Trường Đông Toán học năm 2013 tổ chức các bài giảng chuyên đề do các chuyên gia trong lĩnh vực Bồi dưỡng học sinh giỏi đảm trách về các lĩnh vực: Tổ hợp, Hình học, Số học, Đại số, Giải tích hướng đến VMO 2104. Ngoài ra, có 2 bài kiểm tra theo đúng cấu trúc đề thi HSG được chấm và sửa kỹ để giúp các em biết được những lỗi có thể bị trừ điểm, nâng cao hiệu quả làm bài.

Tải về file PDF: Download.

Đề kiểm tra Trường Đông Toán học Miền Nam 2013.
Ngày 1.
Bài 1. Cho dãy số thực $(a_n)$ xác định bởi: $a_1 = \dfrac{1}{3} , a_2 = \dfrac{2}{7}$ và $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{a_n}{3} + \dfrac{a_{n-1}^2}{6}$. Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó.

Bài 2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực

$$\begin{cases} x(y+z) = x^2 + 2\\ y(z+x) = y^2 + 3\\ z(x+y) = z^2 + 4\end{cases}$$

Bài 3. Cho $ABC$ là tam giác nhọn. $(I)$ là đường tròn nội tiếp có tâm là $I$, $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tâm là $O$ và $M$ là trung điểm của đường cao $AH$, với $H$ thuộc $BC$. $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Đường thẳng $MD$ cắt $(I)$ tại điểm thứ hai $P$ và đường thẳng qua $I$ vuông góc $MD$ cắt $BC$ ở $N$. Đường thẳng $NR$, $NS$ tiếp xúc $(O)$ tương ứng tại $R, S$.

1. Gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$. Chứng minh $M, D, J$ thẳng hàng.
2. Chứng minh các điểm $R, P, D, S$ thuộc cùng một đường tròn.

Bài 4. Cho $n \geq 2$ là một số nguyên dương. Xét tập hợp các đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên từ điểm $A(0; 0)$ đến điểm $B(n; n)$. Một đường đi như thế sẽ tương ứng với một dãy gồm $n$ lệnh $T$ (lên trên) và $n$ lệnh $P$ (sang phải). Trong dãy đó, một cặp lệnh $(T, P)$ kề nhau được gọi là một bước chuyển (lưu ý, cặp $(P, T)$ không được gọi là bước chuyển). Ví dụ dãy $PTTPTPPT$ có hai bước chuyển. Hãy tìm số các đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $B$ có đúng

1. $1$ bước chuyển;
2. $2$ bước chuyển.