Ta có $$1+2+3+4+\ldots+n = \dfrac{n\times(n+1)}{2}.$$
Đây là trường hợp đặc biệt của công thức $$1^p+...+n^p=\frac{B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}$$ trong đó $B_k(x)$ là đa thức Bernoulli thứ $k$ và có rất nhiều cách chứng minh.

Minh họa bằng hình học: Tổng n số tự nhiên đầu tiên bằng nửa diện tích hình chữ nhật có kích thước $n\times(n+1)$

Cách 0: Đây là một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1 và công sai bằng 1.

Cách sơ cấp nhất có lẽ bạn đã quen thuộc từ câu chuyện về việc tính nhanh của Gauss.
Cách 1:
Đặt $S = 1 + 2 + ... + (n-1) + n.$
Viết tổng trên theo chiều ngược lại ta có $S = n + (n-1) + ... + 2 + 1.$
Cộng vế tho vế ta có
$2S = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) = n(n+1).$
Suy ra $S = n(n+1)/2$.
Cách 2:
Ta có $\dfrac{k+1}2-\dfrac{k-1}2=1 \implies\dfrac{k(k+1)}2-\dfrac{(k-1)k}2=k$

$\implies \sum_{k=1}^n\Bigg(\dfrac{k(k+1)}2-\dfrac{(k-1)k}2\Bigg)=\sum_{k=1}^nk\implies\dfrac{n(n+1)}2-\dfrac{1(1-1)}2=\sum_{k=1}^nk$

$\implies\sum_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}2$.
Cách 3:
$$\sum_{i=0}^ni-\sum_{i=0}^{n-1}i=S_1(n)-S_1(n-1)=n,$$
$S_1(n)$ là một đa thức bậc hai theo $n$.
Dùng phương pháp hệ số bất định và để ý $S_1(0)=0$ ta có
$$S_1(n)-S_1(n-1)=n=(an^2+bn)-(a(n-1)^2+b(n-1))=\\=2an+b-a,$$
suy ra
$$a=b=\frac12.$$
$$S_1(n)=\frac{n^2+n}2.$$

Cách 4:
$\begin{aligned} \displaystyle & \sum_{0 \le k \le n}k^2 = \sum_{0 \le k \le n}(n-k)^2 = n^2\sum_{0 \le k \le n}-2n\sum_{0 \le k \le n}k+\sum_{0 \le k \le n}k^2 \\& \implies 2n\sum_{0 \le k \le n}k = n^2(n+1) \implies \sum_{0 \le k \le n}k = \frac{1}{2}n(n+1).\end{aligned}$

Cách 5:
Ta có $(i+1)^2-i^2=2i+1$
Khi đó

$$ \sum_{i=1}^n (2i+1) = \sum_{i=1}^n [(i+1)^2-i^2] = (n+1)^2-1=n^2+2n \,.$$

hay
$$n^2+2n= 2[\sum_{i=1}^n i] +n \,.$$
Cách 6: Quy nạp.

Cách 7:
Ta có $1 + x + x^2 + ... + x^n = \dfrac{x^{n+1} - 1}{x-1}$.
Đạo hàm hai vế $$ 1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^{n-1} = \dfrac{ (n+1)x^n (x-1) - x^{n+1} + 1}{ (x-1)^2 }.$$
Cho x dần tới 1 trong vế phải ta được

$$ \lim_{x \to 1} \dfrac{ (n+1)x^n (x-1) - x^{n+1} + 1}{ (x-1)^2} = \lim_{x \to 1}\dfrac{ (n+1) [ (n+1)x^n - nx^{n-1} ] - (n+1)x^n }{2(x-1)} = $$
$$ \lim_{x \to 1} \dfrac{ (n+1)[(n+1)(n)x^{n-1} - n(n-1)x^{n-2}] - (n+1)(n)x^{n-1} } {2}$$

$$ =\dfrac{1}{2}(n+1)(n) [ (n+1) - (n-1) - 1] = \dfrac{ (n)(n+1)}{2}.$$

Cách 8:

Đỉnh $v_1$, được nối với $n-1$ đỉnh khác, do đó có $n-1$ cạnh. Theo chiều kim đồng hồ, đỉnh tiếp theo $v_2$ nối với $n-2$ đỉnh (không tính $v_1$ và $v_2$), ta có thêm $n-2$ cạnh, $v_3$ thêm vào $n-3$ cạnh, ... , $v_{n-1}$ thêm 1 cạnh và $v_n$ không tạo ra cạnh mới nào.

Do đó số cạnh của đồ thi $K_n$ là:

$$E = \sum\limits_{i=1}^{n-1} i$$
Mỗi cạnh gồm hai đỉnh, nên số cạnh bằng số cách chọn hai phần tử phân biệt từ tập hopwj gồm n phần tử. Do đó

$$E = \sum\limits_{i=1}^{n-1} i = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$$

Cách 9:
Xét chuỗi lũy thừa

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{i=0}^{n}i\right)x^n==\frac{x}{(1-x)^3}.$$

Khai triển Taylor của hàm $\frac{x}{(1-x)^3}$ cho bởi công thức

$$\frac{x}{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty \frac{n(n+1)}{2}x^n$$

Do đó $$\sum_{i=0}^nj=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Và ắt hẳn bạn còn nhiều cách khác.