Đề thi Đại học năm nay được nhiều người cho là không dễ, đặc biệt là câu V về bất đẳng thức. Trước hết xin ghi lại nội dung câu V.
Sau đây vnmath.com xin giới thiệu các cách chứng minh khác nhau của Bất đẳng thức này.
Lời giải của Phan Huy Khải:
Lời giải của Lê Thống Nhất và các cộng sự
Lời giải của Nguyễn Anh Dũng và các cộng sự.
Lời giải trên báo Tuổi trẻ Online và Thanh niên Online
Lời giải của canhang_2007(mathvn.org)
Từ giả thiết ta có 
![3yz=x(x+y+z) \geq 3x\sqrt[3]{xyz},](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_stFge6xycHO8IrYA2mil_0jRTLiNJBfQ4EsRs67LaCe70drrnvSLR8iqYcwpwpj1jCB_0UTpynjhaxSz7W5y_AElVrNpJk5H1IYS6AUSBPaPhksc80lCH-N2BYDGrPhIzULw_DbbPK1I2pWfxbOtdTdQ9tpWbq5bBXeJN-9cdmBeaJqvW2_EHKdXtXRS3ZTc1NO5K9WMEH=s0-d "3yz=x(x+y+z) \geq 3x\sqrt[3]{xyz},")
Đến đây, sử dụng hằng đẳng thức 
Ngoài ra, ta cũng có
nên cộng cả hai đánh giá này, ta thu được
Đó chính là điều phải chứng minh.
Lời giải của tanpham90 (diendantoanhoc.net)
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
![x^3 + 3x^2(y+z)+3x[(y+z)^2-2yz]+3xyz \leq 2(y+z)^3](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vr-f8TIIx8cTWGridrSiuZxQUZy0jSTSlS8fT8uoZfylbCEuF4n6GeuM5v6ZUXwMMsr8nbwrEI-tC8flIAgSPIeJ1s6Spi3hcjjw_tCjriMOKaDFBAgQNFp96i0FFZ5b7idN--8r3vokQ1lDn1NK2XEUjDJoRUCx-tENnrkCNudA2wEqkRSMsOv0k1MiyvZpqlRg_o82hF5VkZY5u1ulS_D0lX6EEIarFCEe3P_OsHYqQ=s0-d "x^3 + 3x^2(y+z)+3x[(y+z)^2-2yz]+3xyz \leq 2(y+z)^3")
![\Leftrightarrow x^3 + 3x^2(y+z)+3x[(y+z)^2- \frac{2}{3}x(x+y+z)]+3xyz \leq 2(y+z)^3](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v4gf-83WFnxVRoHnNmbwF9eDMYr8ogkuQI_xjqOAHH251MPYhBXJVnffrRXXrFtnp-x7NJnIBZlrTEfXgfeU8uMQeeYwH58qCsUvWMiE4Nq-bGzcLBQEjjhwPcE4zRWIuGvTt5ZwC34maorrDjqeQWTc8kmhOSKO9GGAsVdN_LvYPiuK4BX3BtB9WX1_snyrIjLk2erxB8HOyeAkumddHBbdNX_aJilpjEm-c5i8RuzNbo4mAK_r5m_g8Ih-ZNWQM184ANYAjJtObC8FEoJX4Gp__cf95fYAhQ4NU3etPqbP0G=s0-d "\Leftrightarrow x^3 + 3x^2(y+z)+3x[(y+z)^2- \frac{2}{3}x(x+y+z)]+3xyz \leq 2(y+z)^3")
Đặt 
![x^3 + 6x^{2}a+3x[4a^2- \frac{2}{3}x(x+2a)]+x^2(x+2a) \leq 16a^3](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ta0hwPf7_D--nPrRS1yfKXK3oN63hPqLMRW1h_QR55hyJZ5EdQrZynrlq9F6oeCT_7us6ueHw1VoIOTYhh3qvKh4cfgwd5tk-7CgcZfK497leOoDBAkHf1FS8CMc2CQW5H-qq-3ddnnVTkEJ3L6mhHl0pJdtCwUvuFO2tAmI7yQg3dbfsz9mOGfROlBJI2mTBJ-kKUOgzo0m4toPKDU2VO83vXwIeAQKgBkdrgtsZPTclQJmnMs_Kb7S9soNybzYBT5TU04rp-QTjsGyg=s0-d "x^3 + 6x^{2}a+3x[4a^2- \frac{2}{3}x(x+2a)]+x^2(x+2a) \leq 16a^3")
Bất đẳng thức trên đúng vì nếu giả sử ngược lại thì 
theo điều kiện ban đầu suy ra :
Vô lý.
Bạn có cách giải nào khác không? Nếu có hãy cho chúng tôi biết. Chúng ta cùng chờ xem đáp án chính thức của bộ Giáo dục.
------------------------------------------------------
Nếu thích các bài viết hãy đăng kí để nhận thông tin mới qua email!
- Điền e-mail của bạn vào ô dưới và chọn Đăng kí.
- Nhập các kí tự chống xì-pam trong cửa sổ mới. Chọn Complete Supscription Request.
- Đọc lá thư vừa nhận từ FeedBurner, click vào đường dẫn trong thư để hoàn thành đăng ký.
Cách của thầy Nguyễn Minh Nhiên
Trả lờiXóađặt [TEX]y=ax,z=bx (a>0,b>0)[/TEX] ta đc [TEX]a+b+1=3ab [/TEX]và BDT trở thành
[TEX](a+1)^3+(b+1)^3+3(a+1)(b+1)(a+b) \geq (a+b)^3[/TEX]
[TEX]<=> (a+b+2)^3-3(a+1)(b+1)(a+b+2)+3(a+1)(b+1)(a+b) \geq (a+b)^3[/TEX]
[TEX]<=>(a+b+2)^3-6(a+1)(b+1) \geq (a+b)^3[/TEX]
[TEX]<=>(a+b+2)^3-2(3ab+3a+3b+3) \geq (a+b)^3[/TEX]
[TEX]<=>(a+b+2)^3-8(a+b+1) \geq (a+b)^3 (*)[/TEX]
Đặt [TEX]a+b=t>0[/tex] , có [tex]1+a+b \leq 3/4(a+b)^2 => 3t^2-4t-4 \geq 0 =>t \geq 2[/TEX]
(*) trở thành [TEX](t+2)^3-8(t+1) \leq t^3 <=> 2t^2-3t-2 \geq 0 <=>(t-2)(2t+1) \geq 0[/TEX] luôn đúng
Đây còn ối cách :D
Trả lờiXóahttp://k2pi.violet.vn/entry/show/entry_id/1518339/cm_id/580774#580774
Có nhiều các hay nhưng theo em thì cách của Thầy Phạm Kim Chung là hay và tự nhiên nhất!
Trả lờiXóaThật ra cách của Thầy Lê Thông Nhất nằm ở đây: http://www.maths.vn/forums/showthread.php?t=22850
Trả lờiXóaCách của e cũng ý tưởng giống đáp án của bộ, nhưng cái này em nghĩ ra trước khi có đáp.
Trả lờiXóaCách giải như sau:
sau khi đặt như cách đáp án của Bộ,
Đặt: a=x+y, b=y+z, c=z+x khi đó:
dk <=> a^2+c^2=b^2+ac (1)
BDT <=> a^3+c^3+3abc <= 5b^3
<=> (a+c)(a^2+c^2-ac)+3abc <=5b^3
<=> (a+c)b^2 +3abc <=5b^3
<=> ab+bc+3ac <=5b^2 <=> ab+bc+ac <=5b^2-2ac
Theo BDT Bunhiscopxki, ta có:
ab+bc+ac <= a^2+b^2+c^2.
Ta sẽ chứng minh a^2+b^2+c^2 <= 5b^2-2ac (2).
Thật vậy, theo (1)
(2)<=>2b^2+ac <= 5b^2-2ac
<=>ac <= b^2 <=> 2ac <= b^2 +ac = a^2+c^2
<=> (a-c)^2 >= 0 luôn đúng.
Vậy ta có đpcm
Thân tặng:
Trả lờiXóahttp://www.maths.vn/forums/showthread.php?p=131038#post131038