Tiếp theo Phần 1 , Phần 2, Phần 3 , Phần 4, Phần 5, Phần 6, Phần 7, Phần 8 và Phần 9.
Trong bài này ta tìm hiểu chi tiết hơn về hàm số Clausen (đã giới thiệu qua ở Phần 8) cũng như mối liên hệ của nó với một số hàm đặc biệt khác như hàm Gamma Functions, hàm Zeta, hàm Polylogarit và ứng dụng nó vào việc tính tích phân.
Hàm số Clausen được định nghĩa bởi nhà Toán học và thiên văn người Đan Mạch Thomas Clausen. Nó có dạng như sau:
\(\displaystyle \text{Cl}_m(\theta) =
\begin{cases}
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^m} & \text{nếu }m\text{ chẵn} \\
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos k\theta}{k^m} & \text{nếu }m\text{ lẻ}
\end{cases}\)
\(\displaystyle \text{Sl}_m(\theta) =
\begin{cases}
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos k\theta}{k^m} & \text{nếu }m\text{ chẵn} \\
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^m} & \text{nếu }m\text{ lẻ}
\end{cases}\)
Ta bắt đầu khám phá các tính chất của hàm số Clausen qua các công thức lượng giác cơ bản. Chẳng hạn, xét hiệu
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^{2m}}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k(\pi-\theta)}{k^{2m}}=\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^{2m}}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\sin\pi k\cos k\theta-\cos\pi k\sin k\theta)}{k^{2m}}=\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^{2m}}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\cos\pi k\sin k\theta)}{k^{2m}}=\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin k\theta}{k^{2m}}+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{\sin k\theta}{k^{2m}}=\)
\(\displaystyle 2\,\left(\frac{\sin 2\theta}{2^{2m}}+\frac{\sin 4\theta}{4^{2m}}+\frac{\sin 6\theta}{6^{2m}}+\cdots\,\right)=\)
\(\displaystyle \frac{2}{2^{2m}}\,\left(\sin 2\theta+\frac{\sin 4\theta}{2^{2m}}+\frac{\sin 6\theta}{3^{2m}}+\cdots\,\right)=\frac{1}{2^{2m-1}}\text{Cl}_{2m}(2\theta)\)
Từ đó ta có kết quả đầu tiên:
KQ1. Công thức nhân đôi cho hàm Clausen bậc chẵn
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(2\theta)=2^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)\right]\)
Trong công thức trên thay \(\displaystyle \theta\,\) bởi $x$, và lấy tích phân hai vế ta có
\(\displaystyle \int_0^{\varphi}\text{Cl}_{2m}(2x)\,dx=2^{2m-1}\left[\int_0^{\varphi}\text{Cl}_{2m}(x)\,dx-\int_0^{\varphi}\text{Cl}_{2m}(\pi-x)\,dx\right]\)
Vế trái có thể viết lại
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2m}}\,\int_0^{\varphi}\sin 2kx\,dx=-\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2m+1}}\Big[\cos 2kx\Big]_0^{\varphi}=\)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos 2k\varphi}{k^{2m+1}}+\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2m+1}}=\frac{1}{2}\,[\zeta(2m+1)-\text{Cl}_{2m+1}(2\varphi)]\)
Vế phải bằng
\(\displaystyle 2^{2m-1}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2m}}\int_0^{\varphi}\left[\sin kx-\sin k(\pi-x)\right]\,dx=\)
\(\displaystyle 2^{2m-1}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2m+1}}\Big[-\cos kx+\cos k(\pi-x)\Big]_0^{\varphi}=\)
\(\displaystyle 2^{2m-1}\,\sum_{k=1}^{\infty}\frac{[\cos k(\pi-\varphi)-\cos k\varphi]}{k^{2m+1}}=2^{2m-1}[\text{Cl}_{2m+1}(\pi-\varphi)-\text{Cl}_{2m+1}(\varphi)]\)
Từ đó ta có công thức nhân đôi cho hàm Clausen bậc lẻ
KQ2.
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m+1}(2\theta)=\zeta(2m+1)+2^{2m}\left[\text{Cl}_{2m+1}(\theta)-\text{Cl}_{2m+1}(\pi-\theta)\right]\)
Từ hai công thức trên ta có thể suy ra một giá trị cụ thể của hàm Clausen.
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(2\theta)=2^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)\right]\)
Thay \(\displaystyle \theta=0\,\) ta có kết quả hiển nhiên:
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(0) = 0\)
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi n) = 0\)
Thay \(\displaystyle \theta=\pi/3\,\) ta được
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi/3)=\frac{(1+2^{2m-1})}{2^{2m-1}}\text{Cl}_{2m}(2\pi/3)\)
Tương tự thay \(\displaystyle \theta=\pi/4\,\) thì
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi/2)=2^{2m-1}\text{Cl}_{2m}(\pi/4)-2^{2m-1}\text{Cl}_{2m}(3\pi/4)\)
Giái trị của hàm Clausen ở vế trái có thể biểu diễn theo hàm Beta Dirichlet Beta
\(\displaystyle \beta(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^x}\)
như sau
Tóm lại ta có
KQ 3.
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(0) = 0\)
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi n) = 0\)
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi/2) = \beta(2m)\)
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi/3)=\frac{(1+2^{2m-1})}{2^{2m-1}}\text{Cl}_{2m}(2\pi/3)\)
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(\pi/4)=\frac{\beta(2m)}{2^{2m-1}}+\text{Cl}_{2m}(3\pi/4)\)
Tiếp tục, áp dụng công thức nhân đôi ta có công thức nhân bốn
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(2\theta)=2^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)\right]\)
Suy ra
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(4\theta)=2^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(2\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-2\theta)\right]=\)
\(\displaystyle 2^{2m-1}\left[2^{2m-1}\left(\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)\right)\right]-2^{2m-1}\text{Cl}_{2m}(2(\pi/2-\theta))=\)
\(\displaystyle 4^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)\right]-4^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\pi/2-\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi/2+\theta)\right]\)
KQ4.
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}(4\theta)=4^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}(\theta)-\text{Cl}_{2m}(\pi-\theta)
-\text{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\text{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right]\)
Trong kết quả 4, cho \(\displaystyle \theta=\pi/8\,\) ta có
\(\displaystyle \text{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{2}\right)=4^{2m-1}\left[\text{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{8}\right)-\text{Cl}_{2m}\left(\frac{7\pi}{8}\right)
-\text{Cl}_{2m}\left(\frac{3\pi}{8}\right)+\text{Cl}_{2m}\left(\frac{5\pi}{8}\right)\right]\)
Từ đó, ta có kết quả tiếp theo.
KQ5. \(\displaystyle \text{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{8}\right)
-\text{Cl}_{2m}\left(\frac{3\pi}{8}\right)
+\text{Cl}_{2m}\left(\frac{5\pi}{8}\right)
-\text{Cl}_{2m}\left(\frac{7\pi}{8}\right)=\frac{\beta(2m)}{4^{2m-1}}\)
Đặc biệt, \(\displaystyle \text{Cl}_{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)
-\text{Cl}_{2}\left(\frac{3\pi}{8}\right)
+\text{Cl}_{2}\left(\frac{5\pi}{8}\right)
-\text{Cl}_{2}\left(\frac{7\pi}{8}\right)=\frac{\beta(2)}{4}=\frac{G}{4}\)
Còn nữa...
Không có nhận xét nào :