Trại hè Hùng Vương lần thứ X-năm 2014 diễn ra từ 31/7 đến 3/8/2014 tại Trường THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh).

Đề thi trại hè Hùng Vương năm 2014
Môn: Toán 11

Câu 1 Cho dãy số $\left( u_n \right)$ được xác định như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
u_1=2014\\
u_{n+1}=u_n^2+ (1-2a)u_n+a^2
\end{array} \right.$

Tìm điều kiện của $a \in \mathbb{R}$ để dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2 Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với hai cạnh $AC, BC$ lần lượt tại $E, F$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $P$. Một đường thẳng song song với $AB$ và tiếp xúc với $(I)$ tại $Q$ nằm trong tam giác $ABC$

a, Gọi $KL$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $PE$ và $PF$ với $(O)$. Chứng minh $KL$ song song với $EF$

b, Chứng minh $\widehat{ACP} = \widehat{QCB}$

Câu 3 Cho $P(x), Q(x) \in \mathbb{R}_{\left[x\right]}$ có bậc là $2014$ và hệ số cao nhất bằng $1$. Chứng minh rằng nếu phương trình $P(x)=Q(x)$ không có nghiệm thực thì phương trình sau có nghiệm thực
$$P(x+2013)=Q(x-2013)$$

Câu 4 Trong mặt phẳng cho $2n+1$ đường thẳng phân biệt sao cho không có 2 đường thẳng nào song song hoặc vuông góc và không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Chúng cắt nhau tạo thành các tam giác. Chứng minh số tam giác nhọn đc tạo ra không vượt quá $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Câu 5 Tìm tất cả các bộ số $\left(x,y,z\right)$ nguyên dương thoả mãn:
$$1+4^x + 4^y = z^2$$