VNMATH giới thiệu đề Thử sức trước kì thi Đại học của tạp chí Toán học Tuổi trẻ số 439 tháng 1 năm 2014. Đề ra bởi thầy Đào Văn Chánh, THPT Trần Quốc Tuấn, Phú Yên.
I. PHẦN CHUNG 

Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số $y=\frac{x-5}{x-2} (C)$.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

2. Tìm điểm M thuộc đồ thị $(C)$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ cắt trục hoành tại $A$ và cắt trục tung tại $B$ thỏa mãn $3OA = 4OB$.

Câu 2 (1 điểm). Giải phương trình $ 2{{\cos }^{3}}x-3\cos x+2\sin x{{\cos }^{2}}x+\sin x=0.$

Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình $\sqrt{2{{x}^{2}}+3x+1}+\sqrt{1-3x}=2\sqrt{{{x}^{2}}+1}$

Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{e}^{x}}\sin xdx}{{{(\sin x+\cos x)}^{2}}}}$

Câu 5 (1 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa AC’ và đáy (ABC) là $60^0$. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ theo a.

Câu 6 (1 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=4{{(a+b+c)}^{2}}+3\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)$

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh được chọn một trong hai phần

A. Theo chương trình chuẩn

Câu 7a (1 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho elip $(E):\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$ và điểm I(1;2). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm I và cắt elip (E) tại hai điểm A và B sao cho I là trung điểm của AB.

Câu 8a (1 điểm). Trong mặt phẳng Oxyz cho hai điểm $A(0;0; - 3) $ và $B( 2; 0; - 1 )$ và mặt phẳng $(P) : 3x – 8y + 7z – 1 = 0$. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB vuông cân tại M.

Câu 9a (1 điểm). Tìm số phức z có modun nhỏ nhất biết rằng $\left| z-2+i \right|=\sqrt{2}\left| z+1-i \right|$.

B . Theo chương trình nâng cao

Câu 7b (1 điểm). Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết rằng AB, CD lần lượt đi qua các điểm $P(2;1)$ và $Q(3;5)$ còn BC và AD lần lượt đi qua các điểm $R(0;1)$và $S( - 3 ; - 1)$.

Câu 8b (1 điểm). Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $(d):\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$ và mặt cầu $(S):{{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=2$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Câu 9b (1 điểm). Tìm số phức z có modun nhỏ nhất biết rằng $\left| z-2 \right|+\left| z+2 \right|=6$.