You are here: Home »
Có lẽ phần lớn chúng ta khi lần đầu tiên gặp phải số ảo i đều cảm thấy con số này kỳ quặc quá. Ai đời lại có con số mà bình phương lên lại ra số âm -1! Đó cũng là lý do mà trong khoảng thời gian đầu tiên số i được giới thiệu với cộng đồng toán học, nó đã từng bị coi là con số ngu ngốc (idiot) hoặc chỉ là sản phẩm của tưởng tượng (imaginary). Tuy nhiên càng ngày số phức càng tỏ ra hữu ích và dần dần trở thành không thể thiếu trong toán học cũng như trong vật lý và các tính toán ứng dụng (nhất là từ sau các công trình của 2 nhà toán học vĩ đại Euler và Gauss). Vậy thì có cách nhìn nào về con số i giúp chúng ta dễ hiểu hơn đẳng thức “kỳ quặc”: $i^{2}=-1$.
Vâng, Hamilton và một số nhà toán học khác đã khám phá ra cách nhìn như vậy. Khi đã hiểu được cách nhìn ấy ta không những thấy đẳng thức trên trở nên khá tự nhiên mà còn thấy được sự tự nhiên của một số công thức khác, ví dụ như công thức De Moivre
$$\left ( \cos \left ( \varphi \right )+i\sin \left (\varphi \right ) \right )^{n}=\cos n\varphi +i\sin n\varphi $$
Chúng ta hãy cùng tìm hiểu cách nhìn ấy.
Ý nghĩa hình học của số phức:
Trước hết ta hãy nhìn số thực khác đi một chút như sau. Nhớ lại rằng khi ta nhân một số thực r với một vector v thì chính là ta thực hiện 1 phép co/giãn vector ấy (tùy theo |r| lớn hay nhỏ hơn 1) nhưng ta vẫn giữ nguyên phương của vector. Như vậy 1 số thực có thể coi như 1 phép biến hình co giãn (scaling; vì vậy
số thực trong tiếng Anh còn có tên gọi khác là scalar) và tập các số thực là tập các phép co/giãn. Tuy nhiên các phép biến đổi này không thay đổi phương của vector vì vậy chúng không bao gồm phép quay. Nói cách khác nếu chỉ dùng các số thực thì không thể biểu diễn phép quay. Vậy thì liệu có loại số nào cho phép ta
biểu diễn các phép quay? Hamilton đã chỉ cho ta thấy chúng chính là số phức!
số thực trong tiếng Anh còn có tên gọi khác là scalar) và tập các số thực là tập các phép co/giãn. Tuy nhiên các phép biến đổi này không thay đổi phương của vector vì vậy chúng không bao gồm phép quay. Nói cách khác nếu chỉ dùng các số thực thì không thể biểu diễn phép quay. Vậy thì liệu có loại số nào cho phép ta
biểu diễn các phép quay? Hamilton đã chỉ cho ta thấy chúng chính là số phức!
Thật vậy, sau khi xem xét kỹ phép nhân các số phức, ông đã khám phá ra điều thú vị sau đây: nhân 1 vector với 1 số phức z tương đương với việc quay vector đó 1 góc nào đấy (tương ứng với số phức z, bạn sẽ rõ ngay góc này là gì trong phần tiếp theo).
Số i (hay chính xác hơn là phép nhân với i) biểu diễn phép quay góc $+90^{\circ}$. Khi đó đẳng thức $i^{2}=-1$ có thể được hiểu như sau. Vế trái $i^{2}$, nhân với i hai lần liên tiếp, chính là quay 1 vector liên tiếp 2 lần, mỗi lần bởi góc $+90^{\circ}$, tổng cộng là quay góc $180^{\circ}$. Thế thì cũng như nhân vector đó với -1. Nên $i^{2}=-1$.
Tổng quát hơn, Hamilton đã phát hiện ra là số phức $z=cos\varphi +i\sin \varphi $ (chính xác là phép nhân với z) biểu diễn phép quay góc $\varphi$. (Đến đây bạn hãy thử lý giải xem tại sao trường hợp của số ảo i là 1 trường hợp riêng của nhận xét tổng quát này nhé). Hơn nữa tích hai số phức $z_{1}=cos\varphi _{1} +i\sin\varphi_{1}$ và $z_{2}=cos\varphi _{2} +i\sin\varphi_{2}$ chính là tích hợp nối (composition) của 2 phép quay với các góc $\varphi _{1}$ và $\varphi _{2}$. Nói cách khác khi ta nhân 1 vector với tích $z_{1}z_{2}$ thì cũng giống như ta quay vector đó 1 góc $\varphi _{1}$ rồi quay tiếp kết quả 1 góc $\varphi _{2}$. Bạn đã nhận ra điều gì chưa, phân tích này vừa cho chúng ta một chứng minh hình học của đẳng thức:
$$\left ( cos\varphi _{1} +i\sin\varphi_{1} \right ).\left ( cos\varphi _{2} +i\sin\varphi_{2} \right )=cos\left ( \varphi _{1}+\varphi _{2} \right ) +i\sin\left ( \varphi_{1}+\varphi _{2} \right )$$
(nếu bạn chưa nhận ra thì hãy thử suy nghĩ thêm một chút, không khó đâu bạn ạ. Bạn nào chưa thấy chứng minh công thức này bằng biến đổi lượng giác thì cũng có thể thử tự chứng minh hoặc tìm trong các sách về số phức.) Nếu nhân 2 số phức là thực hiện liên tiếp 2 phép quay thì lũy thừa một số phức $z=cos\varphi +i\sin \varphi $ lên n lần là gì nhỉ? Hura, đó chính là quay liên tiếp n lần với cùng 1 góc $\varphi$, tức là quay góc $n\varphi$! Bạn biết tôi đang đề cập đến cái gì không, một cách nhìn khác cho công thức De Moivre đấy:
$$\left ( cos\varphi +i\sin\varphi \right )^{n}= cos n\varphi +i\sin n\varphi.$$
Phép nhân với số phức tổng quát $z=r\left( cos\varphi +isin\varphi \right)$ tương ứng với các phép biến hình nào?
Lưu Minh Đức
Phát minh ra những con số là một trong những thành tựu to lớn của nhân loại. Những con số xuất hiện ở tất cả các lĩnh vực, từ nghiên cứu khoa học đến kinh tế, tài chính…Bài viết này xin đưa ra cho người đoc một góc nhìn mới về những con số, góc nhìn giải trí…Dẫu thế, khi đọc, mong bạn đừng cố hiểu, nếu bạn không thực sự tò mò, bởi chúng...khá hại não.
1. Cặp số thân thiết
Hai số tạo thành một cặp số thân thiết khi chúng tuân theo quy luật: Số này bằng tổng tất cả các ước của số kia (trừ chính số đó) và ngược lại. Cặp số thân thiện đầu tiên được tim ra, và cũng được chứng minh là cặp "số thân thiết" nhỏ nhất, là cặp số: 220 và 284. Hãy thử phân tích một chút: Số 220 ngoài bản thân nó ra, nó còn có 11 ước số là 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55 và 110. Tổng của 11 ước số này vừa đúng bằng 284. Ngược lại, số 284 ngoài bản thân nó, nó còn 5 ước số khác là: 1, 2, 4, 71, 142, tổng của chúng cũng vừa đúng bằng 220.
Thế kỷ 17, nhà toán học Pháp Fecma tìm ra cặp "số thân thiết" thứ hai là: 17296 và 18416. Cũng thời điểm ấy, một nhà toán học Pháp khác tìm ra cặp số thứ ba là: 9363544 và 9437056. Điều khiến người ta kinh ngạc nhất là nhà toán học Thuỵ Sỹ nổi tiếng Ơ-le vào năm 1750 đã công bố một lúc 60 cặp số thân thiết. Giới toán học được một phen kinh hoàng, họ cho rằng " Ơ-le đã tìm ra hết cả rồi". Nhưng không ngờ, một thế kỷ sau, một thanh niên nước Ý mới 16 tuổi tên là Baconi đã công bố một cặp số thân thiết vào năm 1866, nó chỉ lớn hơn 220 và 284 một chút, đó là cặp số 1184 và 1210. Những nhà toán học lớn trước đó đã tìm ra chúng, để cho cặp số chẳng mấy lớn này dễ dàng qua mặt.
Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các nhà toán học bằng máy tính đã kiểm tra tất cả các số trong phạm vi 1.000.000, tổng cộng tìm được 42 cặp số thân thiết. Hiện nay, số lượng cặp số thân thiết được tìm thấy đã vượt quá con số 1000. Thế nhưng liệu có phải số thân thiết là nhiều vô hạn? Chúng phân bố có quy luật không? Những vấn đề này tới nay vẫn còn bỏ ngỏ.
Với thời đại công nghệ hiện nay, chỉ bằng một thuật toán C++ không quá phức tạp, bạn có thể tìm được rất rất nhiều các cặp số thân thiết.
2. Cặp số hứa hôn
Không chỉ dừng lại ở mức thân thiết, tiến thêm một bước nữa, các nhà khoa học bắt đầu định nghĩa “số hứa hôn”.
Cặp số hứa hôn là hai số nguyên dương sao cho: tổng các ước của số này (không tính số đó) nhiều hơn số kia đúng 1 đơn vị. Nói cách khác, (m, n) là một cặp số đã đính hôn nếu s (m) = n + 1 và s (n) = m + 1, trong đó s (n) là tổng phần nổi của n: một điều kiện tương đương là đó σ (m) = σ (n) = m + n + 1, trong đó σ biểu thị chức năng tổng các ước.
Những cặp số hứa hôn đầu tiên đã được tìm ra: (48, 75), (140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648), (2024, 2295), (5775, 6128).
Người ta chứng minh được rằng, cặp số hứa hôn luôn gồm 1 số chẳn và 1 số lẻ ( có lẽ là tượng trưng cho 1 nam và 1 nữ).
3. Emirp
Nếu bạn đang cố tra từ trên trong tiếng anh thì chắc sẽ không tìm thấy đâu. Bởi nó là từ viết ngược của từ “Prime”.
Một emirp là một số nguyên tố mà khi đảo ngược vị trí các chữ số của nó, ta cũng được một số nguyên tố. Định nghĩa này không bao gồm các số nguyên tố xuôi ngược (như 151 hoặc 787), cũng không phải số nguyên tố 1 chữ số như 7.
Những emirps đầu tiên được tìm ra là: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157...
Tính đến tháng 11 năm 2009, các emirp lớn nhất được biết đến là 1.010.006 941.992.101 × 104.999 1, được tìm thấy bởi Jens Kruse Andersen trong tháng 10 năm 2007.
4. Số hoàn hảo
Trong lý thuyết số, một số nguyên dương được gọi là số hoàn hảo khi nó bằng tổng tất cả các ước nguyên dương của nó, trừ chính nó. Hoặc một định nghĩa khác, Một số được gọi là hoàn hảo khi nó bằng nửa tổng các ước nguyên dương của nó (tính cả chính nó). Chẳng hạn, số hoàn hảo đầu tiên là 6, vì: 6 = 1 + 2 + 3, hoặc 6 = (1 + 2 + 3 + 6) / 2.
Về mặt lịch sử, bốn số hoàn hảo đầu tiên: 6, 28, 496 và 8128 đã được biết đến từ lâu trong toán học Hy Lạp do nhà toán học Nicomachus tìm ra. Trong một bản thảo bằng văn bản giữa 1456 và 1461, một nhà toán học vô danh đã đưa ra số hoàn hảo thứ năm: 33.550.336. Năm 1588, nhà toán học người Ý Pietro Cataldi xác định (8589869056) và (137.438.691.328) là các số hoàn hảo thứ sáu và thứ bảy.
Euclid đã chứng minh rằng 2n−1(2n − 1): là một số hoàn hảo khi 2p-1 là số nguyên tố. Để 2n-1 là số nguyên tố, thì n cũng phải là số nguyên tố. Ví dụ: n = 2 => 2* (2^2-1) = 6; n= 3=> 2^2 (2^3-1) = 28. Số nguyên tố có dạng 2n-1 được gọi là số nguyên tố Mersenne, lấy theo tên của mười bảy tu sĩ Marin Mersenne, những người nghiên cứu lý thuyết số và số hoàn hảo. Cho đến thế kỷ 18 mà Leonhard Euler đã chứng minh: “mỗi nguyên tố Mersenne tạo ra một số hoàn hảo, và ngược lại, mỗi số hoàn hảo tương ứng với 1 số nguyên tố Mersenne”. Kết quả này thường được gọi là Định lý Euclid-Euler.
Tính đến tháng 2 năm 2013, 48 số nguyên tố Mersenne và do đó, 48 số hoàn hảo đã được biết đến. Số lớn nhất trong số này là 257.885.160 x (257.885.161-1) với 34.850.340 chữ số.
5. Số mạnh mẽ
Nguồn gốc của cái tên này xuất phát từ sự tích gót chân Achilles. Là một vị anh hùng chiến tranh đầy sức mạnh, chỉ có một điểm yếu duy nhất là gót chân. Có lẽ từ đây, người ta mới đưa ra phân biệt ba thuật ngữ: số hoàn hảo, số Achilles, và số mạnh mẽ.
Một số được gọi là số mạnh mẽ khi nó đồng thời vừa chia hết cho số nguyên tố và chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó. Chẳng hạn, số 25 là số mạnh mẽ, vì nó vừa chia hết cho số nguyên tố 5, và bình phương của 5 (tức 25). Như vậy, một số mạnh mẽ, cũng có thể trùng với một số hoàn hảo (số hoàn hảo được định nghĩ như trên).
Một số Achilles là số mạnh mẽ, nhưng không phải là số hoàn hảo.
Sau đây là một danh sách của tất cả các con số mạnh mẽ giữa 1 và 1000: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.
6. Số kì quặc
Để hiểu số kì quặc là gì, ta cần đi qua hai định nghĩa: Số phong phú và số bán hoàn hảo.
Số phong phú là các số mà tổng các ước số của số đó (không kể chính nó) lớn hơn số đó. Ví dụ, số 12 có tổng các ước số (không kể 12) là 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12. Do đó 12 là một số phong phú.
Số bán hoàn hảo, là số tự nhiên bằng tổng tất cả hoặc một số ước của nó. Như vậy, tập số bán hoàn hảo rộng hơn tập số hoàn hảo. Một số số bán hoàn hảo: 6 , 12 , 18 , 20 , 24 , 28 , 30 , 36 , 40 …
Như vậy, giữa hai tập hợp số bán hoàn hảo và số phong phú có các phần tử chung.
Và cuối cùng, số kì quặc là gì? Một số là số kì quặc nếu nó là số phong phú nhưng không phải là số bán hoàn hảo. Nói cách khác, tổng các ước của nó là lớn hơn số đó, nhưng tổng của một số hoặc tất cả các ước không bao giờ bằng số đó.
Vài số đầu tiên trong tập hợp số kì quặc là: 70, 836, 4030, và 5830.
7. Số hạnh phúc
Một số hạnh phúc được xác định bởi quá trình sau đây:
Bắt đầu với bất kỳ số nguyên dương, thay thế số bằng tổng các bình phương các chữ số của nó, và lặp lại quá trình cho đến khi số bằng 1 (nơi mà nó sẽ ở lại), hoặc nó lặp vô tận trong một chu kỳ mà không bao gồm 1.
Những con số mà quá trình này kết thúc trong 1 là những con số hạnh phúc, trong khi những người không kết thúc trong 1 là những con số không hài lòng (hoặc số buồn).
Hãy cùng thử với số 44:
+ Thứ nhất, 4 ^ 2 + 4 ^ 2 = 16 + 16 = 32
+ Tiếp theo: 3 ^ 2 + 2 ^ 2 = 9 + 4 = 13
+ Và một lần nữa: 1 ^ 2 + 3 ^ 2 = 1 + 9 = 10
+ Cuối cùng: 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = 1 + 0 = 1
Đó là một số hạnh phúc.
Điều thú vị là số hạnh phúc là rất phổ biến, có 143 số từ 0 đến 1000. Và số hạnh phúc lớn nhất với không có chữ số lặp lại là 986.543.210. Đó là một con số hạnh phúc thực sự.
8. Số bất khả xâm phạm
Cái tên kì quặc này được đặt cho những số “không thể” viết dưới dạng tổng tất cả các ước của một số nguyên dương bất kì (không tính số nguyên dương đó).
Chẳng hạn, 4 không phải là số bất khả xâm phạm, vì 4= 3+1. Trong đó 3 và 1 là tất cả các ước của 9. Còn 5 là số bất khả xâm phạm vì cách duy nhất viết 5 = 4+1. Nếu bạn lý luận đây là tổng ước của 4 thì bạn nhầm. Vì tổng các ước của 4 phải là : 1+2=3.
Các số bất khả xâm phạm đầu tiên: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290…
9. Số tự mãn
Số tự mãn là những số bằng tổng các mũ bậc ba của mỗi chữ số của nó. VD:
153 = 1 ^ 3 + 5 ^ 3 + 3 ^ 3
370 = 3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 0 ^ 3
371 = 3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 1 ^ 3
407 = 4 ^ 3 + 0 ^ 3 + 7 ^ 3.
Các con số, khi được đặt tên bởi các nhà khoa học, chính bản thân họ cũng nhận ra sự phù phiếm của chúng. Nhà toán học anh, GH Hardy thậm chí đã công bố trong cuốn sách "Lời xin lỗi của toán học": "Đây là những khái niệm kỳ lạ, rất thích hợp cho các cột câu đố và có khả năng để giải trí, nhưng không có gì hấp dẫn đối với các nhà toán học." Dẫu sao, cũng xin đưa đến người đọc một góc nhìn mới về toán học.
1. Cặp số thân thiết
Hai số tạo thành một cặp số thân thiết khi chúng tuân theo quy luật: Số này bằng tổng tất cả các ước của số kia (trừ chính số đó) và ngược lại. Cặp số thân thiện đầu tiên được tim ra, và cũng được chứng minh là cặp "số thân thiết" nhỏ nhất, là cặp số: 220 và 284. Hãy thử phân tích một chút: Số 220 ngoài bản thân nó ra, nó còn có 11 ước số là 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55 và 110. Tổng của 11 ước số này vừa đúng bằng 284. Ngược lại, số 284 ngoài bản thân nó, nó còn 5 ước số khác là: 1, 2, 4, 71, 142, tổng của chúng cũng vừa đúng bằng 220.
Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các nhà toán học bằng máy tính đã kiểm tra tất cả các số trong phạm vi 1.000.000, tổng cộng tìm được 42 cặp số thân thiết. Hiện nay, số lượng cặp số thân thiết được tìm thấy đã vượt quá con số 1000. Thế nhưng liệu có phải số thân thiết là nhiều vô hạn? Chúng phân bố có quy luật không? Những vấn đề này tới nay vẫn còn bỏ ngỏ.
Với thời đại công nghệ hiện nay, chỉ bằng một thuật toán C++ không quá phức tạp, bạn có thể tìm được rất rất nhiều các cặp số thân thiết.
2. Cặp số hứa hôn
Không chỉ dừng lại ở mức thân thiết, tiến thêm một bước nữa, các nhà khoa học bắt đầu định nghĩa “số hứa hôn”.
Cặp số hứa hôn là hai số nguyên dương sao cho: tổng các ước của số này (không tính số đó) nhiều hơn số kia đúng 1 đơn vị. Nói cách khác, (m, n) là một cặp số đã đính hôn nếu s (m) = n + 1 và s (n) = m + 1, trong đó s (n) là tổng phần nổi của n: một điều kiện tương đương là đó σ (m) = σ (n) = m + n + 1, trong đó σ biểu thị chức năng tổng các ước.
Người ta chứng minh được rằng, cặp số hứa hôn luôn gồm 1 số chẳn và 1 số lẻ ( có lẽ là tượng trưng cho 1 nam và 1 nữ).
3. Emirp
Nếu bạn đang cố tra từ trên trong tiếng anh thì chắc sẽ không tìm thấy đâu. Bởi nó là từ viết ngược của từ “Prime”.
Một emirp là một số nguyên tố mà khi đảo ngược vị trí các chữ số của nó, ta cũng được một số nguyên tố. Định nghĩa này không bao gồm các số nguyên tố xuôi ngược (như 151 hoặc 787), cũng không phải số nguyên tố 1 chữ số như 7.
Tính đến tháng 11 năm 2009, các emirp lớn nhất được biết đến là 1.010.006 941.992.101 × 104.999 1, được tìm thấy bởi Jens Kruse Andersen trong tháng 10 năm 2007.
4. Số hoàn hảo
Trong lý thuyết số, một số nguyên dương được gọi là số hoàn hảo khi nó bằng tổng tất cả các ước nguyên dương của nó, trừ chính nó. Hoặc một định nghĩa khác, Một số được gọi là hoàn hảo khi nó bằng nửa tổng các ước nguyên dương của nó (tính cả chính nó). Chẳng hạn, số hoàn hảo đầu tiên là 6, vì: 6 = 1 + 2 + 3, hoặc 6 = (1 + 2 + 3 + 6) / 2.
Euclid đã chứng minh rằng 2n−1(2n − 1): là một số hoàn hảo khi 2p-1 là số nguyên tố. Để 2n-1 là số nguyên tố, thì n cũng phải là số nguyên tố. Ví dụ: n = 2 => 2* (2^2-1) = 6; n= 3=> 2^2 (2^3-1) = 28. Số nguyên tố có dạng 2n-1 được gọi là số nguyên tố Mersenne, lấy theo tên của mười bảy tu sĩ Marin Mersenne, những người nghiên cứu lý thuyết số và số hoàn hảo. Cho đến thế kỷ 18 mà Leonhard Euler đã chứng minh: “mỗi nguyên tố Mersenne tạo ra một số hoàn hảo, và ngược lại, mỗi số hoàn hảo tương ứng với 1 số nguyên tố Mersenne”. Kết quả này thường được gọi là Định lý Euclid-Euler.
Tính đến tháng 2 năm 2013, 48 số nguyên tố Mersenne và do đó, 48 số hoàn hảo đã được biết đến. Số lớn nhất trong số này là 257.885.160 x (257.885.161-1) với 34.850.340 chữ số.
5. Số mạnh mẽ
Nguồn gốc của cái tên này xuất phát từ sự tích gót chân Achilles. Là một vị anh hùng chiến tranh đầy sức mạnh, chỉ có một điểm yếu duy nhất là gót chân. Có lẽ từ đây, người ta mới đưa ra phân biệt ba thuật ngữ: số hoàn hảo, số Achilles, và số mạnh mẽ.
Một số được gọi là số mạnh mẽ khi nó đồng thời vừa chia hết cho số nguyên tố và chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó. Chẳng hạn, số 25 là số mạnh mẽ, vì nó vừa chia hết cho số nguyên tố 5, và bình phương của 5 (tức 25). Như vậy, một số mạnh mẽ, cũng có thể trùng với một số hoàn hảo (số hoàn hảo được định nghĩ như trên).
Một số Achilles là số mạnh mẽ, nhưng không phải là số hoàn hảo.
6. Số kì quặc
Để hiểu số kì quặc là gì, ta cần đi qua hai định nghĩa: Số phong phú và số bán hoàn hảo.
Số phong phú là các số mà tổng các ước số của số đó (không kể chính nó) lớn hơn số đó. Ví dụ, số 12 có tổng các ước số (không kể 12) là 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12. Do đó 12 là một số phong phú.
Số bán hoàn hảo, là số tự nhiên bằng tổng tất cả hoặc một số ước của nó. Như vậy, tập số bán hoàn hảo rộng hơn tập số hoàn hảo. Một số số bán hoàn hảo: 6 , 12 , 18 , 20 , 24 , 28 , 30 , 36 , 40 …
Như vậy, giữa hai tập hợp số bán hoàn hảo và số phong phú có các phần tử chung.
Vài số đầu tiên trong tập hợp số kì quặc là: 70, 836, 4030, và 5830.
7. Số hạnh phúc
Một số hạnh phúc được xác định bởi quá trình sau đây:
Bắt đầu với bất kỳ số nguyên dương, thay thế số bằng tổng các bình phương các chữ số của nó, và lặp lại quá trình cho đến khi số bằng 1 (nơi mà nó sẽ ở lại), hoặc nó lặp vô tận trong một chu kỳ mà không bao gồm 1.
Những con số mà quá trình này kết thúc trong 1 là những con số hạnh phúc, trong khi những người không kết thúc trong 1 là những con số không hài lòng (hoặc số buồn).
+ Thứ nhất, 4 ^ 2 + 4 ^ 2 = 16 + 16 = 32
+ Tiếp theo: 3 ^ 2 + 2 ^ 2 = 9 + 4 = 13
+ Và một lần nữa: 1 ^ 2 + 3 ^ 2 = 1 + 9 = 10
+ Cuối cùng: 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = 1 + 0 = 1
Đó là một số hạnh phúc.
Điều thú vị là số hạnh phúc là rất phổ biến, có 143 số từ 0 đến 1000. Và số hạnh phúc lớn nhất với không có chữ số lặp lại là 986.543.210. Đó là một con số hạnh phúc thực sự.
8. Số bất khả xâm phạm
Cái tên kì quặc này được đặt cho những số “không thể” viết dưới dạng tổng tất cả các ước của một số nguyên dương bất kì (không tính số nguyên dương đó).
Chẳng hạn, 4 không phải là số bất khả xâm phạm, vì 4= 3+1. Trong đó 3 và 1 là tất cả các ước của 9. Còn 5 là số bất khả xâm phạm vì cách duy nhất viết 5 = 4+1. Nếu bạn lý luận đây là tổng ước của 4 thì bạn nhầm. Vì tổng các ước của 4 phải là : 1+2=3.
9. Số tự mãn
153 = 1 ^ 3 + 5 ^ 3 + 3 ^ 3
370 = 3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 0 ^ 3
371 = 3 ^ 3 + 7 ^ 3 + 1 ^ 3
407 = 4 ^ 3 + 0 ^ 3 + 7 ^ 3.
Các con số, khi được đặt tên bởi các nhà khoa học, chính bản thân họ cũng nhận ra sự phù phiếm của chúng. Nhà toán học anh, GH Hardy thậm chí đã công bố trong cuốn sách "Lời xin lỗi của toán học": "Đây là những khái niệm kỳ lạ, rất thích hợp cho các cột câu đố và có khả năng để giải trí, nhưng không có gì hấp dẫn đối với các nhà toán học." Dẫu sao, cũng xin đưa đến người đọc một góc nhìn mới về toán học.
Các số nguyên tố từ lâu đã thu hút các nhà toán học chuyên nghiệp cũng như nghiệp dư. Một số nguyên lớn hơn một được gọi là một số nguyên tố, nếu ước duy nhất của nó là một và chính nó. Các số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5, 7, 11, vv. Một nguyên tố Mersenne là một số nguyên tố có dạng 2^p−1 với p cũng là số nguyên tố. Các số nguyên tố Mersenne đầu tiên là 3, 7, 31, và 127 tương ứng với P = 2, 3, 5, và 7. Hiện tại chỉ có 48 số nguyên tố Mersenne được biết đến.
Marin Mersenne (1588-1648), đã thực hiện một phỏng đoán nổi tiếng: với những giá trị nào của p sẽ cho ta một số nguyên tố. Phải mất 300 năm và một số khám phá quan trọng trong toán học để giải quyết phỏng đoán của ông.
Và vào ngày 25/1/2013,tại ORLANDO, Florida, số nguyên tố Mersenne thứ 48 - lớn nhất cho tới giờ:
đã được phát hiện nhờ Đội tìm kiếm số nguyên tố lớn (GIMPS) trên máy tính của tình nguyện viên Curtis Cooper. Số nguyên tố mới có 17.425.170 chữ số. Với 360.000 máy tính, đạt mức cao nhất là 150 nghìn tỷ phép tính mỗi giây, GIMPS chạy 17 năm liên tục, và trở thành dự án chạy lâu nhất trong lịch sử Internet.
Để chứng minh không có lỗi trong quá trình phát hiện ra số nguyên tố, số nguyên tố mới được xác nhận độc lập bằng cách sử dụng các chương trình khác nhau chạy trên phần cứng khác nhau. Serge Batalov chạy phần mềm MLucas của Ernst Mayer trên một máy chủ trong 6 ngày để xác minh số nguyên tố mới. Jerry Hallett xác minh nguyên tố bằng cách sử dụng các phần mềm CUDALucas chạy trên một NVIDIA GPU trong 3,6 ngày. Cuối cùng, Tiến sĩ Jeff Gilchrist xác minh tìm thấy bằng cách sử dụng các phần mềm GIMPS trên một CPU Intel i7 trong 4,5 ngày và chương trình CUDALucas trên một NVIDIA GTX 560 Ti trong 7,7 ngày. Phương pháp tốt nhất để kiểm tra tính nguyên tố của các số Mersenne được dựa vào sự tính toán một dãy tuần hoàn, được phát biểu đầu tiên bởi Lucas năm 1878 và chứng minh bởi Lehmer vào những năm 1930. Hiện nay nó được gọi là Cuộc kiểm tra Lucas-Lehmer với số Mersenne.
Tiến sĩ Cooper là một giáo sư tại trường Đại học Central Missouri. Đây là kỉ lục thứ ba cho Tiến sĩ Cooper và Đại học của ông. Đầu tiên kỉ lục của họ đã được đưa ra vào năm 2005, và bị phá vỡ bởi kỷ lục thứ hai của họ vào năm 2006. Máy vi tính tại UCLA đã phá vỡ kỷ lục trong năm 2008 với một số có 12.978.189 chữ số. UCLA nắm giữ kỉ lục cho đến khi Đại học Central Missouri phá vỡ kỷ lục thế giới với phát hiện này. Tiến sĩ Cooper và Đại học Central Missouri là những cá nhân có đóng góp lớn nhất cho dự án này. Phát hiện này được nhận giải thưởng GIMPS trị giá $ 3.000. Giải thưởng GIMPS tiếp theo sẽ được dành cho người tìm được số nguyên tố lớn với 100,000,000 chữ số, trị giá $150.000.
Ngoài ra, có một công thức nổi tiếng về việc tạo ra 1 số hoàn hảo từ 1 số nguyên tố Mersenne( số hoàn hảo là 1 số mà tổng các ước của nó bằng chính nó): 2^(p−1)(2^p−1) là số hoàn hảo. Số hoàn hảo mới được tìm ra là 2^57,885,160(2^57,885,161−1). Số này có tới hơn 34 triệu chữ số.
Marin Mersenne (1588-1648), đã thực hiện một phỏng đoán nổi tiếng: với những giá trị nào của p sẽ cho ta một số nguyên tố. Phải mất 300 năm và một số khám phá quan trọng trong toán học để giải quyết phỏng đoán của ông.
Và vào ngày 25/1/2013,tại ORLANDO, Florida, số nguyên tố Mersenne thứ 48 - lớn nhất cho tới giờ:
Để chứng minh không có lỗi trong quá trình phát hiện ra số nguyên tố, số nguyên tố mới được xác nhận độc lập bằng cách sử dụng các chương trình khác nhau chạy trên phần cứng khác nhau. Serge Batalov chạy phần mềm MLucas của Ernst Mayer trên một máy chủ trong 6 ngày để xác minh số nguyên tố mới. Jerry Hallett xác minh nguyên tố bằng cách sử dụng các phần mềm CUDALucas chạy trên một NVIDIA GPU trong 3,6 ngày. Cuối cùng, Tiến sĩ Jeff Gilchrist xác minh tìm thấy bằng cách sử dụng các phần mềm GIMPS trên một CPU Intel i7 trong 4,5 ngày và chương trình CUDALucas trên một NVIDIA GTX 560 Ti trong 7,7 ngày. Phương pháp tốt nhất để kiểm tra tính nguyên tố của các số Mersenne được dựa vào sự tính toán một dãy tuần hoàn, được phát biểu đầu tiên bởi Lucas năm 1878 và chứng minh bởi Lehmer vào những năm 1930. Hiện nay nó được gọi là Cuộc kiểm tra Lucas-Lehmer với số Mersenne.
Tiến sĩ Cooper là một giáo sư tại trường Đại học Central Missouri. Đây là kỉ lục thứ ba cho Tiến sĩ Cooper và Đại học của ông. Đầu tiên kỉ lục của họ đã được đưa ra vào năm 2005, và bị phá vỡ bởi kỷ lục thứ hai của họ vào năm 2006. Máy vi tính tại UCLA đã phá vỡ kỷ lục trong năm 2008 với một số có 12.978.189 chữ số. UCLA nắm giữ kỉ lục cho đến khi Đại học Central Missouri phá vỡ kỷ lục thế giới với phát hiện này. Tiến sĩ Cooper và Đại học Central Missouri là những cá nhân có đóng góp lớn nhất cho dự án này. Phát hiện này được nhận giải thưởng GIMPS trị giá $ 3.000. Giải thưởng GIMPS tiếp theo sẽ được dành cho người tìm được số nguyên tố lớn với 100,000,000 chữ số, trị giá $150.000.
Ngoài ra, có một công thức nổi tiếng về việc tạo ra 1 số hoàn hảo từ 1 số nguyên tố Mersenne( số hoàn hảo là 1 số mà tổng các ước của nó bằng chính nó): 2^(p−1)(2^p−1) là số hoàn hảo. Số hoàn hảo mới được tìm ra là 2^57,885,160(2^57,885,161−1). Số này có tới hơn 34 triệu chữ số.
Nguồn: GIMPS Project Discovers và bản dịch của Phạm Tuấn Cường VMF
Năm 2013 viết theo số La Mã là MMXIII.
2013 = 3 x 11 x 61.
2013 là một hoán vị của các chữ số 0, 1, 2, và 3.
2013, 2014, và 2015 có cùng số ước chung. Mỗi số là tích của ba số nguyên tố phân biệt.
Tổng các chữ số của 2013 theo cơ số 2 (11111011101), cơ số 3 (2202120), và cơ số 5 (31023) bằng nhau.
Tổng của 2013 và các thừa số nguyên tố của nó bằng tổng của 2014 và các thừa số nguyên tố của 2014: 2013 + 3 + 11 + 61 = 2014 + 2 + 19 + 53 = 2088.
Năm 2013 là năm diễn ra Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8.
Năm 2013 là Năm Toán học của Trái đất (Mathematics of Planet Earth).
2013 cũng là Năm quốc tế về Thống kê (International Year of Statistics).
Chúc các bạn một năm mới vui vẻ.
2013 = 3 x 11 x 61.
2013 là một hoán vị của các chữ số 0, 1, 2, và 3.
2013, 2014, và 2015 có cùng số ước chung. Mỗi số là tích của ba số nguyên tố phân biệt.
Tổng các chữ số của 2013 theo cơ số 2 (11111011101), cơ số 3 (2202120), và cơ số 5 (31023) bằng nhau.
Tổng của 2013 và các thừa số nguyên tố của nó bằng tổng của 2014 và các thừa số nguyên tố của 2014: 2013 + 3 + 11 + 61 = 2014 + 2 + 19 + 53 = 2088.
Năm 2013 là năm diễn ra Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8.
Năm 2013 là Năm Toán học của Trái đất (Mathematics of Planet Earth).
2013 cũng là Năm quốc tế về Thống kê (International Year of Statistics).
“Thuật đoán” của Bachet (Ba-sê)
Để tiện theo dõi người đoán số được viết tắt là NĐS. Đầu tiên là ba thuật đoán số đã được Bachet nêu ra từ năm 1624, trong cuốn sách của ông nhan đề “Problèmes plaisants”:
1) Bạn hãy tự nghĩ một số có ba chữ số nếu đó là số lẻ, bạn tự thêm 1 vào số đó trước khi làm tiếp vài phép tính này: Gấp ba, chia đôi, lại gấp ba rồi chia cho 9. Chỉ cần nói thương số của phép chia (không cần nói số dư), NĐS sẽ nói ngay số bạn nghĩ.
Mách nước: Gọi thương số là T, nếu bạn nghĩ số chẵn thì số đó là 2T, nếu số lẻ sẽ là 2T – 1.
2) Bạn hãy tự nghĩ số tuỳ ý. Làm theo đúng trình tự sau đây:
Gấp năm, cộng thêm 6; nhân với 4, thêm vào 9, lại nhân với 5. Hãy đọc to kết quả cuối cùng.
Mách nước: NĐS chỉ cần lấy kết quả cuối bớt đi 165 rồi chia cho 100 sẽ được số đã nghĩ.
3) Trong thuật đoán số này, NĐS chọn trước các số A = 8; B = 4; C = 8; D = 3. Bạn hãy tự nghĩ một số bất kì và làm theo, hướng dẫn của NĐS:
Lấy số đó nhân với A rồi chia cho B, được bao nhiêu nhân với C rồi lại chi cho D: Thương số tìm được lại chia tiếp cho số bạn nghĩ lúc đầu rồi cộng với chính số bạn nghĩ. Đọc to kết quả cuối cùng.
Mách nước: NĐS chỉ cần nhớ kĩ
rồi lấy kết quả cuối cùng trừ đi 4 sẽ ra số bạn nghĩ.
Thuật đoán này có thể đúng với các giá trị khác nhau của bốn số A, B, C, D, cách làm tương tự.
* Thuật đoán Theo tính chất bội số của 9
Trong các thuật đoán dưới đây có áp dụng tính chất bội số của 9: Tổng các chữ số trong bội số bất kì của 9 cũng là một bội số của 9.
4) Bạn chọn hai số tuỳ ý nhưng phải do các chữ số giống nhau sắp xếp khác vị trí nhau tạo nên. Sau khi trừ hai số đó cho nhau, bạn tự bỏ bớt một chữ số nào đó của hiệu số (không được bỏ số 0) và cộng các chữ số còn lại. Cho người đoán số biết tổng này NĐS sẽ cho biết chữ số bạn bỏ bớt.
Mách nước: NĐS lấy bội số của 9 lớn hơn và gần tổng đó nhất. Trừ cho tổng đó sẽ ra chữ số bạn đã bỏ bớt.
5) Bạn chọn một bội số bất kì của 9 rồi nhân nó với một số nào đó từ 1 đến 9. Trong kết quả, bạn tự giấu bớt một chữ số rồi viết xáo trộn thứ tự các chữ số còn lại thành một số mới vào mảnh giấy nhỏ, đưa cho NĐS. NĐS sẽ cho biết chữ số bạn giấu.
Mách nước: NĐS cộng tất cả các chữ số trong mảnh giấy và lấy một bội số của 9 lớn hơn và gần tổng đó nhất trừ đi sẽ ra chữ số bạn tự giấu:
6) Lấy một số bất kì nhân với 10 rồi trừ đi chính số bất kì đó được bao nhiêu cộng thêm 54. Bạn tự bỏ bớt một chữ số trong kết quả và đọc to số còn lại.
Mách nước: NĐS cộng tất cả các chữ số của số còn lại và lấy một bội số của 9 lớn hơn và gần tổng đó nhất trừ đi sẽ ra số đã bỏ bớt. NĐS sẽ cho biết chữ số bạn bỏ bớt.
7) Bạn tự nghĩ một số bất kì có từ ba chữ số trở lên, chia số đó cho 9 rồi cho NĐS biết số dư (thứ nhất). Bạn tự bỏ một chữ số nào đó trong số tự nghĩ lúc đầu và lấy số còn lại chia cho 9, nói cho NĐS biết số dư (thứ hai). NĐS sẽ cho biết chữ số bị bỏ.
Mách nước: NĐS làm như sau: Nếu số dư thứ nhất lớn hơn, thì lấy nó trừ đi số dư thứ hai ra số đã bị bỏ. Nếu số dư thứ nhất nhỏ hơn số dư thứ hai thì cộng thêm 9 vào số dư thứ nhất trước khi trừ. Nếu hai số dư bằng nhau thì số đã bỏ là 0 hoặc 9.
8) Bạn tự chọn lấy ba số trong các số từ 1 đến 9. Nhân số đầu với 2; thêm 5, nhân với 5 rồi cộng số thứ hai, được bao nhiêu, nhân với 10 rồi cộng với số thứ ba, nói cho NĐS biết kết quả. NĐS sẽ cho biết chữ số bạn chọn.
Mách nước: NĐS lấy kết quả trừ bớt 250 được một số gồm ba chữ số bạn đã tự chọn.
9) NĐS đưa cho bạn bảy viên kẹo và yêu cầu bạn giấu trong một tay năm viên và tay kia hai viên. Bạn hãy nhân số kẹo trong tay trái với 2, nhân số kẹo trong tay phải với 3, cộng lại và đọc to kết quả. NĐS sẽ luôn luôn chỉ đúng bạn giấu năm viên kẹo ở tay nào!
Mách nước: NĐS đã tính trước: Nếu tay trái của bạn có 2 viên kẹo thì (2 x 2) + (5 x 3) = 19.
Nếu tay trái bạn có 5 viên kẹo thì (5 x 2) + (2 x 3) = 16, Vậy tùy theo kết quả bạn đọc to là 19 hay 16, NĐS sẽ lấy đúng 5 viên kẹo trong tay bạn.
10) NĐS đưa một mảnh giấy nhỏ cho bạn A và bảo A quay đi, viết vào đó một số có 3 chữ số, rồi lại viết thêm vào đuôi vẫn ba chữ số ấy, tạo nên số có sáu chữ số. A gấp mảnh giấy và đưa cho B để B chia số đó cho 7. B nói riêng cho C biết thương số (không nói số dư) C lại chia tiếp thương số cho 11, rồi nói kết quả (không nói số dư) cho D. D phải chia tiếp cho 13 và cũng chỉ viết kết quả (không cần nói số dư) vào mảnh giấy khác đưa cho NĐS. NĐS sẽ cho biết bạn A viết số nào.
Mách nước: NĐS đã biết trước kết quả sau cùng chính là số A đã nghĩ lúc đầu (ba chữ số). Vì rằng nếu A nghĩ số 456 chẳng hạn, thì 456 456 = 456 x 1001 mà 7 x 11 x 13 = 1001
11) NĐS cũng có thể biết trước kết quả của một loạt phép tính phức tạp. NĐS tự chọn trước các số a, b, c (ví dụ a = 6; b = 12; c = 4). Bạn hãy nghĩ một số tuỳ ý. Nhân số đó với a; cộng tiếp với b rồi chia cho c được kết quả thứ nhất. Bây giờ bạn lấy số đã nghĩ lúc đầu nhân với c rồi chia cho a, được bao nhiêu lấy nghịch đảo làm kết quả thứ hai (ví dụ nếu được 3 thì lấy nghịch đảo là ). Trừ kết quả thứ nhất cho kết quả thứ hai. NĐS sẽ nói ngay kết quả cuối cùng.!
Mách nước. NĐS biết rằng kết quả cuối cùng bao giờ cũng là dù bạn nghĩ bất kì số nào.
Ví dụ a, b, c lần lượt là 6; 12; 4 thì chắc chắn kết quả cuối cùng là 3.
12) Trong một số thuật đoán trên nếu bạn chọn số tự nghĩ chính là số tuổi của mình thì các thuật đoán số biến thành trò chơi đoán tuổi.
Để kết thúc, giới thiệu một cách đoán tuổi đơn giản nhất: Bạn hãy gấp 10 lần tuổi của mình rồi trừ đi một bội số nào đó của 9 (bội số đó nhỏ hơn 90). Đọc to hiệu số cho NĐS biết.
Mách nước: NĐS chỉ cần cộng số hàng trăm và hàng chục của hiệu số với số hàng đơn vị, tổng số chính là tuổi của bạn:
Ví dụ: Bạn 14 tuổi, gấp 10 lần thành 140
Hiệu số 140 - 27 = 13
Tuổi của bạn 11 + 3 = 14.
Có gì bí mật đằng sau tấm màn của các thuật đoán số vừa trình bày trên đây? thử xem xét ba thuật đó:
Để tiện theo dõi người đoán số được viết tắt là NĐS. Đầu tiên là ba thuật đoán số đã được Bachet nêu ra từ năm 1624, trong cuốn sách của ông nhan đề “Problèmes plaisants”:
1) Bạn hãy tự nghĩ một số có ba chữ số nếu đó là số lẻ, bạn tự thêm 1 vào số đó trước khi làm tiếp vài phép tính này: Gấp ba, chia đôi, lại gấp ba rồi chia cho 9. Chỉ cần nói thương số của phép chia (không cần nói số dư), NĐS sẽ nói ngay số bạn nghĩ.
Mách nước: Gọi thương số là T, nếu bạn nghĩ số chẵn thì số đó là 2T, nếu số lẻ sẽ là 2T – 1.
2) Bạn hãy tự nghĩ số tuỳ ý. Làm theo đúng trình tự sau đây:
Gấp năm, cộng thêm 6; nhân với 4, thêm vào 9, lại nhân với 5. Hãy đọc to kết quả cuối cùng.
Mách nước: NĐS chỉ cần lấy kết quả cuối bớt đi 165 rồi chia cho 100 sẽ được số đã nghĩ.
3) Trong thuật đoán số này, NĐS chọn trước các số A = 8; B = 4; C = 8; D = 3. Bạn hãy tự nghĩ một số bất kì và làm theo, hướng dẫn của NĐS:
Lấy số đó nhân với A rồi chia cho B, được bao nhiêu nhân với C rồi lại chi cho D: Thương số tìm được lại chia tiếp cho số bạn nghĩ lúc đầu rồi cộng với chính số bạn nghĩ. Đọc to kết quả cuối cùng.
Mách nước: NĐS chỉ cần nhớ kĩ
rồi lấy kết quả cuối cùng trừ đi 4 sẽ ra số bạn nghĩ.
Thuật đoán này có thể đúng với các giá trị khác nhau của bốn số A, B, C, D, cách làm tương tự.
* Thuật đoán Theo tính chất bội số của 9
Trong các thuật đoán dưới đây có áp dụng tính chất bội số của 9: Tổng các chữ số trong bội số bất kì của 9 cũng là một bội số của 9.
4) Bạn chọn hai số tuỳ ý nhưng phải do các chữ số giống nhau sắp xếp khác vị trí nhau tạo nên. Sau khi trừ hai số đó cho nhau, bạn tự bỏ bớt một chữ số nào đó của hiệu số (không được bỏ số 0) và cộng các chữ số còn lại. Cho người đoán số biết tổng này NĐS sẽ cho biết chữ số bạn bỏ bớt.
Mách nước: NĐS lấy bội số của 9 lớn hơn và gần tổng đó nhất. Trừ cho tổng đó sẽ ra chữ số bạn đã bỏ bớt.
5) Bạn chọn một bội số bất kì của 9 rồi nhân nó với một số nào đó từ 1 đến 9. Trong kết quả, bạn tự giấu bớt một chữ số rồi viết xáo trộn thứ tự các chữ số còn lại thành một số mới vào mảnh giấy nhỏ, đưa cho NĐS. NĐS sẽ cho biết chữ số bạn giấu.
Mách nước: NĐS cộng tất cả các chữ số trong mảnh giấy và lấy một bội số của 9 lớn hơn và gần tổng đó nhất trừ đi sẽ ra chữ số bạn tự giấu:
6) Lấy một số bất kì nhân với 10 rồi trừ đi chính số bất kì đó được bao nhiêu cộng thêm 54. Bạn tự bỏ bớt một chữ số trong kết quả và đọc to số còn lại.
Mách nước: NĐS cộng tất cả các chữ số của số còn lại và lấy một bội số của 9 lớn hơn và gần tổng đó nhất trừ đi sẽ ra số đã bỏ bớt. NĐS sẽ cho biết chữ số bạn bỏ bớt.
7) Bạn tự nghĩ một số bất kì có từ ba chữ số trở lên, chia số đó cho 9 rồi cho NĐS biết số dư (thứ nhất). Bạn tự bỏ một chữ số nào đó trong số tự nghĩ lúc đầu và lấy số còn lại chia cho 9, nói cho NĐS biết số dư (thứ hai). NĐS sẽ cho biết chữ số bị bỏ.
Mách nước: NĐS làm như sau: Nếu số dư thứ nhất lớn hơn, thì lấy nó trừ đi số dư thứ hai ra số đã bị bỏ. Nếu số dư thứ nhất nhỏ hơn số dư thứ hai thì cộng thêm 9 vào số dư thứ nhất trước khi trừ. Nếu hai số dư bằng nhau thì số đã bỏ là 0 hoặc 9.
8) Bạn tự chọn lấy ba số trong các số từ 1 đến 9. Nhân số đầu với 2; thêm 5, nhân với 5 rồi cộng số thứ hai, được bao nhiêu, nhân với 10 rồi cộng với số thứ ba, nói cho NĐS biết kết quả. NĐS sẽ cho biết chữ số bạn chọn.
Mách nước: NĐS lấy kết quả trừ bớt 250 được một số gồm ba chữ số bạn đã tự chọn.
9) NĐS đưa cho bạn bảy viên kẹo và yêu cầu bạn giấu trong một tay năm viên và tay kia hai viên. Bạn hãy nhân số kẹo trong tay trái với 2, nhân số kẹo trong tay phải với 3, cộng lại và đọc to kết quả. NĐS sẽ luôn luôn chỉ đúng bạn giấu năm viên kẹo ở tay nào!
Mách nước: NĐS đã tính trước: Nếu tay trái của bạn có 2 viên kẹo thì (2 x 2) + (5 x 3) = 19.
Nếu tay trái bạn có 5 viên kẹo thì (5 x 2) + (2 x 3) = 16, Vậy tùy theo kết quả bạn đọc to là 19 hay 16, NĐS sẽ lấy đúng 5 viên kẹo trong tay bạn.
10) NĐS đưa một mảnh giấy nhỏ cho bạn A và bảo A quay đi, viết vào đó một số có 3 chữ số, rồi lại viết thêm vào đuôi vẫn ba chữ số ấy, tạo nên số có sáu chữ số. A gấp mảnh giấy và đưa cho B để B chia số đó cho 7. B nói riêng cho C biết thương số (không nói số dư) C lại chia tiếp thương số cho 11, rồi nói kết quả (không nói số dư) cho D. D phải chia tiếp cho 13 và cũng chỉ viết kết quả (không cần nói số dư) vào mảnh giấy khác đưa cho NĐS. NĐS sẽ cho biết bạn A viết số nào.
Mách nước: NĐS đã biết trước kết quả sau cùng chính là số A đã nghĩ lúc đầu (ba chữ số). Vì rằng nếu A nghĩ số 456 chẳng hạn, thì 456 456 = 456 x 1001 mà 7 x 11 x 13 = 1001
11) NĐS cũng có thể biết trước kết quả của một loạt phép tính phức tạp. NĐS tự chọn trước các số a, b, c (ví dụ a = 6; b = 12; c = 4). Bạn hãy nghĩ một số tuỳ ý. Nhân số đó với a; cộng tiếp với b rồi chia cho c được kết quả thứ nhất. Bây giờ bạn lấy số đã nghĩ lúc đầu nhân với c rồi chia cho a, được bao nhiêu lấy nghịch đảo làm kết quả thứ hai (ví dụ nếu được 3 thì lấy nghịch đảo là ). Trừ kết quả thứ nhất cho kết quả thứ hai. NĐS sẽ nói ngay kết quả cuối cùng.!
Mách nước. NĐS biết rằng kết quả cuối cùng bao giờ cũng là dù bạn nghĩ bất kì số nào.
Ví dụ a, b, c lần lượt là 6; 12; 4 thì chắc chắn kết quả cuối cùng là 3.
12) Trong một số thuật đoán trên nếu bạn chọn số tự nghĩ chính là số tuổi của mình thì các thuật đoán số biến thành trò chơi đoán tuổi.
Để kết thúc, giới thiệu một cách đoán tuổi đơn giản nhất: Bạn hãy gấp 10 lần tuổi của mình rồi trừ đi một bội số nào đó của 9 (bội số đó nhỏ hơn 90). Đọc to hiệu số cho NĐS biết.
Mách nước: NĐS chỉ cần cộng số hàng trăm và hàng chục của hiệu số với số hàng đơn vị, tổng số chính là tuổi của bạn:
Ví dụ: Bạn 14 tuổi, gấp 10 lần thành 140
Hiệu số 140 - 27 = 13
Tuổi của bạn 11 + 3 = 14.
Có gì bí mật đằng sau tấm màn của các thuật đoán số vừa trình bày trên đây? thử xem xét ba thuật đó:
* ''Thuật đoán'' 2 của ông Ba-sê: Giả sử bạn chọn số X: Theo đúng trình tự tính toán, bạn sẽ lần lượt có các số:
5X; 5X + 6; 4 (5X + 6); (20X + 24) + 9 = 20X + 33 và 5 (20X + 33) -100X + 165.
Vậy muốn tìm X phải lấy tổng này trừ đi 165 rồi chia cho 100
* "Thuật đoan” 4: Giả sử bạn chọn số 92753 và 37592.
Hiệu số:
92753 - 37592 = 55161
Những cặp số cùng do các chữ số giống nhau nhưng khác vị trí tạo nên thì hiệu số luôn là một bội số của 9. Vậy nếu bạn bỏ bớt số 6 thì còn lại 5 + 5 + 1 + l = 12. Bội số của 9 lớn và gần 12 nhất là 18, vậy chữ số đã bỏ bớt phải là 18 - 12 = 6.
''Thuật đoán" 8: Giả sử bạn chọn ba số a, b, c. Làm theo đề bài, bạn sẽ có: 2a; 2a + 5, 5 (2a + 5); 10a + 25 + b; 10 (10a + b + 25); và cuối cùng là:Các thuật đoán khác cũng có thể giải thích tương tự, xin dành để bạn tự tìm hiểu.
100a + 10b + c + 250
Ba-sê lấy kết quả này bớt đi 250 còn lại 100a + 10b + c chính là số có ba chữ số abc.
113 là một số nguyên tố. Hơn nữa, nó là số nguyên tố Sophie Germain vì 2 x 113 + 1 = 227 cũng là số nguyên tố.
113 là số nguyên tố nhỏ nhất có 3 chữ số mà tích và tổng các chữ số của nó cũng là số nguyên tố: 1 x 1 x 3 = 3 và 1 + 1 + 3 = 5.
Các hoán vị của số 113 cũng là số nguyên tố (131, 311).
113 có thể biểu diễn thành tổng bình phương của hai số nguyên liên tiếp: 113 = 72 + 82 .
113 còn có một biểu diễn khác dưới dạng bộ ba Pitago: 1132 = 152 + 1122.
1132 = 12769 và đảo ngược của nó 96721 = 3112.
