Đề thi Olympic Toán sinh viên Môn Đại số của Đại học Ngoại thương Hà Nội năm 2015
Bài 1. Tính định thức: $$F_n=\begin{vmatrix} 1 & -1 &0 &... &0&0 \\ 1 &1 &-1 &... &0 &0\\ 0 &1 &1&... &0 &0\\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &1&-1\\0 &0 &0 &... &1&1 \end{vmatrix}$$ trong đó $n \in N^*$
Chứng minh rằng $(F_n)$ là dãy số Fibonacci.
Bài 2. Cho $m,n \in N$, $0 \leq n \leq m+1$. Tìm một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ vec-tơ sau: $S={x_i=(1,C_{m+i}^1,C_{m+i}^2,…,C_{m+i}^{n-1})}_{i=1}^n$.
Bài 3. Tính định thức:$$D_n=\begin{vmatrix}a+b & ab &0 &... &0 \\ 1 &a+b &ab &... &0 \\ 0 &1 &a+b &... &0 \\ ... &... &... &... &... \\ 0 &0 &0 &... &a+b \end{vmatrix}$$
Bài 4. Cho $A \in Mat(2015, R)$, $A^{2015}=2015A$.
Hãy giải hệ phương trình?$$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1&+\; a_{12}x_2 &... & +\; a_{1,2015}x_{2015}x_n & =x_1\\ a_{21}x_1&+a_{22}x_2 & ... & +\;a_{2,2015}x_{2015} &=x_2 \\ ...& & ... & & ... & \\ a_{2015,1}x_1&+\;a_{2015,2}x_2 &... & +\;a_{2015,2015}x_{2015} &=x_{2015}\\\end{matrix}\right. $$
Bài 5. Giả sử $A \in Mat(n,R), det A \neq 0$ và mỗi dòng của A có đúng một số khác không bằng $\pm 1$. Chứng minh rằng:
a) $A^t=A^{-1}$
b) Có số tự nhiên $m$ để $A^m=A^{-1}$
Bài 6. Cho ma trận $A \in Mat(n, R)$, với $A=[a_{ij}]$ mà $a_{ii}=0$ với mọi $i=1,2…, n$. Chứng minh rằng tồn tại các ma trận B và C $\in Mat(n, R)$để $A=BC-CB$.
Bài 7. Cho đa thức $P(x)$ có hệ số thực thỏa mãn $P(2015)=2015!$ và $xP(x-1)=(x-2014)P(x)$. Đa thức $P^2(x)+1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 với hệ số nguyên được không?
Đề thi Olympic Toán sinh viên Môn Đại số của Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội năm 2015. Chia sẻ bở thầy Nguyễn Huy Hoàng.
Bài 1. Tính định thức
$$ D=\left| \begin{matrix} 1&n&n&\ldots &n\cr n&2&n&\ldots & n\cr n&n&3&\ldots &n\cr \vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr n& n& n&\ldots &n\cr\end{matrix}\right|$$
Bài 2.
Cho ma trận vuông $A=\left(\begin{matrix} 2015 & - 2014 \cr 2014 & -2013 \cr\end{matrix}\right)$. Hãy xác định số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại ma trận vuông cấp hai $X$ với các phần tử nguyên để
$$ X^{2015}+X^n=2A. $$
Bài 3. Cho $A$ là ma trận thực cỡ $6\times 2$ và $B$ là ma trận thực cỡ $2\times 6$ sao cho
$$ AB= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&0&1&4&3\\ 1&2&-3&-1&5&3\\ 2&-1&4&3&0&1\\
1&-2&5&3&-3&-1\\ -1&2&-5&-3&3&1\\ 6&0&6&6&6&6\\
\end{array}} \right|. $$
Hãy chứng minh rằng
$$ BA= \left(\begin{matrix} 10 & 0 \cr 0 & 10 \cr\end{matrix}\right)$$
Bài 4. Trên bảng đen ban đầu người ta cho sẵn ma trận $A_0=\left(\begin{matrix} 2 & -1 \cr 1 &0 \cr\end{matrix}\right)$. Sau đó một sinh viên được yêu cầu viết thêm lên bảng $10$ ma trận $A_1, A_2,\ldots , A_{10}$ đều có các phần tử nguyên sao cho $A_kA_0=A_0A_k, A_k^2\ne 0$ với mọi $k=1, 2,\ldots, 10$.
\sn
a) Hãy chỉ ra rằng sinh viên đó có thể lựa chọn các ma trận theo đúng yêu cầu trên sao cho chúng cũng thỏa mãn đẳng thức:
$$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2= \left(\begin{matrix} 125 & -100 \cr 100 & -75 \cr\end{matrix}\right).$$
b) Sinh viên đó có thể lựa chọn được các ma trận như thế để đẳng thức sau
$$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2= \left(\begin{matrix} 115 & -100 \cr 100 & -85 \cr\end{matrix}\right)$$
cũng xảy ra hay không?
Bài 5. Hãy cho biết tồn tại hay không đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho $P(1)=P(2)=P(3)=2015$ và $P(2015)=123$.
Không có nhận xét nào :