You are here: Home »
Quy nạp toán học là một trong nhưng phương pháp chứng minh rất mạnh và có nhều ứng dụng. Học sinh được làm quen với quy nạp toán học ngay từ cấp trung học cơ sở. Tuy nhiên học quy nạp toán học và ứng dụng rộng rãi nó phải bắt đầu từ lớp 10 đối với học sinh chuyên Toán và lớp 11 đối với học sinh không chuyên. Ta có thể tìm thấy ứng dụng của phương pháp quy nạp vào chứng minh bất đẳng thức, vào chứng minh tính chia hết, vào tính tổng của các tổng hữu hạn. Quy nạp còn được ứng dụng rộng rãi vào trong nghiên cứu dãy số và dãy đa thức. Xét cho cùng ở đâu có sự phụ thuộc theo chỉ số n thì ở đó ý tưởng quy nạp được hiện hữu.
Ứng dụng của phương pháp quy nạp vào trong hình học thì theo cá nhân tôi có lẽ là một ứng dụng rất tốt. Nó không chỉ được ứng dụng để tính toán hình học đơn thuần mà còn áp dụng trong chứng minh định lý hình học , trong giải các bài toán dựng hình, quỹ tích, trong hình học tổ hợp .Tuy nhiên mức độ quan tâm chưa nhiều đối với học sinh và kể cả giáo viên Toán. Điều đó được minh chứng bằng sự xuất hiện rất ít của các tài liệu, các bài toán viết về phạm trù này. Và nếu xuất hiện thì thường là những bài toán hình học có độ khó nhất định.
Sáng kiến kinh nghiệm Phép quy nạp trong hình học. Download.
Chia sẻ bởi chính tác giả - thầy Nguyễn Thành Nhân, GV THPT chuyên Hùng Vương, Bình Dương.
Ứng dụng của phương pháp quy nạp vào trong hình học thì theo cá nhân tôi có lẽ là một ứng dụng rất tốt. Nó không chỉ được ứng dụng để tính toán hình học đơn thuần mà còn áp dụng trong chứng minh định lý hình học , trong giải các bài toán dựng hình, quỹ tích, trong hình học tổ hợp .Tuy nhiên mức độ quan tâm chưa nhiều đối với học sinh và kể cả giáo viên Toán. Điều đó được minh chứng bằng sự xuất hiện rất ít của các tài liệu, các bài toán viết về phạm trù này. Và nếu xuất hiện thì thường là những bài toán hình học có độ khó nhất định.
Sáng kiến kinh nghiệm Phép quy nạp trong hình học. Download.
Chia sẻ bởi chính tác giả - thầy Nguyễn Thành Nhân, GV THPT chuyên Hùng Vương, Bình Dương.
Các bài toán hình giải tích trong mặt phẳng Oxy liên quan đến trực tâm tam giác của Nguyễn Trường Sơn, GV THPT chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình. Tài liệu thuộc mục chuẩn bị cho kì thi Tốt nghiệp THPT và thi vào Đại học trên Toán học Tuổi trẻ tháng 11 năm 2014.
Tiếp theo Phần 1: Bài toán chia ba một góc
Bài toán cầu phương hình tròn được phát biểu rằng: Chỉ dùng thước thẳng và compa, có thể dựng được một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn cho trước hay không? Đôi khi nó còn được gọi là bài toán biến tròn thành vuông (hóa viên vi phương).
Những cố gắng thời cổ đại
Người nghiên cứu bài toán này sớm nhất là nhà học giả Anaxagaras (khoảng 499 – 427 trước Công nguyên) người Hi Lạp cổ đại. Lúc đó tệ mê tín rất thịnh hành nhưng ông lại không tin vào thần thánh. Trong thần thoại Hi Lạp thì Apolo là vị thần Mặt Trời, nhưng Anaxagaras lại cho rằng Mặt Trời không phải là thần, mà chỉ là một quả cầu lửa. Do vậy, ông đã bị gán cho tội “bất kính thần thánh” và bị bắt giam.
Trong nhà ngục, một tayAnaxagaras cầm cây gỗ, một tay cầm đây, đo tới đo lui. Nhà ngục đã hạn chế hành động của ông nhưng không thể buộc ông ngừng suy nghĩ. Ông tìm cách vẽ được hình vuông mà diện tích của nó đúng bằng diện tích của một hình tròn cho trước. Tuy vậy, những gì ông đã nghiên cứu được thì ngày nay vẫn chưa ai biết được. Chỉ biết rằng, cho đến khi tạ thế, Anaxagaras vẫn không giải được bài toán cầu phương hình tròn.
Sau khi Anaxagaras không còn nữa, bài toán “biến tròn thành vuông” được lan truyền rộng rãi hơn và hấp dẫn nhiều nhà nghiên cứu, đến mức ở Hi Lạp cổ đại đã xuất hiện một chuyên đề với tên Hiến thân cho bài toán cầu phương hình tròn.
Hippocrâtes ở Chios đã thành công trong việc cầu phương một số những Mặt trăng đặc biệt hoặc những hình vẽ có dạng Mặt Trăng được giới hạn bởi hai cung tròn, có lẽ với hi vọng rằng việc nghiên cứu đó có thể dẫn đến cách cầu phương hình tròn. Hippocrates đã khẳng định phần được tô đậm (gọi là hình trăng khuyết) có diện tích bằng diện tích tam giác ABC.
Không chỉ có Anaxagaras bị thất bại, mà không biết bao nhiêu người trong suốt hơn 1000 năm sau đó cũng chưa giải được bài toán này, có cả Leonardo de Vinci người Italia.
Từ số pi đến tính không giải được...
Số π là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số chu vi đường tròn chia cho đường kính của đường tròn đó. Từ xa xưa, người ta đã nhận thấy tỉ số này nhỉnh hơn 3 một chút và ngày nay, học sinh thường dùng trị số 3,1416. Người thợ mộc, thợ rừng xưa chỉ cần lấy một sợi dây, đánh vòng quanh thân cây hoặc một cái cột rồi chia làm 3 là có được trị số gần đúng của đường kính của cái cây hay cái cột. Thế nhưng, trị số đúng của số đó là bao nhiều?
Suốt hơn 2000 năm khoa học vẫn còn đang tính tiếp những con số lẻ của nó. Đó là vì trước hết số pi gồm một dãy số lẻ dài vô tận và không tuần hoàn. Một phân số như 1/3 cũng cho ta thấy một dãy số lẻ đến vô hạn nhưng tuần hoàn với một dẫy số 3 liên tiếp: 1/3= 0,(3). Phân số 1/7 cho ta thấy rõ nét hơn một chút chu kỳ tuần hoàn gồm 6 con số khác nhau: 1/7= 0, 142857 142857 142857.... Nhưng số Pi là một dãy số lẻ vô hạn và không tuần hoàn. Sau đây là trị số của pi với 25 số lẻ đầu tiên: pi = 3, 14159 26535 89793 23846 26344...
Người ta có thể hỏi, trên đây mới chỉ là một ít số lẻ của pi, làm sao có thể biết rằng ở chuỗi số lẻ tiếp theo lại không thể đến một lúc nào đó sẽ gặp một chu kỳ tuần hoàn? Năm 1776, nhà toán học Pháp Jean Henri Lambert (1728- 1777) đã chứng minh rằng Pi là một số vô tỉ, nghĩa là π sẽ gồm một chuỗi số lẻ thập phân vô hạn và không tuần hoàn.
Mặc dù vậy, người ta vẫn muốn nhìn tận mắt thấy dãy số lẻ đó như thế nào. Năm 1874, nhà toán học Anh William Shanks đã tính được π với 707 số lẻ. Đó là một kỷ lục thời đó, đến nay vẫn chưa ai phá nổi với cách tính bằng tay, không nhờ sự trợ giúp nào của máy tính. Và 707 số lẻ này, người ta không thấy một sự tuần hoàn nào và các con số xuất hiện một cách ngẫu nhiên, không theo một quy tắc nào. Con số π với dãy sỗ lẻ đó đã được trưng bày thành bốn vòng số ở lâu đài Phát minh ở Paris (Pháp). Còn ngày nay, máy tính đã cho phép tính tới 51 tỷ số lẻ của pi.
Như vậy, ta sẽ không thể tìm một trị số chính xác cho diện tích vòng tròn là πr^2, từ đó không thể tính được cạnh hình vuông có diện tích bằng đúng diện tích hình tròn đã cho.
Nhưng với một thủ thuật khéo léo (bằng thước và compa), liệu có thể làm được điều đó không?
Năm 1882, nhà toán học Ferdinand Lindemann (1852- 1919) đã chứng minh π cũng như số e (~ 2, 718281828459045...) là một số siêu việt, tức là số không thể là nghiệm của một phương trình đại số với hệ số nguyên nào cả. Và điều đó đồng nghĩa với việc không thể dựng được hình vuông trong bài toán cầu phương hình tròn.
... và các bài toán dạng cầu phương mở rộng
Người Hi Lạp cổ đại cũng xét một bài toán tương tự là dùng thước kẻ và compa chia một đa giác cho trước ra thành các phần rời nhau sao cho có thể ghép các phần này lại thành một hình vuông. Tuy nhiên bài toán này cũng không thể giải được với mọi đa giác, thí dụ như một đa giác đều bảy cạnh. Nếu ta bỏ điều kiện dùng thước kẻ và compa thì sao? Điều này có nghĩa là ta có thể dùng mọi công cụ toán học để xác định các phần cần chia. Với giả thiết này, năm 1807 Wallace đã chứng minh được rằng có thể chia mọi đa giác này thành hình vuông. Kết quả này ngày nay được gọi là định lí Wallace-Bolyai-Gerwien.
Xuất phát từ kết quả trên năm 1925 Tarski đã phát biểu lại bài toán cầu phương hình tròn như sau:
Hãy chia môt hình tròn cho trước thành các tập hợp điểm khác nhau sao cho có thể ghép các tập hợp điểm này thành một hình vuông mà vẫn giữ nguyên khoảng cách giữa các điểm của mỗi tập hợp. Các tập hợp điểm ở đây không nhất thiết là phải hữu hạn và liên thông với nhau. Giả thiết mới của bài toán yếu hơn rất nhiều so với việc chia hình bằng thước và compa hay dùng kéo một cách đơn thuần, tuy rằng nó đã vượt ra ngoài phạm vi toán học phổ thông. Lúc đầu ai cũng nghĩ bài toán này đơn giản thôi. Nhưng cũng phải hơn 60 năm sau (1989) nhà toán học Hungari Laczcovich mới tìm được lời giải qua việc sử dụng nhiều kết quả của nhiều lĩnh vực khác nhau như: lí thuyết tập hợp, lí thuyết đồ thị, lí thuyết độ đo và số học.
Vẫn còn tồn tại nhiều vấn đề lạ lùng liên quan đến việc cầu phương hình tròn chưa được giải quyết. Thí dụ như hình vuông cầu phương hình tròn theo kiểu Tarski có cùng diện tích của hình tròn không? Vấn đề là ở chỗ một tập hợp điểm có thể không có diện tích nhưng khi ghép nhiều tập hợp điểm như vậy với nhau có thể cho ta một tập hợp mới có diện tích. Do đó phép chia và ghép các tập hợp không nhất thiết giữ nguyên diện tích. Một vấn đề khác cũng chưa giải quyết được là liệu có thể chia một tập hợp mở trong mặt phẳng ra thành các tập hợp con khác sao cho có thể ghép chúng lại thành một đường thẳng. Toán học thật kì diệu.
Hết phần 2.
Bài toán cầu phương hình tròn được phát biểu rằng: Chỉ dùng thước thẳng và compa, có thể dựng được một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn cho trước hay không? Đôi khi nó còn được gọi là bài toán biến tròn thành vuông (hóa viên vi phương).
Người nghiên cứu bài toán này sớm nhất là nhà học giả Anaxagaras (khoảng 499 – 427 trước Công nguyên) người Hi Lạp cổ đại. Lúc đó tệ mê tín rất thịnh hành nhưng ông lại không tin vào thần thánh. Trong thần thoại Hi Lạp thì Apolo là vị thần Mặt Trời, nhưng Anaxagaras lại cho rằng Mặt Trời không phải là thần, mà chỉ là một quả cầu lửa. Do vậy, ông đã bị gán cho tội “bất kính thần thánh” và bị bắt giam.
Trong nhà ngục, một tayAnaxagaras cầm cây gỗ, một tay cầm đây, đo tới đo lui. Nhà ngục đã hạn chế hành động của ông nhưng không thể buộc ông ngừng suy nghĩ. Ông tìm cách vẽ được hình vuông mà diện tích của nó đúng bằng diện tích của một hình tròn cho trước. Tuy vậy, những gì ông đã nghiên cứu được thì ngày nay vẫn chưa ai biết được. Chỉ biết rằng, cho đến khi tạ thế, Anaxagaras vẫn không giải được bài toán cầu phương hình tròn.
Sau khi Anaxagaras không còn nữa, bài toán “biến tròn thành vuông” được lan truyền rộng rãi hơn và hấp dẫn nhiều nhà nghiên cứu, đến mức ở Hi Lạp cổ đại đã xuất hiện một chuyên đề với tên Hiến thân cho bài toán cầu phương hình tròn.
Hippocrâtes ở Chios đã thành công trong việc cầu phương một số những Mặt trăng đặc biệt hoặc những hình vẽ có dạng Mặt Trăng được giới hạn bởi hai cung tròn, có lẽ với hi vọng rằng việc nghiên cứu đó có thể dẫn đến cách cầu phương hình tròn. Hippocrates đã khẳng định phần được tô đậm (gọi là hình trăng khuyết) có diện tích bằng diện tích tam giác ABC.
Không chỉ có Anaxagaras bị thất bại, mà không biết bao nhiêu người trong suốt hơn 1000 năm sau đó cũng chưa giải được bài toán này, có cả Leonardo de Vinci người Italia.
Từ số pi đến tính không giải được...
Số π là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số chu vi đường tròn chia cho đường kính của đường tròn đó. Từ xa xưa, người ta đã nhận thấy tỉ số này nhỉnh hơn 3 một chút và ngày nay, học sinh thường dùng trị số 3,1416. Người thợ mộc, thợ rừng xưa chỉ cần lấy một sợi dây, đánh vòng quanh thân cây hoặc một cái cột rồi chia làm 3 là có được trị số gần đúng của đường kính của cái cây hay cái cột. Thế nhưng, trị số đúng của số đó là bao nhiều?
Suốt hơn 2000 năm khoa học vẫn còn đang tính tiếp những con số lẻ của nó. Đó là vì trước hết số pi gồm một dãy số lẻ dài vô tận và không tuần hoàn. Một phân số như 1/3 cũng cho ta thấy một dãy số lẻ đến vô hạn nhưng tuần hoàn với một dẫy số 3 liên tiếp: 1/3= 0,(3). Phân số 1/7 cho ta thấy rõ nét hơn một chút chu kỳ tuần hoàn gồm 6 con số khác nhau: 1/7= 0, 142857 142857 142857.... Nhưng số Pi là một dãy số lẻ vô hạn và không tuần hoàn. Sau đây là trị số của pi với 25 số lẻ đầu tiên: pi = 3, 14159 26535 89793 23846 26344...
Người ta có thể hỏi, trên đây mới chỉ là một ít số lẻ của pi, làm sao có thể biết rằng ở chuỗi số lẻ tiếp theo lại không thể đến một lúc nào đó sẽ gặp một chu kỳ tuần hoàn? Năm 1776, nhà toán học Pháp Jean Henri Lambert (1728- 1777) đã chứng minh rằng Pi là một số vô tỉ, nghĩa là π sẽ gồm một chuỗi số lẻ thập phân vô hạn và không tuần hoàn.
Mặc dù vậy, người ta vẫn muốn nhìn tận mắt thấy dãy số lẻ đó như thế nào. Năm 1874, nhà toán học Anh William Shanks đã tính được π với 707 số lẻ. Đó là một kỷ lục thời đó, đến nay vẫn chưa ai phá nổi với cách tính bằng tay, không nhờ sự trợ giúp nào của máy tính. Và 707 số lẻ này, người ta không thấy một sự tuần hoàn nào và các con số xuất hiện một cách ngẫu nhiên, không theo một quy tắc nào. Con số π với dãy sỗ lẻ đó đã được trưng bày thành bốn vòng số ở lâu đài Phát minh ở Paris (Pháp). Còn ngày nay, máy tính đã cho phép tính tới 51 tỷ số lẻ của pi.
Như vậy, ta sẽ không thể tìm một trị số chính xác cho diện tích vòng tròn là πr^2, từ đó không thể tính được cạnh hình vuông có diện tích bằng đúng diện tích hình tròn đã cho.
Nhưng với một thủ thuật khéo léo (bằng thước và compa), liệu có thể làm được điều đó không?
Năm 1882, nhà toán học Ferdinand Lindemann (1852- 1919) đã chứng minh π cũng như số e (~ 2, 718281828459045...) là một số siêu việt, tức là số không thể là nghiệm của một phương trình đại số với hệ số nguyên nào cả. Và điều đó đồng nghĩa với việc không thể dựng được hình vuông trong bài toán cầu phương hình tròn.
... và các bài toán dạng cầu phương mở rộng
Người Hi Lạp cổ đại cũng xét một bài toán tương tự là dùng thước kẻ và compa chia một đa giác cho trước ra thành các phần rời nhau sao cho có thể ghép các phần này lại thành một hình vuông. Tuy nhiên bài toán này cũng không thể giải được với mọi đa giác, thí dụ như một đa giác đều bảy cạnh. Nếu ta bỏ điều kiện dùng thước kẻ và compa thì sao? Điều này có nghĩa là ta có thể dùng mọi công cụ toán học để xác định các phần cần chia. Với giả thiết này, năm 1807 Wallace đã chứng minh được rằng có thể chia mọi đa giác này thành hình vuông. Kết quả này ngày nay được gọi là định lí Wallace-Bolyai-Gerwien.
 |
| Minh họa định lí Wallace–Bolyai–Gerwien |
Hãy chia môt hình tròn cho trước thành các tập hợp điểm khác nhau sao cho có thể ghép các tập hợp điểm này thành một hình vuông mà vẫn giữ nguyên khoảng cách giữa các điểm của mỗi tập hợp. Các tập hợp điểm ở đây không nhất thiết là phải hữu hạn và liên thông với nhau. Giả thiết mới của bài toán yếu hơn rất nhiều so với việc chia hình bằng thước và compa hay dùng kéo một cách đơn thuần, tuy rằng nó đã vượt ra ngoài phạm vi toán học phổ thông. Lúc đầu ai cũng nghĩ bài toán này đơn giản thôi. Nhưng cũng phải hơn 60 năm sau (1989) nhà toán học Hungari Laczcovich mới tìm được lời giải qua việc sử dụng nhiều kết quả của nhiều lĩnh vực khác nhau như: lí thuyết tập hợp, lí thuyết đồ thị, lí thuyết độ đo và số học.
Vẫn còn tồn tại nhiều vấn đề lạ lùng liên quan đến việc cầu phương hình tròn chưa được giải quyết. Thí dụ như hình vuông cầu phương hình tròn theo kiểu Tarski có cùng diện tích của hình tròn không? Vấn đề là ở chỗ một tập hợp điểm có thể không có diện tích nhưng khi ghép nhiều tập hợp điểm như vậy với nhau có thể cho ta một tập hợp mới có diện tích. Do đó phép chia và ghép các tập hợp không nhất thiết giữ nguyên diện tích. Một vấn đề khác cũng chưa giải quyết được là liệu có thể chia một tập hợp mở trong mặt phẳng ra thành các tập hợp con khác sao cho có thể ghép chúng lại thành một đường thẳng. Toán học thật kì diệu.
Hết phần 2.
Phép dựng hình bằng compa và thước kẻ là phép dựng các độ dài, góc, và các hình hình học khác bằng cách chỉ sử dụng một thước kẻ thẳng lý tưởng và compa. Ba bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa nổi tiếng nhất là:
1) Bài toán chia 1 góc thành 3 phần bằng nhau.
2) Bài toán cầu phương hình tròn
3) Bài toán gấp đôi hình lập phương
Trong bài viết này ta tìm hiểu về bài toán chia 1 góc bất kỳ thành 3 phần bằng nhau. Chia đôi một góc đã cho bằng cách chỉ sử dụng một cặp com-pa và một cạnh thẳng là một việc dễ dàng. Thế nhưng, chia ba góc-tức chia nó thành ba phần bằng nhau, trong nhiều trường hợp điều đó không thể nào làm được.
Chia đôi một góc
Nếu chúng ta có 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm O và chúng ta muốn chia đôi góc tạo bởi hai đường thẳng đó, dưới đây là cách làm việc đó.
Đặt chân com-pa tại O và vẽ một đường tròn ( bán kính tùy thích ). Đó chính là cung tròn màu xanh dương trong hình vẽ.Đường tròn sẽ cắt hai đường thẳng tại hai điểm: gọi chúng là A và B.
Bây giờ thì hãy đặt chân com-pa tại A và vẽ một đường tròn, như trong hình vẽ. Không thay đổi bán kính của com-pa, di chuyển nó sang B và vẽ một cung tròn khác. Đó là những cung màu đỏ trong hình vẽ.Nối giao điểm P của hai cung tròn với O bằng cạnh thẳng (đường thẳng màu xanh lá trong hình vẽ), và ta có góc POB chính bằng 1/2 góc AOB. Nếu hai cung tròn không cắt nhau, tất nhiên bạn cần phải vẽ hai đường tròn lớn hơn.
Bạn có thể chứng minh rằng thủ thuật này đúng bằng cách sử dụng các hình tam giác bằng nhau không? Những người Hy Lạp cổ đại chắc chắn biết cách làm việc này.
Chia ba một góc
Việc chia ba một góc thì sao? Tại sao nó lại khó? Có một số trường hợp tam giác đặc biệt có thể làm được, ví dụ như góc π/2 (90 độ). Đối với trường hợp tổng quát, người Hy Lạp vẫn không thể nghĩ ra được cách làm mặc nhiều đã mất rất nhiều công sức để giải quyết vấn đề này.
Chia ba một góc tùy ý có thể thực hiện được nếu như bạn "ăn gian" bằng cách sử dụng thước đo thay vì một cạnh thẳng đơn giản (bạn có thể tiềm hiểu cách làm trong trang hỏi đáp sci.math), hoặc ngay cả khi bạn chỉ cần vẽ hai điểm nhỏ trên cạnh thẳng của bạn. Tuy nhiên để "chơi đúng luật", bạn không được để bất kì dấu vết nào trên cạnh thẳng - nó phải hoàn toàn trống.
Vấn đề liệu việc chia góc làm ba phần bằng nhau có thể được thực hiện trong trường hợp tổng quát hay không vẫn là một bí ẩn toán học trong hàng thiên niên kỉ - vào năm 1837 điều đó được chứng minh là không thể bởi Pierre Wantzel, một nhà toán học người Pháp và chuyên gia về số học. Đây là một thành tựu tuyệt vời đôi với một người đàn ông 23 tuổi, người mà sau đó qua đời khi còn rất trẻ ở tuổi 33.
Vậy tại sao lại không thể? Pierre cho thấy rằng hai vấn đề chia một góc làm ba phần bằng nhau và giải quyết một phương trình bậc ba là như nhau. Hơn nữa, ông cho thấy rằng chỉ có một số ít phương trình bậc ba có thể giải quyết được bằng phương pháp cạnh thẳng - com-pa, hầu hết đều không thể. Do đó ông đã suy luận rằng hầu hết các góc đều không thể chia làm ba được.
Tuy nhiên, việc chia ba một góc một cách gần đúng được mô tả bởi Steinhaus trong cuốn Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. (trước đó nó được môt tả bởi Wazewski 1945; và Peterson, G. "Approximation to an Angle Trisection." Two-Year Coll. Math. J. 14, 166-167, 1983.).
Bí ẩn thật sự
Mặc dù thực tế rằng chứng minh của Wantzel có nghĩa bây giờ chúng ta biết rằng không thể chia ba một góc tổng quát, thế nhưng mọi người vẫn tiếp tục cố gắng. Viện Toán học trụ sở của tờ PASS Maths đã nhận được những lá thư khá nghiêm trọng từ các cá nhân những người nghĩ rằng họ đã giải mã được vấn đề, cung cấp cho những người nổi tiếng trong viện cơ hội để "mua" các "bằng chứng" (đôi khi bằng một số tiền lớn). Một bức thư thậm chí bỏ một vài trang bằng chứng trên cơ sở đảm bảo quyền tác giả của người viết.
Không cần phải nói, tất cả các cái gọi là bằng chứng trên chứa nhiều sai sót và vô giá trị. Nếu những người này muốn thuyết phục bất kì ai rằng có thể chia một góc làm ba phần bằng nhau thì thời gian đó tốt hơn họ dành để cố gắng tìm kiếm một lỗi sai trong chứng minh của Wantzel. Bí ẩn thực sự ở đây là tại sao mọi người lại tiếp tục cố gắng giải quyết vấn đề của một bằng chứng bất khả thi. Bạn trả lời điều đó thế nào?
Hết phần 1.
1) Bài toán chia 1 góc thành 3 phần bằng nhau.
2) Bài toán cầu phương hình tròn
3) Bài toán gấp đôi hình lập phương
Trong bài viết này ta tìm hiểu về bài toán chia 1 góc bất kỳ thành 3 phần bằng nhau. Chia đôi một góc đã cho bằng cách chỉ sử dụng một cặp com-pa và một cạnh thẳng là một việc dễ dàng. Thế nhưng, chia ba góc-tức chia nó thành ba phần bằng nhau, trong nhiều trường hợp điều đó không thể nào làm được.
Chia đôi một góc
Nếu chúng ta có 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm O và chúng ta muốn chia đôi góc tạo bởi hai đường thẳng đó, dưới đây là cách làm việc đó.
Đặt chân com-pa tại O và vẽ một đường tròn ( bán kính tùy thích ). Đó chính là cung tròn màu xanh dương trong hình vẽ.Đường tròn sẽ cắt hai đường thẳng tại hai điểm: gọi chúng là A và B.
Bây giờ thì hãy đặt chân com-pa tại A và vẽ một đường tròn, như trong hình vẽ. Không thay đổi bán kính của com-pa, di chuyển nó sang B và vẽ một cung tròn khác. Đó là những cung màu đỏ trong hình vẽ.Nối giao điểm P của hai cung tròn với O bằng cạnh thẳng (đường thẳng màu xanh lá trong hình vẽ), và ta có góc POB chính bằng 1/2 góc AOB. Nếu hai cung tròn không cắt nhau, tất nhiên bạn cần phải vẽ hai đường tròn lớn hơn.
Bạn có thể chứng minh rằng thủ thuật này đúng bằng cách sử dụng các hình tam giác bằng nhau không? Những người Hy Lạp cổ đại chắc chắn biết cách làm việc này.
Chia ba một góc
Việc chia ba một góc thì sao? Tại sao nó lại khó? Có một số trường hợp tam giác đặc biệt có thể làm được, ví dụ như góc π/2 (90 độ). Đối với trường hợp tổng quát, người Hy Lạp vẫn không thể nghĩ ra được cách làm mặc nhiều đã mất rất nhiều công sức để giải quyết vấn đề này.
 |
| Chia ba một góc bằng thước kẻ có đánh dấu |
Chia ba một góc tùy ý có thể thực hiện được nếu như bạn "ăn gian" bằng cách sử dụng thước đo thay vì một cạnh thẳng đơn giản (bạn có thể tiềm hiểu cách làm trong trang hỏi đáp sci.math), hoặc ngay cả khi bạn chỉ cần vẽ hai điểm nhỏ trên cạnh thẳng của bạn. Tuy nhiên để "chơi đúng luật", bạn không được để bất kì dấu vết nào trên cạnh thẳng - nó phải hoàn toàn trống.
Vấn đề liệu việc chia góc làm ba phần bằng nhau có thể được thực hiện trong trường hợp tổng quát hay không vẫn là một bí ẩn toán học trong hàng thiên niên kỉ - vào năm 1837 điều đó được chứng minh là không thể bởi Pierre Wantzel, một nhà toán học người Pháp và chuyên gia về số học. Đây là một thành tựu tuyệt vời đôi với một người đàn ông 23 tuổi, người mà sau đó qua đời khi còn rất trẻ ở tuổi 33.
Vậy tại sao lại không thể? Pierre cho thấy rằng hai vấn đề chia một góc làm ba phần bằng nhau và giải quyết một phương trình bậc ba là như nhau. Hơn nữa, ông cho thấy rằng chỉ có một số ít phương trình bậc ba có thể giải quyết được bằng phương pháp cạnh thẳng - com-pa, hầu hết đều không thể. Do đó ông đã suy luận rằng hầu hết các góc đều không thể chia làm ba được.
Tuy nhiên, việc chia ba một góc một cách gần đúng được mô tả bởi Steinhaus trong cuốn Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. (trước đó nó được môt tả bởi Wazewski 1945; và Peterson, G. "Approximation to an Angle Trisection." Two-Year Coll. Math. J. 14, 166-167, 1983.).
 |
| Xấp xỉ chia ba một góc |
Mặc dù thực tế rằng chứng minh của Wantzel có nghĩa bây giờ chúng ta biết rằng không thể chia ba một góc tổng quát, thế nhưng mọi người vẫn tiếp tục cố gắng. Viện Toán học trụ sở của tờ PASS Maths đã nhận được những lá thư khá nghiêm trọng từ các cá nhân những người nghĩ rằng họ đã giải mã được vấn đề, cung cấp cho những người nổi tiếng trong viện cơ hội để "mua" các "bằng chứng" (đôi khi bằng một số tiền lớn). Một bức thư thậm chí bỏ một vài trang bằng chứng trên cơ sở đảm bảo quyền tác giả của người viết.
Không cần phải nói, tất cả các cái gọi là bằng chứng trên chứa nhiều sai sót và vô giá trị. Nếu những người này muốn thuyết phục bất kì ai rằng có thể chia một góc làm ba phần bằng nhau thì thời gian đó tốt hơn họ dành để cố gắng tìm kiếm một lỗi sai trong chứng minh của Wantzel. Bí ẩn thực sự ở đây là tại sao mọi người lại tiếp tục cố gắng giải quyết vấn đề của một bằng chứng bất khả thi. Bạn trả lời điều đó thế nào?
Hết phần 1.
Ra đời từ thế kỷ thứ III trước Công nguyên, ngày nay, hình học Euclid vẫn được sử dụng rộng rãi trong các trường học trên toàn thế giới. Hệ tiên đề của Euclid gồm 23 định nghĩa, 5 tiên đề và 5 định đề, được coi là mẫu mực về cách xây dựng một lý thuyết trong khoa học.
Năm 12 tuổi, khi được tặng cuốn sách này, nhà bác học tương lai Albert Einstein đã nhận xét rằng "Sự sáng sủa và chắc chắn đó đã mang lại cho tôi một ấn tượng khó tả". Về sau, ông khuyên tất cả những ai muốn đi theo con đường nghiên cứu khoa học nên đọc kỹ nó.
Trong hệ tiên đề của hình học Euclid, định đề V về đường thẳng song song gây ra sự hoài nghi của nhiều thế hệ các nhà toán học. Nội dung của nó được thể hiện qua hình vẽ: Nếu tổng hai góc a và b nhỏ hơn 180 độ thì hai đường thẳng x và y sẽ cắt nhau. Sự hoài nghi tập trung ở điểm: Có thể chứng minh được định đề V này hay không? Nhiều người đã cố công tìm cách chứng minh. Trong hơn 2000 năm, biết bao tài năng toán học dành cả đời mình cho định đề này nhưng đều thất bại.
Đến thế kỷ XIX, đồng thời cả 3 nhà toán học ở Châu Âu độc lập với nhau cùng giải quyết được định đề này, theo cùng một hướng là phủ định định đề V. Bao công lao tìm cách giải bài toán trước đó đều lãng phí vô ích vì lý thuyết mới khẳng định không thể chứng minh được. Ở đây, có một điều gần như là chân lý trong khoa học: Trình độ khám phá khoa học của loài người nói chung là như nhau với mọi nền văn minh, nếu ở đâu đó có người khám phá được một kết quả khoa học mới thì ở một vùng rất xa nó, cũng sẽ có người khác tìm ra, chỉ nhanh chậm hơn nhau một vài năm mà thôi. Điều này làm cho ngày nay một số định lý, định luật phải lấy tên của hai đến ba nhà khoa học khác nhau hoặc tên gọi khác nhau ở từng quốc gia.
Trở lại với ba nhà toán học đã cùng phủ định định đề V. Người đầu tiên sau này nhân loại công nhận là Carl Friedrich Gauss, một nhà bác học vĩ đại người Đức. Trong thư gửi Tolinos, một người bạn của mình năm 1824, ông đã khẳng định: "Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 180 độ, giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng". Cũng trong một bức thư khác gửi Frants Adonf Taurinus, ông cũng chứng tỏ mình hiểu rõ các ý niệm quan trọng, tuy rời rạc, của hình học phi Euclid. Sau này, ông cũng khẳng định trong thư gửi F. Bolyai rằng ông đã tìm hiểu và khám phá hình học này trong hơn 30 năm. Tiếc rằng ông đã không công bố nó. Vì sao?
Chuyện kể rằng, vào năm 1823, Earkas Bolyai (1775 - 1858) đã viết thư cho người con trai là Janos Bolyai (1802 - 1860) người Hungary rằng : “Con đừng đi vào con đường mà bố đã đi, đừng nhảy vào “hang không đáy” đã nuốt hết trí tuệ, tinh lực và tâm huyết của bố”.
Đây là lời khuyên từ đáy lòng, từ trách nhiệm của người bố đã suốt cả cuộc đời nghiên cứu Định đề 5 của Euclide mà không thành công. Khi biết con mình yêu thích nghiên cứu “lí thuyết các đường song song” thì F. Bolyai đã rất sợ hãi và đã viết cho con mình (trong một bức thư khác) như sau: “Con sẽ không thể nào chiến thắng được lí thuyết các đường song song bằng con đường ấy. Bố đã đi đến cuối con đường ấy và đã lạc vào một đêm đen dày đặc, một tia sáng của ngọn nến cũng không có và đã chôn vùi đó bao niềm hạnh phúc của đời mình. Khi lao vào các học thuật cô quạnh về các đường song song, con sẽ chẳng còn gì cả. Con hãy lẩn tránh nó như lẫn tránh những dục vọng thấp hèn, nó sẽ làm hao mòn sức lực của con, cướp đi sự an nhàn, quấy đảo sự yên tĩnh và sẽ giết chết những niềm vui của cuộc sống. Bóng tối mịt mùng sẽ nuốt chửng cả những chòi tháp khổng lồ và sẽ chẳng có lóe sáng trên trái đất tối tăm: Chẳng bao giờ con người có thể đạt tới một sự thực hoàn mỹ ngay chính trong hình học. Chúa trời hãy cứu vớt con khói những ham mê con ôm ấp...”.
Nhưng F. Bolyai không ngờ rằng câu nói của chính ông trước đây đã làm J. Bolyai bị thu hút vào vấn đề này (câu nói đó có nội dung như sau : “Ai chứng minh được tiên đề về các đường thẳng song song, người đó sẽ sáng ngời như một viên kim cương to bằng Trái Đất”). Và chàng J. Bolyai trẻ tuổi đã không vì những lời cảnh báo của bố mình mà lùi bước, Tránh những thất bại của những người đi trước, J. Bolyai đã đi theo con đường của riêng mình. Ông đã không tìm cách chứng minh Định đề 5 của Euclide mà đã xét nó như một tiên đề độc lập. Và khi phủ định Định đề 5 của Euclide, J. Bolyai đã xây dựng được một hệ thống hình học mới (mà về sau còn được gọi là Hình học phi Euclide). Các kết quả về hình học này của ông cũng phong phú và những chứng minh của ông rất hoàn thiện.
Định đề 5 của Eclide được phát biểu trong cuốn “nguyên lí” như sau: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai góc vuông thì khi kéo dài vô hạn hai đường thẳng này, chúng sẽ cắt nhau về phía hai góc đó
J. Bolyai là một nhà toán học thiên tài, nhưng bị đố kị, chê bai và bị cả những điều đơm đặt về ông. Cuộc sống cửa J. Bolyai luôn bị bọn quý tộc chèn ép, bao vây cả về tinh thần lẫn vật chất. Người bồ chính là một nhà toán học đầy tâm huyết và rất thương con, nhưng từ bài học sai lầm rút ra từ chính cuộc đời nghiên cứu toán học của mình, F. Bolyai đã vô tình trở thành vật cản của con trên con đường tìm tòi, sáng tạo.
Năm 1831, J. Bolyai đã công bố công trình của mình dưới dạng phụ lục ở mỗi cuốn sách của bố mình. Phụ lục trình bày học thuyết tuyệt đối đúng về không gian”. F. Bolyai đã viết thư cho.Can Friedrick Gauss (1777 - 1855), đề nghị Gauss cho nhận xét về công trình nghiên cứu của J. Bolyai.
Trong thư trả lời, Gauss đã nói rằng ông không thể ngợi khen công trình đó, vì như thế tức là tự khen mình: Ông nói rằng tư tưởng của J. Bolyai trong phụ lục chính là tư tưởng của ông trong nhiều năm trước đây. Sau,đó, Gauss đã viết thư cho Goling với ý cho rằng nhà toán học trẻ tuổi J. Bolyai là một thiên tài.
Phải nói rằng lời đánh giá trên đây của nhà toán học lỗi lạc Gauss là hoàn toàn chân thực. Thật vậy, từ năm 1824, trong thư gửi cho người bạn là Tolinos, Gauss đã viết: “Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 1800 giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng. Và bức thư nổi tiếng mà Gauss đã gửi Flants Adonf Taurinus cũng chứng tỏ rằng, Gauss đã nắm được các ý niệm quan trọng của Hình học phi Euclide. Nhưng đó mới chỉ là những đoạn rời rạc, những phát kiến mặc dù đã rất sâu sắc. Tuy nhiên, lúc bấy giờ Gauss đã không công bố những kết quả nghiên cứu này của mình.
Thư trả lời của Gauss đã làm cho J. Bolyai có những hiểu lầm lớn. J. Bolyai nghĩ rằng Gauss, đã dùng uy danh của mình để cướp đi quyền phát minh về hệ thống hình học mới của ông. Vì thế, J. Bolyai rất đau lòng và đã thề rằng sẽ vứt bỏ mọi nghiên cứu toán học. Tháng 10 - 1848, J. Bollai đã được bố mình gửi cho luận văn : “Nghiên cứu về lí thuyết các đường song song” của N. I. Lobachevski, xuất bản bằng tiếng Đức năm 1840. J. Bolyai đã ngạc nhiên, vì thấy rằng N. I. Lobachevski cũng đã đi đến những kết quả giống như mình và J. Bolyai cũng rất khâm phục tài năng của N. I. Lobachevski.
Cùng thời với J. Bolyai, ở Cadan (Thủ đô của nước cộng hòa tự trị Tacta thuộc Liên Bang Nga), đã xuất hiện một ngôi sao sáng, đó là nhà toán học thiên tài Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792 - 1856). N. I. Lobachevski đã từng là giáo sư xuất xắc, Hiệu trưởng của Trường Đại học Tổng hợp Cadan. Ông đã tìm cách chứng minh rằng, từ các định đề và tiên đề khác của Hình học Euclide cổ điển, không thể suy ra Định đề 5.
Để chứng minh điều đó, ông đã giữ nguyên các định đề và tiên đề khác của Hình học Euclide cổ điển và thay thế Định đề 5 bằng một tiên đề phủ định của tiên đề Euclide, và do đó cũng là phủ định của Định đề 5. Ngày nay, tiên đề này được gọi là tiên đề Lobachevski. Tiên đề này có nội dung như sau : “Trong mặt phẳng, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho”. Rồi từ đó, Lobachevski đã xây dựng nên một hình học mới không có mâu thuẫn. Những kết quả của hình học mới này “trái mắt”, trái với trực quan hàng ngày của chúng ta, trái với hình học Euclide quen thuộc.
Ngày 11 - 2 - 1826, Lobachevski đã công bố kết quả của mình về Hình học phi Euclide trên diễn đàn Vật lí - Số học của Trường Đại học Tổng hợp Cadan. Sau đó, công trình nghiên cứu về Hình học phi Euclide của Lobachevski với tiêu đề “Về các cơ sở Hình học”, đã được đăng ở tờ báo “Thông báo Cadan” năm 1829. Còn công trình của J. Bolyai về Hình học phi Euclide được công bố vào năm 1831 (độc lập với Lobachevski). Ngày nay, chúng ta gọi Hình học phi Euclide (do Lobachevski và J. Bolyai đã độc lập với nhau và đồng thời tìm ra) là Hình học Lobachevski hoặc Hình học Lobachevski - Bolyai. Ngày 11 - 2 - 1826 được thế giới gọi là ngày ra đời của hình học này.
Trong thời đại của Lobachevski, hầu như không ai hiểu được tư tưởng của ông, nhiều người đã chế nhạo ông. Nhưng Lobachevski đã dũng cảm và tin tưởng phát triển hình học mới của mình. Ông đã kiên trì nghiên cứu và công bố công trình nghiên cứu của mình ngày càng chi tiết hơn, đầy đủ hơn. Một năm trước khi qua đời, Lobachevski đã bị mù. Khi đó ông còn đọc cho học trò của mình chép một công trình sáng tạo mới mang tên “Hình học phẳng”, trong đó ông đã chỉ rõ Hình học Euclide chỉ là trường hợp giới hạn của Hình học phi Euclide của ông. Lobachevski đã gửi công trình cuối cùng này cho Trường Đại học Tổng hợp Cadan - nơi cả cuộc đời sáng tạo của ông đã trôi qua ở đó.
Ngày 24 - 2 - 1856, Lobachevski đã qua đời, vài chục năm sau người ta mới công nhận toàn bộ những tư tưởng của ông.
Công trình nghiên cứu của Lobachevski và J. Bolyai về Hình học phi Euclide là một thành tựu vĩ đại của khoa học, đã mở ra một kỉ nguyên mới cửa Toán học, của Vật lí và của nhiều ngành khoa học khác có liên quan.
Vào năm 1882, nhà toán học H. J. Poincare đã xây dựng được một mô hình (gọi là mô hình Poincare) của Hình học Lobachevski phẳng, khi sử dụng các “vật liệu” lấy từ Hình học Euclide phẳng.
Trong mặt phẳng Euclide, lấy một đường thẳng x nằm ngang, chia mặt phẳng thành hai miền, mà ta gọi là “nửa trên” và “nửa dưới”. Ta có các quy ước sau đây về các khái niệm cơ bản của Hình học Lobachevski phẳng : “Điểm” là điểm Euclide thông thường thuộc “nửa trên” và không thuộc x; “Đường thẳng” là nửa đường tròn thông thường thuộc “nửa trên” và có tâm thuộc x, hoặc là tia thông thường thuộc nửa trên, có gốc thuộc x và vuông góc với x.
Tiếp tục, trong mô hình này, xác định rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản khác, mà cụ thể là các tương quan cơ bản sau đây: “thuộc”, “ở giữa”, “bằng nhau” (còn gọi là “toàn đẳng”), trong đó “thuộc” và “ở giữa” được hiểu như thông thường.
Người ta đã kiểm nghiệm tất cả các tiên đề của Hình học Lobachevski đổi với mô hình nêu trên, và thấy rằng mô hình đã thỏa mãn tất cả các tiên đề đó.
Thêm vào những điều ở trên, ta có định lí sau đây của Hình học Lobachevski: “Tổng ba góc trong của một tam giác thỏ hơn hai góc vuông”.
Việc xây dựng thành công mô hình của Hình học Lobachevski đã chứng minh:
a) Hình học Lobachevski là phi mâu thuẫn.
b) Từ các tiên đề khác của Hình học Euclide không thể suy ra được tiên đề Euclide.
Hình học Lobachevski không phải là Hình học phi Euclid duy nhất. Hình học Riemann theo nghĩa hẹp của Georg Friedrich Berhard Rienmann (1826 - 1866) người Đức cũng là Hình học phi Euclid. Để có được hệ tiên đề của Hình học Riemann nghĩa hẹp, phải thay đổi hệ tiên đề của Hình học Euclide nhiều hơn là những thay đổi mà Lobachevski đã thực hiện.
Ngoài các hình học vừa nêu, còn nhiều hình học khác, trong đó có Hình học fractal. Thuật ngữ fractal do nhà toán học Benoit Mandtelbrot người Pháp, gốc Ba Lan, đề nghị từ những năm 1970. Tuy mới ra đời nhưng hình học này đã phát triển nhanh chóng, gắn liền với đồ họa vi tính, có nhiều ứng dụng trong phân tích vá tổng hợp hình, trong việc xây dựng mô hình của các quá trình địa lí, quá trình sinh học
Năm 12 tuổi, khi được tặng cuốn sách này, nhà bác học tương lai Albert Einstein đã nhận xét rằng "Sự sáng sủa và chắc chắn đó đã mang lại cho tôi một ấn tượng khó tả". Về sau, ông khuyên tất cả những ai muốn đi theo con đường nghiên cứu khoa học nên đọc kỹ nó.
Trong hệ tiên đề của hình học Euclid, định đề V về đường thẳng song song gây ra sự hoài nghi của nhiều thế hệ các nhà toán học. Nội dung của nó được thể hiện qua hình vẽ: Nếu tổng hai góc a và b nhỏ hơn 180 độ thì hai đường thẳng x và y sẽ cắt nhau. Sự hoài nghi tập trung ở điểm: Có thể chứng minh được định đề V này hay không? Nhiều người đã cố công tìm cách chứng minh. Trong hơn 2000 năm, biết bao tài năng toán học dành cả đời mình cho định đề này nhưng đều thất bại.
Đến thế kỷ XIX, đồng thời cả 3 nhà toán học ở Châu Âu độc lập với nhau cùng giải quyết được định đề này, theo cùng một hướng là phủ định định đề V. Bao công lao tìm cách giải bài toán trước đó đều lãng phí vô ích vì lý thuyết mới khẳng định không thể chứng minh được. Ở đây, có một điều gần như là chân lý trong khoa học: Trình độ khám phá khoa học của loài người nói chung là như nhau với mọi nền văn minh, nếu ở đâu đó có người khám phá được một kết quả khoa học mới thì ở một vùng rất xa nó, cũng sẽ có người khác tìm ra, chỉ nhanh chậm hơn nhau một vài năm mà thôi. Điều này làm cho ngày nay một số định lý, định luật phải lấy tên của hai đến ba nhà khoa học khác nhau hoặc tên gọi khác nhau ở từng quốc gia.
Trở lại với ba nhà toán học đã cùng phủ định định đề V. Người đầu tiên sau này nhân loại công nhận là Carl Friedrich Gauss, một nhà bác học vĩ đại người Đức. Trong thư gửi Tolinos, một người bạn của mình năm 1824, ông đã khẳng định: "Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 180 độ, giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng". Cũng trong một bức thư khác gửi Frants Adonf Taurinus, ông cũng chứng tỏ mình hiểu rõ các ý niệm quan trọng, tuy rời rạc, của hình học phi Euclid. Sau này, ông cũng khẳng định trong thư gửi F. Bolyai rằng ông đã tìm hiểu và khám phá hình học này trong hơn 30 năm. Tiếc rằng ông đã không công bố nó. Vì sao?
Chuyện kể rằng, vào năm 1823, Earkas Bolyai (1775 - 1858) đã viết thư cho người con trai là Janos Bolyai (1802 - 1860) người Hungary rằng : “Con đừng đi vào con đường mà bố đã đi, đừng nhảy vào “hang không đáy” đã nuốt hết trí tuệ, tinh lực và tâm huyết của bố”.
Đây là lời khuyên từ đáy lòng, từ trách nhiệm của người bố đã suốt cả cuộc đời nghiên cứu Định đề 5 của Euclide mà không thành công. Khi biết con mình yêu thích nghiên cứu “lí thuyết các đường song song” thì F. Bolyai đã rất sợ hãi và đã viết cho con mình (trong một bức thư khác) như sau: “Con sẽ không thể nào chiến thắng được lí thuyết các đường song song bằng con đường ấy. Bố đã đi đến cuối con đường ấy và đã lạc vào một đêm đen dày đặc, một tia sáng của ngọn nến cũng không có và đã chôn vùi đó bao niềm hạnh phúc của đời mình. Khi lao vào các học thuật cô quạnh về các đường song song, con sẽ chẳng còn gì cả. Con hãy lẩn tránh nó như lẫn tránh những dục vọng thấp hèn, nó sẽ làm hao mòn sức lực của con, cướp đi sự an nhàn, quấy đảo sự yên tĩnh và sẽ giết chết những niềm vui của cuộc sống. Bóng tối mịt mùng sẽ nuốt chửng cả những chòi tháp khổng lồ và sẽ chẳng có lóe sáng trên trái đất tối tăm: Chẳng bao giờ con người có thể đạt tới một sự thực hoàn mỹ ngay chính trong hình học. Chúa trời hãy cứu vớt con khói những ham mê con ôm ấp...”.
Nhưng F. Bolyai không ngờ rằng câu nói của chính ông trước đây đã làm J. Bolyai bị thu hút vào vấn đề này (câu nói đó có nội dung như sau : “Ai chứng minh được tiên đề về các đường thẳng song song, người đó sẽ sáng ngời như một viên kim cương to bằng Trái Đất”). Và chàng J. Bolyai trẻ tuổi đã không vì những lời cảnh báo của bố mình mà lùi bước, Tránh những thất bại của những người đi trước, J. Bolyai đã đi theo con đường của riêng mình. Ông đã không tìm cách chứng minh Định đề 5 của Euclide mà đã xét nó như một tiên đề độc lập. Và khi phủ định Định đề 5 của Euclide, J. Bolyai đã xây dựng được một hệ thống hình học mới (mà về sau còn được gọi là Hình học phi Euclide). Các kết quả về hình học này của ông cũng phong phú và những chứng minh của ông rất hoàn thiện.
Định đề 5 của Eclide được phát biểu trong cuốn “nguyên lí” như sau: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai góc vuông thì khi kéo dài vô hạn hai đường thẳng này, chúng sẽ cắt nhau về phía hai góc đó
J. Bolyai là một nhà toán học thiên tài, nhưng bị đố kị, chê bai và bị cả những điều đơm đặt về ông. Cuộc sống cửa J. Bolyai luôn bị bọn quý tộc chèn ép, bao vây cả về tinh thần lẫn vật chất. Người bồ chính là một nhà toán học đầy tâm huyết và rất thương con, nhưng từ bài học sai lầm rút ra từ chính cuộc đời nghiên cứu toán học của mình, F. Bolyai đã vô tình trở thành vật cản của con trên con đường tìm tòi, sáng tạo.
Năm 1831, J. Bolyai đã công bố công trình của mình dưới dạng phụ lục ở mỗi cuốn sách của bố mình. Phụ lục trình bày học thuyết tuyệt đối đúng về không gian”. F. Bolyai đã viết thư cho.Can Friedrick Gauss (1777 - 1855), đề nghị Gauss cho nhận xét về công trình nghiên cứu của J. Bolyai.
Trong thư trả lời, Gauss đã nói rằng ông không thể ngợi khen công trình đó, vì như thế tức là tự khen mình: Ông nói rằng tư tưởng của J. Bolyai trong phụ lục chính là tư tưởng của ông trong nhiều năm trước đây. Sau,đó, Gauss đã viết thư cho Goling với ý cho rằng nhà toán học trẻ tuổi J. Bolyai là một thiên tài.
Phải nói rằng lời đánh giá trên đây của nhà toán học lỗi lạc Gauss là hoàn toàn chân thực. Thật vậy, từ năm 1824, trong thư gửi cho người bạn là Tolinos, Gauss đã viết: “Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 1800 giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúng ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng. Và bức thư nổi tiếng mà Gauss đã gửi Flants Adonf Taurinus cũng chứng tỏ rằng, Gauss đã nắm được các ý niệm quan trọng của Hình học phi Euclide. Nhưng đó mới chỉ là những đoạn rời rạc, những phát kiến mặc dù đã rất sâu sắc. Tuy nhiên, lúc bấy giờ Gauss đã không công bố những kết quả nghiên cứu này của mình.
Thư trả lời của Gauss đã làm cho J. Bolyai có những hiểu lầm lớn. J. Bolyai nghĩ rằng Gauss, đã dùng uy danh của mình để cướp đi quyền phát minh về hệ thống hình học mới của ông. Vì thế, J. Bolyai rất đau lòng và đã thề rằng sẽ vứt bỏ mọi nghiên cứu toán học. Tháng 10 - 1848, J. Bollai đã được bố mình gửi cho luận văn : “Nghiên cứu về lí thuyết các đường song song” của N. I. Lobachevski, xuất bản bằng tiếng Đức năm 1840. J. Bolyai đã ngạc nhiên, vì thấy rằng N. I. Lobachevski cũng đã đi đến những kết quả giống như mình và J. Bolyai cũng rất khâm phục tài năng của N. I. Lobachevski.
Cùng thời với J. Bolyai, ở Cadan (Thủ đô của nước cộng hòa tự trị Tacta thuộc Liên Bang Nga), đã xuất hiện một ngôi sao sáng, đó là nhà toán học thiên tài Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792 - 1856). N. I. Lobachevski đã từng là giáo sư xuất xắc, Hiệu trưởng của Trường Đại học Tổng hợp Cadan. Ông đã tìm cách chứng minh rằng, từ các định đề và tiên đề khác của Hình học Euclide cổ điển, không thể suy ra Định đề 5.
Để chứng minh điều đó, ông đã giữ nguyên các định đề và tiên đề khác của Hình học Euclide cổ điển và thay thế Định đề 5 bằng một tiên đề phủ định của tiên đề Euclide, và do đó cũng là phủ định của Định đề 5. Ngày nay, tiên đề này được gọi là tiên đề Lobachevski. Tiên đề này có nội dung như sau : “Trong mặt phẳng, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho”. Rồi từ đó, Lobachevski đã xây dựng nên một hình học mới không có mâu thuẫn. Những kết quả của hình học mới này “trái mắt”, trái với trực quan hàng ngày của chúng ta, trái với hình học Euclide quen thuộc.
Ngày 11 - 2 - 1826, Lobachevski đã công bố kết quả của mình về Hình học phi Euclide trên diễn đàn Vật lí - Số học của Trường Đại học Tổng hợp Cadan. Sau đó, công trình nghiên cứu về Hình học phi Euclide của Lobachevski với tiêu đề “Về các cơ sở Hình học”, đã được đăng ở tờ báo “Thông báo Cadan” năm 1829. Còn công trình của J. Bolyai về Hình học phi Euclide được công bố vào năm 1831 (độc lập với Lobachevski). Ngày nay, chúng ta gọi Hình học phi Euclide (do Lobachevski và J. Bolyai đã độc lập với nhau và đồng thời tìm ra) là Hình học Lobachevski hoặc Hình học Lobachevski - Bolyai. Ngày 11 - 2 - 1826 được thế giới gọi là ngày ra đời của hình học này.
Trong thời đại của Lobachevski, hầu như không ai hiểu được tư tưởng của ông, nhiều người đã chế nhạo ông. Nhưng Lobachevski đã dũng cảm và tin tưởng phát triển hình học mới của mình. Ông đã kiên trì nghiên cứu và công bố công trình nghiên cứu của mình ngày càng chi tiết hơn, đầy đủ hơn. Một năm trước khi qua đời, Lobachevski đã bị mù. Khi đó ông còn đọc cho học trò của mình chép một công trình sáng tạo mới mang tên “Hình học phẳng”, trong đó ông đã chỉ rõ Hình học Euclide chỉ là trường hợp giới hạn của Hình học phi Euclide của ông. Lobachevski đã gửi công trình cuối cùng này cho Trường Đại học Tổng hợp Cadan - nơi cả cuộc đời sáng tạo của ông đã trôi qua ở đó.
Ngày 24 - 2 - 1856, Lobachevski đã qua đời, vài chục năm sau người ta mới công nhận toàn bộ những tư tưởng của ông.
Công trình nghiên cứu của Lobachevski và J. Bolyai về Hình học phi Euclide là một thành tựu vĩ đại của khoa học, đã mở ra một kỉ nguyên mới cửa Toán học, của Vật lí và của nhiều ngành khoa học khác có liên quan.
Vào năm 1882, nhà toán học H. J. Poincare đã xây dựng được một mô hình (gọi là mô hình Poincare) của Hình học Lobachevski phẳng, khi sử dụng các “vật liệu” lấy từ Hình học Euclide phẳng.
Trong mặt phẳng Euclide, lấy một đường thẳng x nằm ngang, chia mặt phẳng thành hai miền, mà ta gọi là “nửa trên” và “nửa dưới”. Ta có các quy ước sau đây về các khái niệm cơ bản của Hình học Lobachevski phẳng : “Điểm” là điểm Euclide thông thường thuộc “nửa trên” và không thuộc x; “Đường thẳng” là nửa đường tròn thông thường thuộc “nửa trên” và có tâm thuộc x, hoặc là tia thông thường thuộc nửa trên, có gốc thuộc x và vuông góc với x.
Tiếp tục, trong mô hình này, xác định rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản khác, mà cụ thể là các tương quan cơ bản sau đây: “thuộc”, “ở giữa”, “bằng nhau” (còn gọi là “toàn đẳng”), trong đó “thuộc” và “ở giữa” được hiểu như thông thường.
Người ta đã kiểm nghiệm tất cả các tiên đề của Hình học Lobachevski đổi với mô hình nêu trên, và thấy rằng mô hình đã thỏa mãn tất cả các tiên đề đó.
Thêm vào những điều ở trên, ta có định lí sau đây của Hình học Lobachevski: “Tổng ba góc trong của một tam giác thỏ hơn hai góc vuông”.
Việc xây dựng thành công mô hình của Hình học Lobachevski đã chứng minh:
a) Hình học Lobachevski là phi mâu thuẫn.
b) Từ các tiên đề khác của Hình học Euclide không thể suy ra được tiên đề Euclide.
Hình học Lobachevski không phải là Hình học phi Euclid duy nhất. Hình học Riemann theo nghĩa hẹp của Georg Friedrich Berhard Rienmann (1826 - 1866) người Đức cũng là Hình học phi Euclid. Để có được hệ tiên đề của Hình học Riemann nghĩa hẹp, phải thay đổi hệ tiên đề của Hình học Euclide nhiều hơn là những thay đổi mà Lobachevski đã thực hiện.
Ngoài các hình học vừa nêu, còn nhiều hình học khác, trong đó có Hình học fractal. Thuật ngữ fractal do nhà toán học Benoit Mandtelbrot người Pháp, gốc Ba Lan, đề nghị từ những năm 1970. Tuy mới ra đời nhưng hình học này đã phát triển nhanh chóng, gắn liền với đồ họa vi tính, có nhiều ứng dụng trong phân tích vá tổng hợp hình, trong việc xây dựng mô hình của các quá trình địa lí, quá trình sinh học
Theo Các câu chuyện Toán học
Bài tập Toán 11, biên soạn và chia sẻ bởi thầy Ninh Công Tuấn, Giáo viên Toán tại TP. HCM. Download file PDF.
Bài tập Toán 11 Học kì 1 đầy đủ (Hình học + Đại số) gồm các phần Phương trình lượng giác, Xác suất, Tổ hợp, Các phép biến hình, Quan hệ song song trong không gian.
Bài tập Toán 11 Học kì 1 đầy đủ (Hình học + Đại số) gồm các phần Phương trình lượng giác, Xác suất, Tổ hợp, Các phép biến hình, Quan hệ song song trong không gian.
Felice Varini là một nghệ sĩ Thụy Sĩ nổi tiếng với các thiết kế uốn cong-trí óc được gọi với tên là những bức tranh phối cảnh được địa phương hóa nhằm tạo ra các ảo giác. Đây là những hình dạng ba chiều khi nhìn từ một điểm thuận lợi, nhưng thực tế đó là một sự sắp xếp khéo léo một chuỗi các hình phẳng được vẽ lên các mặt. Thuật ngữ kỹ thuật cho nghệ thuật này gọi là "hình kỳ dị". Nhưng đáng tiếc là không có ngôn từ nào để để diễn tả nó thật đến thế nào.
Chi bằng mời bạn cuộn trang xuống và tự xem.
Chi bằng mời bạn cuộn trang xuống và tự xem.
Có thể bạn quan tâm:
Các cách giải khác nhau bài hình học phẳng trong đề thi Đại học môn Toán khối A, B, D 2014. Chia sẻ bởi thầy Nguyễn Duy Hiếu, Tổ trưởng Tổ Toán THPT Chuyên Lê Hồng Phong TP HCM.
