Đề thi Olympic Toán Sinh viên Trường Đại học Giao thông Vân tải TP. Hồ Chí Minh năm 2014.
Môn Giải tích:
Câu 1. Cho dãy số$ \left \{ u_{n} \right \},n \epsilon \mathbb{N}$ được xác định:
$u_{1}=1, u_{n}=\frac{n}{n+1}u_{n-1}+\alpha _{n} \left ( n=2,3,... \right )$
Trong đó $ \alpha _{n}$ là dãy số cho trước.
a. Tính $u_{2013}$, biết rằng $\alpha _{n}=\frac{n^{2}}{n+1}$.
b. Tính $\lim\limits_{n \to \infty }u_{n}$, biết rằng $\lim\limits_{n \to \infty }\left ( n+1 \right )\alpha _{n}=2013$.

Câu 2.
a. Cho $a_{1},...,a_{n}$ là các số dương. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm dương:
$x^{n}-a_{1}x^{n-1}-...-a_{n}=0$.
b. Cho $\alpha \epsilon \left ( 0,1 \right )$. Chứng minh rằng: $\left ( 1+x \right )^{\alpha }\leq 1+\alpha x-\frac{\alpha \left ( \alpha -1 \right )}{8}x^{2},\forall x\epsilon \left \lfloor -1,1 \right \rfloor$.

Câu 3. Tính các giới hạn sau:
a. $A=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{\sin x}}$
b. $B=\lim\limits_{x \to 0}\left ( x^{2}\left ( 1+2+3+...+\left [ \frac{1}{\left [ x \right ]} \right ] \right ) \right )$ trong đó $(\left [ x \right ]$ là phần nguyên của $x$).

Câu 4. Cho$ f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi đến cấp 3 và thỏa điều kiện:
$f\left ( -1 \right )=f\left ( 0 \right )=0=f^{'}\left ( 0 \right )=0;f\left ( 1 \right )=1$
Chứng minh rằng tồn tại $c\epsilon \left ( -1,1 \right )$ sao cho$ f^{'''}\left ( c \right )\geq 3$.Tìm 1 hàm f thỏa các điều kiện trên sao cho$ f^{'''}\left ( x \right )=3$,$\forall x\epsilon \left [ -1,1 \right ]$.

Câu 5. Tính các tích phân sau:
a. $ J\left ( x \right )=\int\limits \left ( x+3 \right )e^{x}\cos 3x dx$
b. $ I_{n}=\int\limits_{-\Pi }^{\Pi }\frac{\sin nx}{\left ( 1+2^{x} \right )\sin x}dx \left ( n\epsilon \mathbb{N} \right )$.

Câu 6.  Cho đa thức $P\left ( x \right )=x^{2}+mx+n \left ( m,n\epsilon \mathbb{Z} \right )$. Chứng minh rằng tồn tại k nguyên sao cho $P\left ( k \right )=P\left ( 2013 \right ).P\left ( 2014 \right )$.

Môn Đại số: Đang cập nhật/