Giải phương trình bậc hai và bậc ba bằng ma trận vòng tròn

VnMaTh.CoM 12 tháng 8, 2009 Dịch bài viết 1

Ma trận vòng tròn

Ma trận vòng tròn $A$ là ma trận có dạng

$C=\begin{pmatrix}c_0&c_1&\cdots&c_{n-1}\\c_{n-1}&c_0&\cdots&c_{n-2}\\\hdotsfor{4}\\c_1&c_2&\cdots&c_0\end{pmatrix}$

trong đó mỗi dòng là hoán vị vòng tròn của dòng trước đó.

Giá trị riêng của ma trận vòng tròn

Gọi $P_C(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n-1}x^{n-1}$ là đa thức biểu diễn của $C$ , đa thức mà các hệ sô là các số trong dòng đầu tiên của ma trận $C$ . Đặt $\epsilon=e^{2\pi i/n}$ trong đó $n$ là bậc của $C$ Ta chứng minh $P_C(\epsilon^k)$ là các giá trị riêng của $C$ for $k=1,2,\cdots,n$ . Thật vậy, đặt

$x_k^T:=\begin{pmatrix}1&\epsilon^k&\epsilon^{2k}&\cdots&\epsilon^{(n-1)k}\end{pmatrix}$

Khi đó

$\text{[math]}$

Vì các giá trị riêng là nghiệm của đa thức đặc trưng, $P_C(\epsilon^k)$ là nghiệm của $\det(xI-C)$ .

Vì vậy ta có một phuơng pháp tốt để tìm nghiệm của đa thức $p(x)$ :

Tìm một ma trận vòng tròn $C$ sao cho nó là đa thức đặc trưng của nó là $p(x)$ , tức là, $\det(xI-C)$ .

Do đó $P(\epsilon^k)$ với $k=1,\cdots,n$ là các nghiệm của $p(x)=\det(xI-C)$ .

BBây giờ ta áp dụng phương pháp này để tìm nghiệm của đa thức bậc hai và bậc ba

Đa thức bậc hai

Let $p(x)=x^2+bx+c$ .Xét ma trận vòng tròn $C=\begin{pmatrix}r&s\\s&r\end{pmatrix}$ . Khi đó đa thức đặc trưng của $C$ được cho bởi

$\det(xI-C)=\det \begin{pmatrix}x-r&s\\s&x-r\end{pmatrix}=(x-r)^2-s^2=x^2-2rx+(r^2-s^2).$

Để $\det(xI-C)=p(x)$ ta cần $-2r=b$ và $r^2-s^2=c$ . Giải hệ này ta được

$r=-b/2 \text{ và } s=\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$

(Để thuận tiện ta chọn giá trị dương của $s$ )

ở đây $\epsilon=e^{2\pi i/2}=-1$ và $P_C(x)=r+sx$ trong đó $r,s$ được cho ở trên. Vì vậy nghiệm của $p(x)$ là

$P_C(-1)=r-s=-\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$ và $P_C((-1)^2)=P(1)=r+s=-\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$ . Cuối cùng nghiệm của phương trình bậc hai $x^2+ax+b$ là

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$

Đa thức bậc ba

Gọi $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$ . Dùng phép thế $x=t-\frac{a}{3}$ , ta có

$\begin{align}p(x)&=(t-(a/3))^3+a(t-(a/3))^2+b(t-(a/3))+c\\&=\left(t^3-at^2+\frac{a^2}{3}t-\frac{a^3}{27}\right)+a\left(t^2-\frac{2a}{3}t+\frac{a^2}{9}\right)+bt-\frac{ab}{3}+c\\&=t^3+\left(\frac{a^2}{3}-\frac{2a^2}{3}+b\right)t+\left(-\frac{a^3}{27}+\frac{a^3}{9}-\frac{ab}{3}+c\right)\\&=t^3+\left(b-\frac{a^2}{3}\right)t+\left(\frac{2a^3-9ab+27c}{27}\right)\\&=t^3+\beta t+\gamma\end{align}$

Bây giờ ta chỉ quan tâm tới phương trình bậc ba suy biến $p(x)=x^3+\beta x+\gamma$ . Đặt $C=\begin{pmatrix}r&s&u\\u&r&s\\s&u&r\end{pmatrix}$ . Ta có

$\begin{align}\det(xI-C)&=\det \begin{pmatrix}x-r&-s&-u\\-u&x-r&-s\\-s&-u&x-r\end{pmatrix}\\&=(x-r)\left[(x-r)^2-su\right]+u\left[-s(x-r)-u^2\right]-s\left[s^2+u(x-r)\right]\\&=(x-r)^3-3su(x-r)-(s^3+u^3)\end{align}$

Để $\det(xI-C)=x^3+\beta x+\gamma$ , ta có $r=0,-3su=\beta$ và $s^3+u^3=-\gamma$ . Để tìm $s$ và $u$ ta cần giải

$s^3u^3=-\frac{\beta^3}{27} \text{ and } s^3+u^3=-\gamma$

Dễ thấy $s^3$ và $u^3$ là nghiệm của một phuơng trình bậc hai $x^2+\gamma x-\frac{\beta^3}{27}$. Nghiệm của nó là

$x=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2+\frac{4\beta^3}{27}}}{2}$

Do đó

$\begin{align*}r&=0\\s&=\left(\frac{-\gamma+\sqrt{\gamma^2+\frac{4\beta^3}{27}}}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\\u&=\left(\frac{-\gamma-\sqrt{\gamma^2+\frac{4\beta^3}{27}}}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\end{align*}$

và các nghiệm của phương trình bậc ba suy biến là $x^3+\beta x+\gamma$ are

$r+s\epsilon^k+u\epsilon^{2k}\qquad \text{for }k=1,2,3$

trong đó $\epsilon=e^{2\pi i/3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}i$ .

(Theo Watchmath)

Các công thức có thể không hiển thị trên IE6.

Dịch bài viết

Về VNMATH.COM

VnMaTh.CoM

VNMATH hoạt động từ năm 2008 với slogan Trao đổi để học hỏi, Sẻ chia để vươn lên. Hiện nay VNMATH.COM là trang web Toán học có lượt truy cập lớn nhất Việt Nam.

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015, De thi thu THPT Quoc Gia nam 2015

You are here: Home »

Giải phương trình bậc hai và bậc ba bằng ma trận vòng tròn