Mã LaTeX của đề thi trên.

Câu 1:

a) Giải phương trình: $\sqrt[3]{{6\cos x + 2}} = 2\cos 3x + 2\cos x - 2$.

b) Giải bất phương trình: $\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \le 2 - \frac{{{x^2}}}{4}$.

Câu 2: Cho dãy số $({u_n}):{u_1} = 1;{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{{u_n^2}}{{2012}}$.

Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{u_i}}}{{{u_{i + 1}}}}} $.

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$; điểm $M$ di động trên $BC$ ($M$ khác $B$ và $C$). Hình chiếu của $M$ trên $AB$ và $AC$ theo thứ tự là $H$ và $K$. Gọi $I$ là giao điểm của $BK$ và $CH$. Chứng minh rằng $MI$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
\[x_1^4 + x_2^4 + ... + x_{12}^4 = 2013\]
Câu 5: Tìm số cách chọn ra $11$ số nguyên phân biệt từ $2012$ số nguyên dương đầu tiên sao cho trong sự lựa chọn đó không có chứa hai số nguyên liên tiếp.