Tiếp theo Phần 1 ,  Phần 2 và Phần 3. 
4. Hàm Beta:

Định nghĩa:

$$\int^1_0 t^{x-1}(1-t)^{y-1} \, dt= B(x,y)$$
trong đó x, y là các số phức có phần thực dương.
Hàm Beta được nghiên cứu lần đầu bởi Euler và Legendre, tên của nó được đặt bởi Jacques Binet; kí hiệu Β ở đây là chữ viết hoa của kí tự β Hy Lạp và khi viết thì giống với kí tự B Latin.

Mối liên hệ của nó với hàm Gamma là

$$B(x,y)\,=\,{\Gamma(x)\Gamma(y) \over \Gamma(x+y)}$$

Ta có thể chứng minh đẳng thức này bằng cách dùng tích chập (xem phần 2).

Từ đó ta có tính đối xứng của hàm Beta $ \displaystyle B(x,y) = B(y,x) $.

Hàm Beta còn có nhiều biểu diễn khác có thể chứng minh tính tương đương với định nghĩa bằng cách sử dụng các phép đổi biến (dành cho bạn đọc):

$$B(x,y) \,=\, \int ^{\infty}_0 \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\, dt$$


$$B(x,y) \,=\,2\,\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^{2x-1}(t) \sin^{2y-1}(t)\,dt$$


Ví dụ 1. Tính

$ \displaystyle \int^{\infty}_0 \frac{1}{(x^2+1)}\, dx$

Đặt $x=\sqrt{t}$, ta có

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)}\,dt$

Đây là biểu diễn thứ 2 của hàm Beta với:

$ \displaystyle x-1={-1 \over 2} \,\, \Rightarrow \,\, x={1\over 2}$

$ \displaystyle x+y={1} \,\, \Rightarrow \,\, y={1\over 2}$

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)}\,dt=\frac{B({1 \over 2},{1 \over 2})}{2}=\frac{\Gamma({1 \over 2})\, \Gamma({1\over 2})}{2}= \frac{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}{2}=\frac{\pi}{2}$

Ví dụ 2: Tính

$ \displaystyle \int^{\infty}_0 \frac{1}{(x^2+1)^2}\, dx$

Tương tự, ví dụ 1 ta có

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)^2}\,dt$

$ \displaystyle x-1={-1 \over 2} \,\, \Rightarrow \,\, x={1\over 2}$

$ \displaystyle x+y={2} \,\, \Rightarrow \,\, y={3\over 2}$

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)^2}\,dt=\frac{B({1 \over 2},{3 \over 2})}{2}=\frac{\Gamma({1 \over 2})\, \Gamma({3\over 2})}{2}= \frac{\Gamma({1 \over 2})\, \Gamma({1\over 2})}{4}=\frac{\pi}{4}$


Ví dụ 3. $$\int^{\infty}_0 \frac{1}{(x^2+1)^n}\, dx \,\,\, \forall\,\, n> \frac{1} {2} $$

Đổi biến như ví dụ 1

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)^n}\,dt$

$ \displaystyle x-1={-1 \over 2} \,\, \Rightarrow \,\, x={1\over 2}$

$ \displaystyle x+y={n} \,\, \Rightarrow \,\, y=n-{1\over 2}$


$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)^n}\,dt=\frac{\Gamma ({1\over 2})\cdot \Gamma\left(n-{1\over 2}\right)}{2\Gamma(n)}$

Việc còn lại là tính $ \displaystyle \Gamma\left(n-{1\over 2}\right)$ ?

Theo đẳng thức Legendre ở phần 3,  $ \displaystyle \Gamma\left(k+{1\over2}\right) =\frac{(2k)!\sqrt{\pi}}{4^k\,k!}$

Cho $ \displaystyle k=n-1$ ta được $ \displaystyle \Gamma\left(n-{1\over2}\right) =\frac{(2n-2)!\sqrt{\pi}}{4^{n-1}\,(n-1)!}=\frac{\Gamma\left(2n-1\right)\sqrt{\pi}}{4^{n-1}\,\Gamma(n)}$

Thay vào tích phân

$ \displaystyle \frac{1}{2}\int^{\infty}_0 \frac{t^{\frac{-1}{2}}}{(t+1)^n}\,dt=\frac{2\pi \,\cdot \Gamma\left(2n-1 \right)}{4^n \cdot \Gamma^2(n)}$

$$\int^{\infty}_0 \frac{1}{(x^2+1)^n}\, dx \,=\frac{\pi \,\cdot \Gamma\left(2n-1 \right)}{2^{2n-1}\cdot \Gamma^2(n)}$$

Ví dụ 4. Chứng minh

$$\int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{1-x}}\,dx=2\,\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$$

trong đó hoán vị kép !! được định nghĩa như sau:

$ \displaystyle n!! = \begin{cases}n\cdot(n-2)... 5\cdot 3\cdot 1&; \mbox{nếu }n>0 \, \text{ lẻ} \\n\cdot(n-2)... 6\cdot 4\cdot 2&; \mbox{nếu } n>0 \, \text{ chẵn}\\1 &; \mbox{if } n=0,-1\end{cases}$

Giải.

Viết lại tích phân trên dưới dạng hàm Beta



$ \displaystyle \int_0^1 x^n\cdot (1-x)^{-\frac{1}{2}}\, dx$

$ \displaystyle \fbox{$ \displaystyle x-1 = n \,\, \Rightarrow \,\, x=n+1\,\,\,\,$

$ \displaystyle y-1= \frac{-1}{2}\,\, \Rightarrow \,\, y=\frac{1}{2}$}$

$ \displaystyle \int_0^1 x^n\cdot (1-x)^{-\frac{1}{2}}\, dx=B(n+1,\frac{1}{2})$

$ \displaystyle B\left( n+1,\frac{1}{2} \right)=\frac{\Gamma \left( \frac{1}{2} \right)\Gamma(n+1)}{\Gamma \left( n+\frac{3}{2}\right)}=\frac{2 \sqrt{\pi}\, \Gamma(n+1)}{(n+\frac{1}{2})\Gamma \left( n+\frac{1}{2} \right)}$

Áp dụng đẳng thức Legendre ta được

$ \displaystyle \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+1)}{(n+\frac{1}{2})\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)}=\frac{2\sqrt{\pi}\, n!}{(2n+1)\sqrt{\pi}\, \frac{(2n)!}{4^n\, n!}}$

$ \displaystyle \frac{2\, 2^{2n} (n!)^2}{(2n)!}=2\frac{2^{2n}(n\cdot(n-1)\,...\,3\cdot 2\cdot 1)^2}{(2n+1)\cdot 2n\cdot(2n-1)\, ... \, 3\cdot 2\cdot 1}$

Gộp các nhân tử theo tính chẵn lẻ ta có kết quả gọn hơn như sau

$ \displaystyle 2\frac{2^{2n}(n\cdot(n-1)\,...\,3\cdot 2\cdot 1)^2}{(2n\cdot(2n-2)\, ... \, 4\cdot 2)((2n+1)\cdot (2n-1)\, ... \, 3\cdot 1)} $

$ \displaystyle 2\frac{(2n\cdot(2n-2)\,...\,6\cdot 4\cdot 2)^2}{(2n \cdot (2n-2)\, ... \, 4\cdot 2)((2n+1)\cdot (2n-1)\, ... \, 3\cdot 1)}=2\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} $

Ví dụ 5: Tính tích phân

$$\int^{\infty}_{-\infty}\, \left(1+\frac{x^2}{n-1}\right)^{-\frac{n}{2}}\,dx$$

Giải.

Tích phân trên bằng

$ \displaystyle 2\int^{\infty}_{0}\, \left(1+\frac{x^2}{n-1}\right)^{-\frac{n}{2}}\,dx$

Đặt $ \displaystyle t=\frac{x^2}{n-1}\,\,\, \Rightarrow \,\,\, dt =\frac{2x}{n-1}\,dx$

$ \displaystyle \sqrt{n-1}\int^{\infty}_{0}\frac{t^{-\frac{1}{2}}}{(1+t)^{\frac{n}{2}}}\, \,dx$

Đây là hàm Beta quen thuộc.

$ \displaystyle \sqrt{n-1}\, B\left(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2}\right)= \frac{\sqrt{\pi(n-1)}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$


Mời các bạn tự làm.  Chứng tỏ $ \displaystyle \int^{\infty}_{0}\frac{x^{2m+1}}{(ax^2+c)^n} dx\,=\frac{m!\,(n -m -2)!}{2(n-1)!\, a^{m+1}\,c^{n-m-1}}$

Ví dụ 6. Tính
$$\int^{\infty}_0\, \frac{x^{-p}}{x^3+1}\,dx$$

Giải.

Đặt $ \displaystyle x^3\,=t\,$

$ \displaystyle \frac{1}{3}\, \int^{\infty}_0\, \frac{t^{-\frac{p+2}{3}}}{t+1}\,dt$

Bây giwof ta tìm $x, y$ theo dạng thứ 2 của hàm Beta:


$ \displaystyle x =\frac{1-p}{3}$

$ \displaystyle y+x =1\,\,\, \Rightarrow \,\, y = 1-\frac{1-p}{3}$

Do đó

$ \displaystyle \frac{B\left(\frac{1-p}{3}, \frac{1-p}{3}\right)}{3}= \frac{\Gamma\left(\frac{1-p}{3}\right) \Gamma\left(1-\frac{1-p}{3}\right)}{3}$
Theo đẳng thứ Euler ở phần 3 ta được

$ \displaystyle \frac{\Gamma \left( \frac{1-p}{3}\right) \Gamma\left(1-\frac{1-p}{3}\right)}{3}= \frac{\pi}{3\, \sin\left(\frac{\pi(1-p)}{3}\right)}= \, \frac{\pi}{3}\,\csc\left(\frac{\pi-\pi p}{3}\right)$

Ví dụ 7. Tính

$$\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \, \sqrt[3]{\sin^{2}x} \,\, dx$$

Giải.

Dùng dạng 3 của hàm Beta

$ \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \, \sin^{\frac{3}{2}}x \,\cos^{0}x\, dx$

$ \displaystyle 2x-1= \frac{3}{2}\,\, \Rightarrow \,\,\, x = \frac{5}{4}$

$ \displaystyle 2y-1= 0\,\, \Rightarrow \,\,\, y = \frac{1}{2}$

$ \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \, \sin^{\frac{3}{2}}x \, dx= \frac{B\left(\frac{5}{4}, \frac{1}{2}\right)}{2}=\frac{\Gamma\left(\frac{5}{ 4}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac {7}{4}\right)}$

Ví dụ 8. Tính


$$ \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} (\sin x)^i \cdot (\cos x)^{-i}\, dx$$

Giải.
Tiếp tục sử dụng biểu diễn thứ 3 của hàm Beta

$ \displaystyle 2x-1= i \,\, \Rightarrow \,\,\, x = \frac{1+i}{2}$

$ \displaystyle 2y-1= -i \,\, \Rightarrow \,\,\, y = \frac{1-i}{2}$

$ \displaystyle \,\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1+i}{2}\right) \, \Gamma\left(\frac{1-i}{2}\right)$

Theo đẳng thức Euler

$ \displaystyle \,\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1+i}{2}\right) \, \Gamma\left(1-\frac{1+i}{2}\right)= \frac{\pi}{2\sin\left(\frac{\pi(1+i)}{2}\right)}= \frac{\pi}{2}\text{sech}\,\left( {\pi \over 2}\right)$


Còn nữa...