VNMATH giới thiệu Đề thi Olympic Toán Sinh Viên lần thứ XXI năm 2013. Kì thi diễn ra từ 9/4/2013 đến 14/4/2013 tại Đại học Duy Tân, Đà Nẵng.

Đáp án đã được cập nhật ở đây.

Đề thi Olympic Toán Sinh Viên 2013 môn Đại số (thi sáng 10/4/2013).
Thời gian làm bài 180 phút.

Câu 1. Cho hệ phương trình tuyến tính
$$ \left\{ \begin{matrix}
-x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & \cdots & + & x_n & = \ 1, \\
x_1 & - & 5x_2 & + & x_3 & + & \cdots & + & x_n & = \ 1, \\
\vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots \\
x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & \cdots & - & [n(n+1)-1]x_n & = \ 1.
\end{matrix} \right. $$

1. Giải phương trình với $n=5$.
2. Giải phương trình với $n$ bất kỳ.

Câu 2. Cho $f_1(x),\ldots,f_n(x)$ lần lượt là các nguyên hàm nào đó của các hàm số $e^x,\ldots,e^{x^n}, \, n \ge 1$. Chứng minh rằng các hàm số này độc lập tuyến tính trong không gian $C[0,1]$ các hàm số liên tục trên đoạn $[0,1]$.

Câu 3. Cho $a_0,a_1,\ldots,a_n$ là các số thực, $n \ge 2$. Tính định thức
$$ D_n=\begin{vmatrix}
a_0-a_1 & a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
-a_1 & a_1-a_2 & a_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -a_2 & a_2-a_3 & a_3 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_{n-1} & a_{n-1}-a_n
\end{vmatrix}. $$
Câu 4. Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ trên trường số thực sao cho $A^2B=BA^2$. Chứng minh rằng ma trận $AB-BA$ lũy linh, tức là mọi lũy thừa đủ lớn của nó bằng 0.
*Câu 4 đề sai. Phản thí dụ từ đội ĐH KTQD Hà Nội.

Câu 5. Cho $a$ là một số nguyên lẻ và $b_1,\ldots,b_n$ là các số nguyên sao cho $b_1+\cdots b_n$ lẻ, $n \ge 1$. Chứng minh rằng đa thức
$$ P(x)=ax^{n+1}+b_1x^n+\cdots+b_nx+a $$
không có nghiệm hữu tỉ,

Câu 6. Có bao nhiêu ma trận vuông cấp $n$ có đúng $n+1$ phần tử bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 và có định thức bằng 1?


Đề thi Olympic Toán Sinh Viên 2013 môn Giải tích (thi chiều 10/4/2013).
Thời gian làm bài 180 phút.

Câu 1. Cho $x_1 = a \in \mathbb{R}$ và dãy $(x_n)$ được xác định bởi $(n+1)^2 x_{n+1} = n^2 x_n + 2n+1$. Tìm $\lim\limits_{x \to \infty} x_n$.

Câu 2. Tìm giới hạn
$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int^{1}_{0} \frac{nx^n}{2013+x^n} dx. $$

Câu 3. Cho $\alpha \leq \beta \le 0$. Hãy tìm các hàm số $f : (0, \infty ) \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện
$$ f(x) = \max \{ x^{\alpha}y^{\beta} - f(y) : y \ge x \}$$ với mọi $$ x \in \ (0,\infty). $$

Câu 4. Cho hàm $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trong $(0,1)$ thỏa mãn $f(0)=0 ; f(1)=1$. Chứng minh rằng tồn tại các số phân biệt $x_1,x_2,\ldots,x_{2013} \in (0,1)$ sao cho
$$ \sum_{k=1}^{2013} \frac{kx_k}{f'(x_k)}=\frac{2013 \times 1007}{2}. $$

Câu 5. Cho $f(x)$ là hàm dương, liên tục trên đoạn $[0,1]$ và thỏa mãn điều kiện
$$ f(x)+f\left( \left( 1-\sqrt{x} \right)^2 \right) \le 1 $$
với mọi $x \in [0,1]$. Chứng minh rằng
$$ \int_0^1 \sqrt{f(x)} \, dx \le \frac{\pi\sqrt5}{8}. $$

Câu 6 Thí sinh chọn một trong hai câu:

1. Cho $(a_n)$ là dãy số dương sao cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ hội tụ. Chứng minh rằng tồn tại dãy số dương $(b_n)$ sao cho $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \infty$ và chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n < \infty$ cũng hội tụ.
2. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$. Chứng minh rằng nếu tồn tại hàm $g(x)$ đơn điệu thực sự (tức là đơn điệu và $g(x) \ne g(x)$ nếu $x \ne y$) và liên tục trên đoạn $[0,1]$ sao cho
   $$ \int_0^1 f(x)g^k(x)\,d(x)=0, \ \ \forall k=0,1,\ldots,2013 $$
   thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất 2014 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng $(0,1)$.
   Hãy chỉ ra thí dụ nếu bỏ tính đơn điệu của hàm $g(x)$ thì định lý có thể không đúng.