VNMATH giới thiệu Đề thi Olympic Toán Sinh viên năm 2013 của Đại học Sư phạm Hà Nội.
Môn Đại số. Thời gian làm bài 180 phút.

LaTex.
Câu 1. Cho ma trận vuông $A=(a_{ij})$ cấp $n$ trong đó
$$a_{ij}=\begin{cases}
c_i&\text{nếu} j\equiv i+1(\mod n),\\
0&\text{các trường hợp còn lại.}
\end{cases}$$
Chứng minh rằng $$\det(I+A+A^2+\ldots+A^{n-1})=(1-c)^{n-1}$$ trog đó $c=c_1c_2\ldots c_n$.

Câu 2. Cho ma trận $A$ là một ma trận thực có hạng bằng $r$. Chứng minh rằng các ma trận $AA^t$ và $A^tA$ cũng có hạng bằng $r$.

Câu 3. Giả sử hai ma trận vuông cùng cấp $A$ và $B$ đều là nghiệm của đa thức $f(x)=x^2-x$ và $AB+BA=0$. Tính $\det(A-B)$.

Câu 4. Cho phương trình $a_0x^n+a_{1}x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n=0$ với $a_0<0$ có $n$ nghiệm thực phân biệt. Chứng minh $(n-1)a_1^2>2na_0a_2$.

Câu 5. Cho đa thức $P(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$ bậc $n$ và $a_n>0$. Biết rằng các đa thức $P(x)$ và $P(P(x))$ có đúng $n$ nghiệm thực. Chứng minh rằng đa thức $P(P(P(x)))$ cũng có đúng $n$ nghiệm thực.

Môn Giải tích. Thời gian làm bài 180 phút. Đang cập nhật.