Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

Kỷ yếu Olympic Toán sinh viên năm 2016. Download.

Kì thi Olympic Toán Sinh viên lần thứ 23 diễn ra tại Đại học Kinh tế Huế từ 13 đến 19/4/2015.

Sau đây là Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 các môn Đại số và Giải tích (Bảng A và Bảng B) và đáp án.

Đáp án Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 môn Đại số (Bảng A và Bảng B). Download.

Đáp án Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2015 môn Giải tích (Bảng A và Bảng B). Download.

Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2015 Đại học Bách Khoa Hà Nội.

Môn Giải tích

Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim\limits_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right ).$$

Câu 2. Tính tích phân $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\left ( \tan x \right )^{\sqrt{2}}}.$$

Câu 3. Tìm tât cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn $$f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x} \right )=x.$$

Câu 4. Cho các hàm số $f_1, f_2, ..., f_n,...$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}f_1(x)=2x^2-1\\f_{n+1}=f_1\left ( f_n(x) \right ), \, \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$ Giải phương trình $f_n(x)=0$.

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ xác định và khả vi hai lần trên $(0, \infty)$, thỏa mãn các điều kiện sau $$\left\{\begin{matrix} f'(x)>0\\f\left ( f'(x) \right )=-f(x)\end{matrix}\right., \, \forall x>0.$$ Tìm $f(x)$.

Câu 6. Cho hàm số liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1}f(x)x^ndx=0,\, \forall n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng $f(1)=0$.

Môn Đại số
Câu 1. Cho ma trận vuông $A$ cấp 2015. Chứng minh tồn tại hai ma trận $B, C$ thỏa mãn $A=B+C$ và $\det BC\neq 0$.

Đề thi Olympic Toán sinh viên Môn Đại số của Đại học Ngoại thương Hà Nội năm 2015

Bài 1. Tính định thức: $$F_n=\begin{vmatrix} 1 & -1 &0 &... &0&0 \\ 1 &1 &-1 &... &0 &0\\ 0 &1 &1&... &0 &0\\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &1&-1\\0 &0 &0 &... &1&1 \end{vmatrix}$$ trong đó  $n \in N^*$
Chứng minh rằng $(F_n)$ là dãy số Fibonacci.
Bài 2. Cho $m,n \in N$, $0 \leq n \leq m+1$. Tìm một hệ con độc lập tuyến tính tối đại  của hệ vec-tơ sau: $S={x_i=(1,C_{m+i}^1,C_{m+i}^2,…,C_{m+i}^{n-1})}_{i=1}^n$.
Bài 3. Tính định thức:$$D_n=\begin{vmatrix}a+b & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$
Hãy giải hệ phương trình?
$$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1&+\; a_{12}x_2  &...  & +\; a_{1,2015}x_{2015}x_n & =x_1\\ a_{21}x_1&+a_{22}x_2  & ... & +\;a_{2,2015}x_{2015} &=x_2 \\ ...&  & ... &  & ... & \\ a_{2015,1}x_1&+\;a_{2015,2}x_2 &...  & +\;a_{2015,2015}x_{2015}  &=x_{2015}\\\end{matrix}\right. $$
Bài 5. Giả sử $A \in Mat(n,R), det A \neq 0$ và mỗi dòng của A có đúng một số khác không bằng $\pm 1$. Chứng minh rằng:
a) $A^t=A^{-1}$
b) Có số tự nhiên $m$ để $A^m=A^{-1}$
Bài 6. Cho ma trận $A \in Mat(n, R)$, với $A=[a_{ij}]$ mà $a_{ii}=0$ với mọi $i=1,2…, n$. Chứng minh rằng tồn tại các ma trận B và C $\in Mat(n, R)$để $A=BC-CB$.
Bài 7. Cho đa thức $P(x)$ có hệ số thực thỏa mãn $P(2015)=2015!$ và $xP(x-1)=(x-2014)P(x)$. Đa thức $P^2(x)+1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 với hệ số nguyên được không?

Đề thi Olympic Toán sinh viên Môn Đại số của Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội năm 2015. Chia sẻ bở thầy Nguyễn Huy Hoàng.

Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2015 của Đại Học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh.

Câu 1: Cho ma trận $A$ là ma trận đối xứng thực, vuông cấp $n$. Giả sử rằng
$$A^{5}+A^{3}+A=3I_{n}.$$
Chứng minh rằng $A=I_{n}$.

Câu 2: Khẳng định sau đây đúng hay không? Tại sao?
Câu 3: Cho $P, Q \in M_{n}(\mathbb{R})$. Giả sử rằng $P^{2} = P, Q^{2} = Q$ và $I_{n} - (P+Q)$ khả nghịch. Chứng minh rằng $rank(P)=rank(Q)$.

Câu 4: Cho ma trận
$$T=\begin{pmatrix} a_1& b_1& 0& 0& \cdots& 0& 0\\ b_1& a_2& b_2& 0& \cdots& 0& 0\\ 0& b_2& a_3& b_3& \cdots& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0& 0& 0& 0&\cdots &a_{n-1} &b_{n-1} \\ 0& 0& 0& 0&\cdots &b_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix}$$
Giả sử rằng $b_j \neq 0$, với mọi $j$. Chứng minh rằng:
a. $rank(T) \geq n-1$.
b. $T$ có $n$ trị riêng khác nhau.

Câu 5: Cho ma trận thực $X$ vuông cấp $2n$ như sau
$$\begin{pmatrix} A &B \\ C & D \end{pmatrix},$$
trong đó $A, B, C$ và $D$ là các ma trận thực vuông cấp $n$. Giả sử rằng các ma trận này giao hoán với nhau. Chứng minh rằng ma trận $X$ khả nghịch nếu và chỉ nếu $AD-BC$ khả nghịch.

Câu 6: Cho $f_{1}, f_{2}, \cdots f_{n}$ là những hàm số thực liên tục trên $[a, b]$. Chứng minh rằng $\begin{Bmatrix} f_1, f_2, \cdots, f_n \end{Bmatrix}$ phụ thuộc tuyến tính trên $[a, b]$ nếu và chỉ nếu
$$\det(A) = 0,$$
trong đó 
$$[A]_{ij}=\int_{a}^{b}f_{i}(x)f_{j}(x)d(x), 1 \leq i, j\leq n.$$

Câu 1: Chứng minh rằng không tồn tại hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f(\mathbb{R})=\mathbb{Q}$, với $\mathbb{Q}$ là tập hợp các số hữu tỷ.

Câu 2: Cho hàm số thực $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn các tính chất sau:
a. $f(xf(y)) = yf(x), \forall x, y \in \mathbb{R}^{+}$.
b. $f(x)\rightarrow 0$ khi $x \rightarrow \infty$.
Tìm $f(x)$.

Câu 3: Giả sử $(a_{n})$ và $(b_{n})$ là dãy các số thực thỏa mãn $a_{n} \leq b_{n}, \forall n$. Chứng minh rằng nếu $\sum a_{n}$ không hội tụ và không bằng $+\infty$ thì $\sum b_{n}$ không hội tụ.

Câu 4: Chứng minh rằng nếu $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ hội tụ tuyệt đối thì $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ hội tụ.

Câu 5: Một hàm $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số $K > 0$, sao cho $|f(x) - f(y)| \leq K|x - y|$ với mọi $x, y \in D$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm số liên tục đều mà không Lipschitz.

Câu 6: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$3f(2x+1) = f(x) + 5x$$
với mọi $x$.

Câu 7: Cho $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0, 1]$ và khả vi hai lần trên $(0, 1)$ thỏa mãn$f(0) = f(1) = 0$ và $\min_{x \in [0,1]} f(x) = -1$. Chứng minh rằng:
$$\max_{x \in [0,1]} f'' (x) \geq 8.$$

Ma trận vuông cấp hai là ma trận có kích thước nhỏ nên dễ tính toán và phân tích. Rất nhiều kết quả của ma trận vuông cấp hai trở thành tiền đề để mở rộng ra cho các ma trận vuông có cấp tùy ý. Tuy nhiên có một điều thú vị là có những kết quả chỉ đúng cho các ma trận này mà không còn đúng cho các ma trận kích thước lớn hơn. Các bài toán về ma trận vuông cấp hai cũng được sử dụng khá nhiều trong các kỳ thi Olympic Toán học. Tài liệu này có mục tiêu tập hợp các bài thi như thế. Bên cạnh đó chúng tôi cũng đưa vào đây khá nhiều bài toán được sưu tầm từ các nguồn khác nhau. Để số lượng các bài toán trong tài liệu được phong phú hơn, chúng tôi cũng biên soạn thêm một số bài toán. Hy vọng đây là một tài liệu bổ ích đối với các sinh viên yêu thích môn Đại số tuyến tính.

Chia sẻ bởi thầy Nguyễn Huy Hoàng, Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê, Đại học Giao thông Vận tải.
100 bài tập về ma trận vuông cấp 2 cho Olympic Sinh viên. Tải về file PDF.

Đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học sư phạm Hà Nội năm 2015.