỗi. Loại lỗi chí tử sẽ phá tan toàn bộ lý thuyết, còn loại lỗi bất trắc sẽ có ích khi kiểm tra tính đúng đắn của một lý thuyết.

7. Sử dụng phương pháp của Feynman
Feynman thích đưa ra lời khuyên sau đây về việc làm thế nào để trở thành một thiên tài. Anh cần phải giữ thường xuyên trong đầu một số vấn đề anh thích mặc dù phần lớn thời gian chúng nằm yên ở đấy. Mỗi một khi anh nghe hay đọc thấy một mẹo hay một kết quả mới thì anh hãy thử xem nó có giúp gì cho từng vấn đề của anh không. Thể nào cũng có lúc anh gặp may và mọi người sẽ nói "Làm thế nào anh ta đã giải quyết được vấn đề đó? Chắc anh ta là một thiên tài!"

8. Hào phóng khi trích dẫn
Tôi luôn luôn phật lòng khi đọc một bài báo mà tôi cảm thấy rằng tôi không được trích dẫn như phải có. Có thể khẳng định rằng điều này cũng đúng với mọi người. Một hôm tôi đã làm thử một thí nghiệm. Sau khi viết một bài báo tương đối dài, tôi bắt tay làm một bản nháp toàn bộ các trích dẫn. Khi đó tôi bỗng quyết định trích dẫn một số bài báo không liên quan tí gì đến nội dung bài báo của tôi để xem điều gì sẽ xảy ra.
Thật bất ngờ tôi nhận được thư của hai tác giả mà các bài báo của họ không liên quan gì với bài báo của tôi. Cả hai thư đều được viết với một giọng xúc động. Cả hai tác giả đều chúc mừng tôi là người đầu tiên đã công nhận sự đóng góp của họ trong lĩnh vực đó.

9. Viết lời giới thiệu nhiều thông tin
Ngày nay ít người đọc một bài báo từ đầu đến cuối. Nếu ta muốn người khác đọc bài báo của ta thì ta phải cung cấp cho họ những động cơ thuyết phục. Một lời giới thiệu dài và lan man tóm tắt lịch sử vấn đề, trích dẫn đầy đủ sự đóng góp của mọi người và mô tả lôi cuốn nội dung bài báo sẽ góp phần thu hút một số người đọc.
Là một biên tập viên của tạp chí Advances in Mathematics tôi thường gửi các bài báo lại cho tác giả yêu cầu họ viết dài hơn. Một lần tôi nhận được thư trả lời từ một tác giả nói rằng cũng bài báo đó đã bị tạp chí Annals of Mathematics từ chối vì lời giới thiệu quá dài.

10. Hãy chuẩn bị cho tuổi già
Ông bạn Ulam đã quá cố của tôi thường nhận xét rằng cuộc sống của ông bị chia rõ rệt làm hai phần. ở phần đầu ông luôn luôn là người trẻ nhất trong nhóm, còn ở phần thứ hai ông luôn luôn là người già nhất mà không có giai đoạn chuyển tiếp.

Bây giờ thì tôi thấy Ulam đã nhận xét rất đúng. Tuổi già hình như không đến dần dần và ta chấp nhận nó một cách khó khăn. Điều này phụ thuộc vào một nhận thức cơ bản và ta cần có thời gian làm quen với nó. Ta phải hiểu rằng đến một tuổi nào đó ta không còn được coi là một cá nhân nữa. Ta sẽ trở thành một thể chế (institution), và ta sẽ được đối xử như người ta đối xử với một thể chế. Họ mong đợi ta sử sự như một đồ vật cổ hay như một kỳ quan kiến trúc.
Việc ta có còn viết bài hay không không còn quan trọng nữa. Nếu bài báo của ta không tốt, thì họ sẽ nói "Anh mong đợi gì nữa? Ông ta đã chai sạn mất rồi!'". Còn nếu một bài báo nào đó của ta trở nên thú vị thì họ sẽ nói "Anh mong đợi gì khác? Ông ta cả cuộc đời đã nghiên cứu cái này rồi!" Phản ứng tế nhị duy nhất là nên vui vẻ đóng vai trò mới của anh như là một thể chế.

Phép màu, hay điều kì diệu, là từ để chỉ những việc rất khó thành hiện thực - không thể tưởng tượng nổi - hay đơn giản là một sự việc thú vị làm ta há hốc mồm, thường ta chỉ thấy trong mơ. Nhưng thực ra, có nhiều nhà toán học đã chứng minh, phép màu hay những sự kiện tương tự là những thứ rất bình thường, bắt buộc phải xảy ra trong cuộc sống. 


"Bạn có biết rằng có một luật nói rằng mỗi chúng ta có thể mong chờ một phép màu xuất hiện trong cuộc sống với xác suất 1 lần trong 1 tháng? Luật Littlewood đưa ra một mệnh đề như vậy. Được xuất bản lần đầu tiên bởi Giáo sư trường Đại học Cambridge J.E. Littlewood trong cuốn “Tạp bút của một nhà toán học”, luật này ban đầu được phát triển để lật tẩy các sự việc siêu nhiên hay huyền bí, nói về hiện tượng phép màu. Luật Littlewood liên quan trực tiếp tới Luật về Tập hợp cực lớn, phát biểu rằng khi bạn có đủ một số lượng các mẫu thử lớn cần thiết, bất kỳ điều gì có thể xảy ra. Hãy coi như nó là Định luật Murphy trong toán học.

Littlewood định nghĩa một phép màu là “một sự việc ngoài mong đợi có ý nghĩa đặc biệt xuất hiện ở tần suất 1/1.000.000; trong khoảng thời gian mà một người hoàn toàn tỉnh táo và cảnh giác, một người sẽ trải nghiệm một vật trong mỗi giây (ví dụ như: nhìn màn hình máy tính, chạm vào bàn phím, chuột, đọc báo hay tương tự); thêm vào đó, một người thường trong trạng thái cảnh giác 8 tiếng một ngày; và kết quả là , một người sẽ, trong 35 ngày và theo những điều kiện giả thiết trên, trải nghiệm 1.008.000 sự vật”. Nếu chấp nhận định nghĩa về phép màu như trên, một người có thể hy vọng rằng mình sẽ được chứng kiến phép màu trong mỗi 35 ngày hoặc tương tự thế. Tức là, phép màu thực ra chẳng màu nhiệm lắm như ý tưởng ban đầu! Với quá nhiều người trải nghiệm quá nhiều sự việc trong quá nhiều ngày, điều này có vẻ như không những logic, mà còn ít “kỳ bí” hơn những thứ dẫn dắt chúng ta tới sự tôn sùng tôn giáo, những thứ bắt chúng ta phải quỳ lạy, van nài và cầu xin cho mỗi một phép màu trong cả đời người.

Một lần nữa, tác giả của cuốn sách này không thể kiểm chứng tính hiệu quả của luật trên trong đời sống của chúng ta, nhưng Luật về Tập hợp Cực lớn lại có thể cho phép xảy ra những sự trùng lặp đáng ngạc nhiên, ví dụ như ai đó trúng giải xổ số 3 lần trong 3 năm. Dù sao cũng có rất nhiều nghiên cứu có thể giúp chúng ta giải thích làm thế nào việc này xảy ra được. Một trong những nghiên cứu đáng chú ý nhất được viết bởi hai nhà thống kê học Stephen Samuels và George Mc Cabe ở trường Đại học Purdue, sau khi tờ New York Times đăng một bài về một người phụ nữ trúng số 2 lần liền, gây ra rất nhiều sửng sốt. Theo nghiên cứu của họ, cơ hội cho một ai đó trung xổ số 2 lần thật ra chạy từ 1 đến 30 lần trong khoảng thời gian 4 tháng, và còn cao hơn trong một khoảng thời gian 7 tháng. Chẳng có gì là sửng sốt cả. Điều này là hoàn toàn có thể nếu người chơi mua thật nhiều vé số mỗi tuần, và làm tăng đáng kể cơ hội trúng giải của mình.

Với hơn 6 tỉ người trên hành tinh này, cơ hội xảy ra chuyện một ai đó, thậm chí có thể là 10 triệu ai-đó, sẽ mơ chính x ác những gì bạn mơ tối nay là rất cao. Có thể họ sẽ ăn tối y như bạn. Hay sinh cùng ngày cùng tháng cùng năm với bạn. Số lượng các mẫu thử càng lớn, xác suất xuất hiện của các ‘sự kiện trùng lặp’ càng cao, và chúng ta có thể kinh hoàng nhận ra rằng có thể hàng triệu người khác cũng cùng trải qua một sự kiện như vậy, và họ đều có thể chia sẻ một ‘sự trùng lặp đầy ý nghĩa’ như v ậy, và đều cho là sự kiện đó chỉ xảy ra với mỗi mình mình.

Do đó, theo luật Littlewood và Luật về Tập hợp Cực lớn, mỗi chúng ta có thể trải nghiệm một thứ gì đó đáng ngạc nhiên, các sự kiện trùng lặp, một số có thể là phép màu, vào mỗi ngày. Những việc trên có thể bao gồm việc nhìn thấy đồng hồ số chỉ 11 :11 hay để ý sự lặp đi lặp lại của số 23 trong 1 ngày, đặc biệt khi trí óc của ta lấy một vài sự kiện trùng lặp trải nghiệm làm mẫu và tạo ra các hình mẫu khác xung quanh chúng, thổi phồng tầm quan trọng và sắp xếp để chính chúng ta nhìn thấy chúng xuất hiện nhiều hơn."

Dưới đây là bài phỏng vấn ông Endre Szemredi, giải thưởng Abel 2012, thực hiên bỏi GABOR STOCKER (on www.index.hu).

(1) Năm 2008, khi ông đưọc giải thưởng Shock của viện Hàn Lâm Thuỵ điển, ông nói rằng giải Fields, giải Wolf, và giải Abel là ba giải quan trọng nhất trong toán học. Khi đó ông có nghĩ ông sẽ được một trong những giải này không ?

Tôi muốn sửa lại ý kiến của mình: bây giờ tôi chỉ nghĩ giải Fields và giải Wolf là hai giải quan trọng nhất thôi. Tôi hoàn toàn ngạc nhiên về giải Abel. Giải thưởng này được tuyên bố đúng trưa ngày thứ tư, và tôi được gọi diện lúc 11 giờ kém năm. Đúng trưa thì ông trưởng ban giải thưởng tuyên bố tôi được giải và một người khác đọc một bài phát biểu về các công trình của tôi. Ông này được thông báo bốn ngày trước đó, tức là ông ấy biết trước tôi.

(2) Người đó là ông Gowers, người đã đưa ra một cách chứng minh khác cho định lý Szemeredi.

Ông Gowers đã chứng minh một kết quả mạnh hơn, và phương pháp của ông ấy, chẳng hạn như Gowers norm, hiện nay trở thành rất quan trọng trong một số lĩnh vực của toán học.

(3) Giải thưởng được tặng cho những công trình của ông trong toán rời rạc (tổ hợp) và lý thuyết tính toán. Ông có thể giải thích một cách đơn giản toán rời rạc là gì không ?

Toán rời rạc nghiên cứu cấu tạo của những tập hữu hạn. Một ví dụ rất đơn giản là sổ xố: Có bao nhiêu cách đế lấy ra 5 số từ một tập 90 số. Trong câu hỏi này các dữ liệu đều là hữu hạn. Tất nhiên sự phân biệt này giữa toán rời rạc và liên tục cũng đã được đơn giản hoá rất nhiều. Giữa hai lĩnh vực luôn có sự hợp tác, tương trợ lẫn nhau. Ý tưởng từ lĩnh vực nọ co thể dùng trong lĩnh vực kia và ngược lại.

Trong các tập rời rạc, ta thường quan tâm tới những cấu trúc đẹp. Câu hỏi có tầm quan trọng đặc biệt là trong những điều kiện nào thì những cấu trúc này sẽ tồn tại. Một phenomenon thường thấy ở đây là ta có thể tìm được cấu trúc đẹp trong một hệ thống hoàn toàn hỗn loạn.

(4) Ông có thể cho một ví dụ ?

Chẳng hạn bạn lấy 6 điểm và nối chúng với nhau bằng những đoạn thẳng đỏ hoặc xanh. Dù cho bạn có tô mầu kiểu gì đi chăng nữa, bao giờ bạn cũng tìm được một tam giác có ba cạnh cùng màu. Trường hợp tổng quát của hiện tượng này, được gọi là bài toán Ramsey, đã tồn tại hơn 80 năm, nhưng lời giải của nó còn rất xa chúng ta.

(5) Phương pháp nghiên cứu của ông như thế nào ?

Tôi thường tìm một vấn đề và suy nghĩ về nó trong một thời gian dài. Tôi suy nghĩ chậm chạp và thường là thất bại, thỉnh thoảng mới có một thành công. Nhưng đây cũng là chuyện thường trong toán học. Phần lớn các nhà toán học biết những vấn đề quan trọng là vấn đề nào, và thường nhiều người suy nghĩ trên cùng một vấn đề, nhưng số vấn đề chưa được giải quyết vẫn còn rất nhiều.

Tất nhiên trong toán học bây giờ, 2, 3,4 người có thể cùng làm việc với nhau trên cùng một câu hỏi. Gần đây, có một phong cách mới, khởi đầu bởi Gowers, là Polymath. Ông ấy post một số bài toán nổi tiếng trên internet, sau đó tất cả những ai quan tâm có thể tham gia nghiên cứu và trao đổi on-line. Chương trình này đã có một vài thành công đánh kể. Trong hai tháng, họ đã tìm được lời giải tương đối đơn giản cho một bài toán nổi tiếng mà ông Furstenberg (giải thưởng Wolf) đã nghiên cứu trong vòng 30 năm. Polymath có thể là phương pháp nghiên cứu của tương lai, nhưng không phải ai cũng ủng hộ nó. Người ta rất khó chấp nhận khi lao động cả đời trên một vấn đề, và tự nhiên hàng trăm nhà toán học cùng đổ tới một lúc và giải quyết nó nhanh gọn. Ngoài ra, trong những trường hợp nhiều người như vậy, authorship cũng là một vấn đề cần bàn cãi.

(6) Ông có liên quan gì đến project Polymath này không ?

Không. Thường tôi làm việc với một hai người, hoặc một mình. Ngoải ra tôi không biết dùng máy tính, mặc dù theo biên chế tôi là giáo sư ở khoa máy tính (tại Rutgers) chứ không phải khoa toán. Tôi có thể chứng minh được là vợ tôi trả lời tất cả các email của tôi. Tôi có đọc chúng, nhưng không biết sử dụng máy tính thế nào cả.

(Lời người dịch: Ngoài ra ông Endre không biết dùng tex, và thường gọi computer là calculator. Nếu bà Anna không trả lời email thì là một trong các học trò của ông ấy.)

(7) Tạo sao ông không học dùng máy tính ? Ông không thích nó à ?

Không. Đơn giản chỉ là tôi quá ngốc thôi. Tôi chẳng hiểu nó hoạt động thể nào cả. Tôi có thể hiếu được internet, vì ta có thể model nó như một cái đồ thị. Nhưng máy tính, ngôn ngữ lập trình, search internet, tôi chẳng biết gì hết. Ngoài ra tôi hoàn toàn bất lực với camera, chưa bao giờ tôi biết chụp ảnh như thế nào. Tôi không biết bật DVD, nếu bà vợ tôi không bật phim cho tôi hay bọn cháu không sang giúp thì tôi chỉ có ngồi nhìn thôi.

(8) Ông có theo dõi những lý thuyết được xây dựng từ những kết quả của ông ?

Có một phần. Tôi rất vui mứng khi thấy nhiều hướng nghiên cứu được nảy sinh từ một số công trình tôi viết cách đây 30-40 năm, trong đó có những lý thuyết mà tôi hoàn toàn không hiểu, như lý thuyết ergodic. Tôi không nghĩ rằn những công trình của tôi trở nên quan trọng đến thế. Chẳng hạn gần đây Green và Tao chứng minh một định lý lớn về sự tồn tại của cấp số cộng có độ dài bất kỳ trong dãy số nguyên tố. Thường những vấn đề như vậy được nghiên cứu bởi nhưng chuyên gia về giải tích số, một lĩnh vực rất xa chuyên môn của tôi. Tôi rất ngạc nhiên là vấn đề này lại được giải quyết bằng số học tổ hợp, và tôi không cảm thấy mình có vai trò lớn trong việc này. Phần lớn những định lý như vậy được chứng minh vì những người nghiên cứu nó thông minh hơn tôi rất nhiều. Nó cũng như việc xây dựng một lâu đài. Những người ở dưới xây lên một vài bức tường đơn giản, và bên trên nó những cấu trúc lộng lẫy sẽ mọc lên. Tôi chỉ dựng một vài bức tường mà thôi. (Lời người dịch: Bức tường của Szemeredi nói vậy không đơn giản chút nào, chứng minh của nó hơn 50 trang và chỉ co ít người hiểu thôi; sau đó có những chứng minh khác dễ hiểu hơn như của Furstenberg. Định lý Szemeredi là Lemma chủ chốt trong chứng minh của Green và Tao.)

Ngoài ra người ta cũng viết rằng có nhiều ứng dụng, thuật toán liên quan tới nghiên cứu của tôi. Tôi có làm việc trong lý thuyết đồ thị ngẫu nhiên (random graph theory), và một số nhà khoa học nổi tiếng, Bollobass, Lovasz, Szegedi, chỉ nói tới những người Hung thôi, đã phát triển thêm kết quả của tôi, và tiến tới những câu hỏi rất sâu về cấu tạo của những đồ thị rất phức tạp, chẳng hạn như mạng internet. Tôi cũng muốn nhắc tới ở đây một người gốc Hung khác, ông Barabasi, người đã làm lĩnh vực nghiên cứu này trở nên đại chúng.

(9) Ông chỉ bắt đầu nghiên cứu toán vào tuổi 22, tại sao ?

Nghe lời bố, tôi theo ngành y đầy tiên. Nhưng chỉ sau một thời gian ngắn tôi nhận thấy nó không thích hợp với tôi. Tôi không chắc là tôi có thể làm được một công việc mang tính trách nhiệm cao như vậy. Và ngoài ra còn phải học nhiều nữa, mà cái này thì tôi rất kém. Tôi bỏ học sau một học kỳ và đi làm ở một nhà máy. Sau đó, qua lời khuyên của một người bạn, tôi vào trường Etvos Lorand học toán. Tôi cũng không tha thiết lắm cho đến cuối năm thứ hai, khi Turan có một loạt bài giảng tuyệt vời về lý thuyết số. Sau đó tôi gặp các giáo sư Erdos và Hajnal, là những chuyên gia hàng đầu về toán rời rạc.

(10) GS Erdos là một trong những người có ảnh hưởng nhất trong lĩnh vực của ông. Ông có cảm giác như thế nào khi làm học trò của ông ấy ?

Ông Erdos không phải giáo sư của tôi theo kiểu ông Turan, người giảng bài và mang sách cho tôi đọc. Ông Erdos đặt câu hỏi. Thường thì những câu hỏi của ông ấy không cần nhiều kiến thức để hiểu và để giải. Nhưng bạn cần phải suy nghĩ rất sâu và rất lâu, và tìm ra những ý tưởng mới. Ông ấy quả là một người rất có tài năng trong việc mang tới những vấn đề mới đầy thú vị. Có rất nhiều giả thuyết Erdos nổi tiếng.

(11) Từ năm 1967 đến 1970, ông là nghiên cứu sinh ở Moscow dưới sự hướng dẫn của ông Gelfand. Nhưng thật ra ông muốn làm việc với ông Gelfond. Tại sao lại có sự thay đổi này ?

Tôi nhầm hai chữ cái (tiếng Nga) “o” và “a”. Tôi muốn học với ông Gelfond vì ông ấy cùng hướng với ông Turan. Nhưng khi tôi nhận ra sự nhầm lẫn thì đã quá muộn. Ở thời đó, chuyển người hướng dẫn là rất khó, nhất là khi hai ông này làm việc ở hai viện nghiên cứu khác nhau. Thật thà mà nói, tôi chẳng hiểu gì những cái ông Gelfand và nhóm của ông ấy làm cả, đó là một kiểu toán khác hẳn, ngay cả những sinh viên 20 tuổi của ông ấy cũng biết hơn tôi nhiều.

(12) Thế tại sao ông vẫn ở chỗ ông Gelfand hơn hai năm ?

Tại vì hồi đó người ta qui định phải làm nghiên cứu sinh trong 3 năm, mà tôi thì lúc nào cũng theo luật. Cuối cùng tôi cũng viết một luận án, về toán rời rạc. Ông Gelfand cho phép tôi không tham gia gì đến những cái ông và học trò ông ấy làm, và muốn viết gì thì viết. Trong con mắt ông ấy tôi là một cậu học trò người Hung với những ý định tốt nhưng không có khả năng hiểu toán học hiện đại.

(Lời người dịch: Bác Gelfand sau đó tái ngộ Szemeredi tại Rutgers. Khi đã ngoài 70, Gelfand rời Nga và nhận một position tại Rutgers. Tại sao lại có cái position này cũng là chuyện rất ly kỳ, nhưng xin kể ở nơi khác. Chuyện Gelfand seminar cũng rất hay.)

Cuối năm thứ nhất của tôi thì ông Gelfond (với chữ “o”) đến Hung dự một hội nghị tại Debrecen và tôi được chỉ định đi theo ông ấy như một sinh viên biết nói tiếng Nga. Nhưng tiếng Nga thì tôi thi trượt ở đại học hai lần. Tôi chẳng có chủt năng khiếu về ngoại ngữ nào hết. Lần thi thứ ba, tôi pass với điểm vớt (D), nhưng sự thật là chỉ vì tôi đã mua một bó hoa hồng ở chợ trời tặng bà giáo sư hỏi thi mà thôi.

Cuối cùng tôi cũng gặp Gelfond, với cái vốn tiếng Nga không khá khẩm gì của mình. Ông gíáo sư đáng kính ấy được giao một nhiệm vụ vinh quang và cay đắng là mua quần áo và giầy cho vợ và con gái (hồi đó hàng, chẳng hạng như giầy cao gót, ở Liên Bang Xô Viết rất hiếm–cái này chắc bạn đọc người Việt hoàn toàn chia sẻ). Tôi giúp ông ấy, mặc dầu kiến thức về giầy cao gót của tôi cũng rất hạn chế, và chúng tôi trở thành bạn tốt. Ông ấy hứa sẽ giúp tôi học dưới sự hướng dẫn của ông ấy khi quay trở lại Moscow. Nhưng thật đáng tiếc, ông ấy mất hai tháng sau vì bệnh tim, và thế là tôi đành ở lại với ông Gelfand.

(13) Ông đã ở nước ngoài khá lâu. Trong 20 năm gần đây ông là GS ở Rutgers, trước đó ông cũng là vísiting prof. ở đại học nam Carolina. Ông có nghĩ làm toán tại Mỹ thí dễ hơn ở Hung ?

Đối với sự nghiên cứu của tôi, thì chỗ tốt nhất là trường Etvos và viện toán học Rényi ỏ Budapest. Nnưng tôi có năm con, và nói thật với bạn, lý do duy nhất tôi ra nước ngoài là thu nhập. Sẽ có nhiều người không thích điều tôi nói, hoặc là họ nghĩ rằng tôi phải nói một lý do gì đó hay ho hơn, nhưng sự thật là tôi đi chỉ vì tiền thôi.

Tất nhiên là có những lĩnh vực của toán học mà chỉ có thể học được ở nước ngoài vào lúc đó. Tôi rất vui khi thấy nhiều bạn trẻ hôm nay đi vào những lĩnh vực quan trọng mà trong thời của Erdos còn chưa tồn tại. Có thể nửa trong số họ sẽ tiếp tục ở lại nước ngoài, nhưng nửa còn lại sẽ quay lại Hung. Chúng tôi có rất nhiều sinh viên có năng khiếu, và về mặt chuyên môn thì ở Mỹ cũng không hơn ở Hung bao nhiêu.

(14) Ông có hài lòng về nguồn lực mới của toán học Hungary ?

Tôi rất hài lòng, mặc dầu tôi không phải chuyên gia về sư phạm. Khi tôi đi nghe một bài giảng, nhiều khi tôi chẳng hiểu hết, nhưng có những sinh viên, mà qua những câu hỏi của họ, tôi có thể thấy họ nắm vấn đề một cách chắc chắn.

(15) Ông nói rằng ông đã nghỉ hưu ở đây (Budapest) rồi, vậy ông thư giãn như thế nào ?

Tôi rất thích đi dạo, nhưng gần đay hông tôi có vấn đề, nên việc này cũng hơi khó. Tôi chơi quần vợt tuần một lần, ông coach thường đánh bóng ngay trước người để tôi không phải di chuyển. Cách đây hai tháng tôi bắt đầu tập chơi ping-pong. Tôi xem nhiều phim với gia đình, hoặc đi rạp hát. Trên TV có loại thể thao gì tôi đều xem hết, tôi đã làm thế từ rất nhiều năm nay. Tôi xem bóng đá, Formula 1, bóng rổ, rồi cả những môn được coi là chán như là bóng chày. Quần vợt thì tất nhiên rồi. Tôi đánh không hay, nhưng khi xem tôi có thể biết ngay Nadal sẽ dùng đấu pháp nào. Cái này thì bạn chẳng cần là nhà toán học đâu, chỉ là một người mê thể thao là đủ.

(Lời người dịch: Ông Endre rất có năng khiếu thể thao, lại thuận bên trái. Ông ấy rất thích kể chuyện khi còn thiếu niên thi đấu bóng đá đã được Kocsis–thành viên của đội tuyển vàng Hungary những năm 50–đến xem và khen ngợi.)

1) Nghiên cứu toán học là khám phá:

Các phương trình toán học là có sẵn trong tự nhiên, các nhà toán học (hay vật lý học) chỉ khám phá ra mà thôi. Giống như định luật vạn vật hấp dẫn của Newton. Nếu Newton không phát biểu định luật vạn vật hấp dẫn thì trái táo vẫn rơi, một ngàn năm trước cũng như là một ngàn năm sau cái ngày quả táo rơi lên đầu Newton. Các phương trình
cơ chất lỏng như Navier-Stokes cũng vậy. Nước vẫn chảy, mây vẫn trôi nếu như các ông Navier và Stokes ông không phát biểu ra các phương trình đó.

2) Nghiên cứu toán học là phát minh:

Các lý thuyết toán là do các nhà toán học nghĩ ra. Có lẽ điều này đúng với toán lý thuyết và vật lý lý thuyết. Lý thuyết tích phân là do Riemann nghĩ ra để tính diện tích bên dưới một đồ thị. Lý thuyết về độ đo của Lebesgue dùng để tích phân các hàm số tổng quát hơn. Các lý thuyết về tồn tại và duy nhất của các nghiệm của các phương trình vi phân giúp các nhà toán học ứng dụng tự tin hơn khi đi tìm nghiệm xấp xỉ bằng số.

3) “Làm toán” là làm gì:

Như vậy là quá trình “làm toán” là làm gì? Người nông dân “làm ruộng” là cày bừa, gieo hạt, tưới cây, bón phân rồi chờ ngày lúa trổ bông mà thu hoạch. Người công nhân đi “làm nhà máy” là đi vào cơ xưởng, vận hành máy tiện, máy hàn, máy cắt để làm ra những sản phẩm tiêu dùng hay cho các ngành công nghiệp khác. Theo quan điểm cá nhân của tôi, “làm toán” là quá trình tìm tòi để khám phá và phát minh ra cái mới cho toán học nói riêng và cho khoa học nói chung. “Làm toán” cần tới quá trình gieo hạt: một người thầy nào đó gợi cho mình ý tưởng tìm tòi về toán học. Rồi sau đó là quá trình bón phân, tưới cây: đọc các bài báo đã được xuất bản, đi nghe seminar, đi dự các lớp học, đạt được bằng cấp này nọ… Và quá trình thu hoạch là các công trình mới được xuất bản trên các tạp chí toán học trên thế giới…

4) Toán học có lợi gì cho xã hội:

Người nông dân làm ra lúa gạo để muôn người được ăn no, người công nhân làm ra vật dụng tiêu dùng hàng ngày. Nhưng rồi ăn uống đã no đủ, đồ đạc sử dụng đã thừa mứa, thì xã hội phát triển những nhu cầu cao hơn: chinh phục các vùng đất mới hay là chinh phục vũ trụ. Những nhu cầu mới này đòi hỏi việc xây dựng các con thuyền lớn có khả năng vượt đại dương, những tàu vũ trụ có thể bay lên các vì sao… Để làm được điều này người ta cần phải phát triển khoa học và kỹ thuật mà toán học là một trong các ngành mũi nhọn.