Kì thi Olympic Toán Quốc tế năm 2014 IMO 2014 diễn ra tại Cape Town, Nam Phi từ 3/7 đến 13/7 năm 2014. Đội tuyển Việt Nam gồm 6 thí sinh do thầy Lê Bá Khánh Trình làm trưởng đoàn (đã đăng ở đây). Sau đây VNMATH giới thiệu Đề thi Olympic Toán Quốc tế năm 2014.

Đội tuyển thi  IMO 2014 của Việt Nam

Ngày thi thứ nhất (8/7/2014)
Bài 1. Cho $a_0 < a_1 < a_2 \ldots$ là một dãy vô hạn số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất $n\geq 1$ sao cho
\[a_n < \frac{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \leq a_{n+1}.\]

Bài 2. (Croatia) Cho số nguyên $n \ge 2$. Xét bảng ô vuông $n \times n$ gồm $n^2$ hình vuông đơn vị. Một cách sắp xếp của $n$ quân xe trong bảng đó được gọi là bình yên nếu mỗi hàng và mỗi cột chứa đúng 1 quân xe. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất sao cho với mỗi cách sắp xếp bình yên của $n$ quân xe đều tồn tại một hình vuông $k \times k$ mà mỗi ô vuông đơn vị trong số $k^2$ ô vuông đơn vị của nó đều không chứa quân xe.

Bài 3. Tứ giác lồi $ABCD$ có $\widehat{ABC} = \widehat{CDA} = 90^{\circ}$. Điểm $H$ là chân đường vuông góc hạ  từ $A$ xuống $BD$. Các điểm $S$ và $T$ lần lượt nằm trên $AB$ và $AD$ sao cho $H$ nằm ở miền trong tam giác $SCT$ và $\widehat{CHS} - \widehat{CSB} = 90^{\circ}$, $\widehat{THC} - \widehat{DTC} = 90^{\circ}$. Chứng minh rằng $BD$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp của tam giác $TSH$.

Ngày thi thứ nhất: Ba bài toán và 4 tiếng rưỡi

Ngày thi thứ hai (9/7/2014)