Bài 2: Cho hàm số $ f(x)$ liên tục trên [0;2014) và thỏa mãn điều kiện: $\int\limits_x^{2014} {f(t)dt \ge \frac{{1 + {x^2}}}{2}}$. Chứng minh rằng: $\int\limits_0^{2014} {{f^2}(t)dt \ge 2014} $

Bài 3: Chứng minh rằng: Không tồn tại f(x) là hàm số dương, liên tục trên ${\rm{[}}0, + \infty )$ và thỏa mãn điều kiện: $f'(x) \ge f(f(x))$.

Bài 4: Cho $ f(x)$ là hàm số khả vi liên tục đến cấp 3 trên [0;1] . Giả sử: $f(0) = f'(0) = f'(1) = f''(0) = f''(1) = 0\] và \[f(1) = 1$. Chứng minh rằng: tồn tại $c \in (0;1)$ sao cho $f'''(c) \ge 24$ .

Bài 1: Tính định thức \[{\Delta _{n + 1}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & { - 1} & 0 & {...} & 0 \\ x & h & { - 1} & {...} & 0 \\ {{x^2}} & {hx} & h & { - 1} & 0 \\ {...} & {...} & {...} & \ddots & \vdots \\ {{x^n}} & {{x^{n - 1}}} & {{x^{n - 2}}} & {...} & h \\ \end{array}} \right|\]

Bài 2: Cho A,B là các ma trận vuông cấp n thỏa mãn: $ \rank(AB-BA)=1$. Chứng minh rằng: ${(AB - BA)^2} = 0$.

Bài 3: Chứng minh rằng hệ các vector ${\rm{\{ }}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},c{\rm{osx}},\sin 2{\rm{x,cos}}2{\rm{x}},...,\sin n{\rm{x,}}\cos n{\rm{x}},...{\rm{\} }}$ là độc lập tuyến tính trong không gian vecto các hàm liên tục trên đoạn ${\rm{[}}0,2\pi {\rm{]}}$ .

Bài 4: Cho P(x) là đa thức hệ số thực bậc n có đủ n nghiệm thực. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $x \in R$, $n{(P'(x))^2} \ge (n - 1)P''(x)P(x)$.