Tiếp theo Phần 1 , Phần 2, Phần 3 , Phần 4, Phần 5, Phần 6, Phần 7, Phần 8, Phần 9, Phần 10 và Phần 11.
Kĩ thuật tính tích phân nâng cao phần 12: Một lớp tích phân lượng giác
Bổ đề 1
Với \(x\) thích hợp, ta có
\[\begin{align*}\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos(n\theta)}{x^{n+1}}&= \frac{x-\cos \theta}{x^2-2x\cos \theta+1} \tag{1}\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{x^{n+1}}&= \frac{\sin \theta}{x^2-2x\cos \theta+1}\tag{2}\end{align*}\]
Chứng minh. (1) và (2) lần luwotj là phần thực và phần ảo của chuỗi
\[\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{e^{i\theta}}{x}\right)^n = \frac{x}{x-e^{i\theta}}\]

Kết quả 1.
Với \(a\) thích hợp, ta có
\[\int_0^{\infty} \frac{a-\cos(x)}{(a^2-2a\cos x+1)(1+x^2)}dx = \frac{\pi e}{2(ae-1)}\tag{3}\]

Chứng minh.
Theo Bổ đề 1,
\[\begin{align*}\int_0^\infty \frac{a-\cos(x)}{(a^2-2a\cos x+1)(1+x^2)}dx &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a^{n+1}}\int_0^\infty \frac{\cos(n x)}{1+x^2} dx \\&= \frac{\pi}{2a}\sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{ae}\right)^n \\ &=\frac{\pi}{2a}\left( \frac{1}{1-\frac{1}{ae}}\right) \\ &= \frac{\pi e}{2(ae-1)}\end{align*}\]

Kết quả 2.
Ta có
\[\int_0^\infty \frac{a-\cos (x)}{a^2-2a \cos x +1}\cdot \frac{1}{1+x^4}dx\]
\[=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\exp \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{a \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+\sin \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{1-2a \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) +a^2 \exp \left(\sqrt{2}\right)} \tag{4}\]
Chứng minh.

Theo Bổ đề 1,

\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{a-\cos (x)}{a^2-2a \cos x +1}\cdot \frac{1}{1+x^4}dx &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a^{n+1}}\int_0^\infty \frac{\cos(nx)}{1+x^4}dx \\
&= \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a^{n+1}}\left\{ e^{-n/\sqrt{2}} \left( \cos \frac{n}{\sqrt{2}}+\sin \frac{n}{\sqrt{2}}\right)\right\} \\
&= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \left[ \Re \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-n(1+i)/\sqrt{2}}}{a^{n+1}}+\Im \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-n(1+i)/\sqrt{2}}}{a^{n+1}}\right]
\end{align*}
$$= \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\exp \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{a \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+\sin \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{1-2a \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) +a^2 \exp \left(\sqrt{2} \right)}$$
Ví dụ 1.
Thay \(a=2\) trong Kết quả 2, ta được

\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{2-\cos x}{5-4\cos x}\times \frac{1}{1+x^4}dx=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\exp \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{2 \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+\sin \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{1-4 \exp \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cos \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) +4 \exp \left(\sqrt{2} \right)}\)

Mathematica không thể tính tích phân này.

Bổ đề 2.
\[
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{n \cos(n \theta)}{x^{n+1}} &= \frac{\cos \theta (1+x^2)-2x}{\left(x^2-2x\cos \theta+1 \right)^2}
\end{align*}
\]

Kết quả 3.
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1-2a\cos x+a^2)(1+x^2)}dx =\frac{\pi (e^2-1)}{2(e-a)(ae-1)} \left\{\frac{a}{a^2-1}-\frac{e}{e^2-1}\right\} \tag{5}\)

Chứng minh.
\[
\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{1}{(1-2a\cos x+a^2)(1+x^2)}dx &= \frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{2\pi n}^{2\pi (n+1)} \frac{1}{(1-2a\cos x+a^2)(1+x^2)}dx \\
&= \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^{2\pi}\frac{1}{(1-2a\cos x+a^2)(1+(x+2\pi n)^2)}dx \\
&= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \frac{1}{1-2a\cos x+a^2}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+(x+2\pi n)^2}dx
\end{align*}\]
$$=\frac{1}{4}\tanh\left( \frac{1}{2}\right) \int_0^{2\pi} \frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{(a^2-2a\cos x+1)\left( \tan^2 \frac{x}{2}+\tanh^2 \frac{1}{2}\right)}dx$$
$$= \frac{\pi (1+e)^2}{2(e-a)(ae-1)}\tanh\left( \frac{1}{2}\right) \left\{\frac{a}{a^2-1}-\frac{e}{e^2-1}\right\}$$


Kết quả 4.
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{\cos x}{1-2a \cos x+a^2} \times \frac{1}{1+x^2}dx \)
\[= \frac{a\pi (e^2-1)}{2(e-a)(ae-1)} \left\{\frac{a}{a^2-1}-\frac{e}{e^2-1}\right\}-\frac{\pi e}{2(ae-1)} \tag{6}\]

Ví dụ 2.
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{\cos x}{5-4\cos x} \times \frac{1}{1+x^2}dx = \frac{\pi }{2e-1}\left[ \frac{e^2-1}{e-2}\left\{ \frac{2}{3}-\frac{e}{e^2-1}\right\}-\frac{e}{2} \right]=0.5568468705 \cdots\)
Mathematica không thể tính tích phân này.
Còn nữa...