Bài toán “dây quanh ống trụ” này do Tổ chức Đánh giá Thành tựu Giáo dục Quốc tế (IEA) đưa ra tại một cuộc thi dành cho các học sinh giỏi toán cấp trung học phổ thông đến từ 16 quốc gia trên thế giới vào năm 1995.

Đề bài như sau:

Một sợi dây được quấn đối xứng đúng 4 vòng quanh một ống trụ tròn đều. Ống trụ có chu vi 4 cm và độ dài là 12 cm.

Hỏi: Sợi dây dài bao nhiêu cm? Giải thích cụ thể cách làm của bạn.

Lời giải
Cách 1.
Sợi dây duỗi thẳng sẽ trở thành 4 đường chéo của 4 hình chữ nhật có kích thước 3x4 (cm).
Do chu vi ống trụ là 4 cm nên khi "trải phẳng" ống trụ, ta sẽ được một hình chữ nhật có kích thước 4x12 (cm).
Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có chiều dài mỗi đường chéo (hay mỗi đoạn dây) sẽ là √3² + 4² = 5 (cm)

Do mỗi đường chéo có kích thước bằng nhau nên tổng chiều dài sợi dây là 5 x 4 = 20 (cm).

Cách 2.
Tham số hoá sợi dây:$ (x(t),y(t),z(t))= ( l\frac{t}{4}, r \cos(2\pi t), r \sin(2\pi t) )$ trong đó $l$ là chiều dài và $r$ là bán kính mặt cắt, $t \in[0, 4]$.

Chiều dài của sợi dây là

$$\int\limits_0^4\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}dt=\sqrt{l^2 + 64 \pi^2 r^2}.$$

Thay  $ l=12$ cm và $r =\frac{2}{\pi}$ ta được chiều dài của sợi dây là 20 cm.