Đề thi Olympic Toán Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ năm 2014

Môn Toán lớp 10.

Câu 1. Giải phương trình: $$(6x-3)\sqrt{7-3x}+(15-6x)\sqrt{3x-2}=2\sqrt{-9x^{2}+27x-14}+11.$$

Câu 2. Cho tam giác $ABC$ ($BC<AC$). Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $AP$ vuông góc với $BC$ tại $P$, $BQ$ vuông góc với $AC$ tại $Q$. Giả sử đường thẳng $PQ$ cắt $AB$ tại $T$. Chứng minh $TH$ vuông góc $CM$. ($H$ là trực tâm tam giác $ABC$).

Câu 3. Cho hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$ là tập số thực) thỏa $f(f(x))=x^{3}+\frac{3}{4}x $ với mọi $x\in \mathbb{R} $. Chứng minh tồn tại 3 số thực phân biệt $a,b,c$  sao cho $f(a)+f(b)+f(c)=0$.

Câu 4. Tìm $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ $$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq k(ab+bc+ca)^{2}.$$

Câu 5. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để $2013^{n}-1$ chia hết cho $2^{2014}$.

Môn Toán lớp 11.

Câu 1. Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} 2x-2y+\sqrt{x+y+3xy+1}&=1\\ \sqrt[3]{3y+1}&=8x^2-2y-1\\x&>0.\end{cases}$$

Câu 2. Cho dãy số $\left ( a_n \right )_{n=1}^{\infty } $ xác định như sau $a_1=1, a_{n+1}=\frac{a_n^2-a_n+10}{5-a_n}$.

1. Chứng minh dãy hội tụ và tính giới hạn

2. Chứng minh $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}< \frac{5-\sqrt{5}}{2}$ với mọi $n\geq 1$.

Câu 3. Gọi $AD,BE,CF$ là đường phân giác trong của tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Đoạn thẳng $AD$ cắt $EF$ tại $K$. Đường thẳng qua $K$ song song với $BC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh $MN\geq \frac{2-\sqrt{2}}{2}(AB+AC)$.

Câu 4. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x^2+y^2)=xf(x)+yf(y)$$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.

Câu 5. Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200. Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100.